基于分岔理论的电力系统电压稳定性分析.doc

基于分岔理论的电力系统电压稳定性分析近年来随着电力系统从发电、输电的一体化体制演变到开放和竞争的环境，电力系统规划和运行的不确定性和不安全因素增加，电压不安全已经成为限制电力传输的主要因素之一。世界上许多国家相继发生由电压稳定问题导致的大面积停电事件，世界各国目前对电压稳定性的研究十分重视，IEEE和CIGRE还成立了专门工作组调查和研究电压稳定性问题，并进行了大量的研究工作。早期研究普遍认为电压稳定问题是一个静态问题，或者认为系统的动态对电压稳定的影响很慢，从而将电压稳定问题转换为平衡点的存在性问题研究集中在以潮流为工具的静态方法上。随着研究的深入，人们正在逐渐认识电压稳定性的动态本质，从而开始重点研究电压崩溃的动态机理和系统模型的需求，并提出了一些有关电压稳定性的分析方法和防止电压崩溃的对策。一、 电力系统电压稳定性分析方法现有的电压稳定性研究方法分为2类：基于潮流的静态方法和基于微分-代数方程的动态方法。（一）静态电压稳定性研究方法当前许多有关电压稳定性的分析都是基于潮流方程或经过修改的潮流方程，这是因为一方面普遍认为电压稳定是一个潮流是否存在可行解的问题，把临界潮流解看作电压稳定极限;另一方面，静态分析可以给出电压稳定裕度和其对状态变量的灵敏度信息，以便对系统作监控和优化调整。现有的较为成熟的分析方法有:灵敏度分析法、最大功率法、潮流多解法、模态分析法、奇异值分解法、特征结构分析法和连续潮流法等。1、灵敏度分析法灵敏度分析法利用系统中某些量的变化关系来分析稳定问题。最常见的灵敏度判据有：反映负荷节点电压随负荷变化的指标dUL/dPL和dUL/dQL(UL、PL、QL分别为负荷电压、负荷节点有功功率和负荷节点无功功率)；反映发电机无功功率随负荷无功功率变化的指标dQG/dQL(QG为发电机无功功率)；反映网损随负荷功率变化或发电机出力变化的指标dPLOSS/dPL和dPLOSS/dQG；反映负荷节点电压与发电机节点电压变化的指标dUL/dUG(UG为发电机节点电压)等。灵敏度分析法突出的特点是物理概念明确、计算简单，它以潮流计算为基础，从定性物理概念出发，利用系统中某些量的变化关系，即微分关系来研究系统的电压稳定性。该方法的缺点是:灵敏值计算缺乏统一的灵敏度分析理论作为基础，没有统一的标准;在计算灵敏度指标时，没有考虑负荷动态的影响，没有计及发电机的无功越限和有功经济调度的影响;灵敏度指标是一个状态指标，只能反映系统某一运行状态的特性，而不能计及系统的非线性特性，不能准确反映系统与临界点的距离。2、最大功率法当负荷需求超出电力网络传输功率的极限时，系统会出现异常现象，其中包括电压失稳。把电力网络输送功率的极限作为静态电压稳定临界点是最大功率法的基本原则。负荷如果从当前的运行点沿不同的方向增加，就会有不同的电压稳定临界点和电压稳定裕度，但总有一个方向的电压稳定裕度最小，计算出这个方向和电压稳定临界点，就能为防止电压失稳找到有效的对策。常用的最大功率判据有任意负荷节点的有功功率、无功功率以及所有负荷节点的复功率之和最大。3、潮流多解法潮流多解法是以1对相关邻近潮流解之间的距离来判断电压稳定性。潮流方程是非线性的，其解可能不是唯一的，也可能无解。解的个数随负荷水平的加重而成对减少，当系统接近极限运行状态时，只存在2个解，潮流雅可比矩阵也接近奇异，邻近的2个解则关于奇异点对称。这一结论为计算电力系统的极限运行状态提供了一条途径，间接克服了潮流方程的雅可比矩阵因在临界点奇异而带来的收敛问题。对电压稳定问题多解研究的意义主要表现为在重负荷下邻近解关于奇异点的对称，为近似计算系统的极限运行状态提供一种简单方法。多解的个数以及多解之间的距离反映系统接近极限运行状态的程度。4、模态分析法模态分析法是利用系统静态模型计算简化雅可比矩阵规定数目的最小特征值及其特征向量，每一个特征值与dU/dQ的变化模式有关，其大小提供了电压不稳定的相对量度。特征向量提供关于网络元件和发电机在每一个模式中的参与程度和电压失稳机理的信息，从电压和无功功率的关系来分析电压稳定性。对于给定的系统运行工况，如果系统中任一节点的dU/dQ 0，则系统电压稳定;若系统中至少有1个节点的dU/dQ 0，则系统电压不稳定。模态分析可帮助确定系统的稳定程度以及提出解决办法，如应增加多少额外负荷或功率传输水平。当系统达到电压稳定临界点时，模态分析有助于确定电压稳定性临界区域以及每个模式有哪些元件参加。5、奇异值分解法研究表明，当电力系统运行由正常工作点向稳定极限过渡时，潮流雅可比矩阵J向奇异的方向变化;当系统电压达到静态稳定极限时，J奇异。也就是说，在注入空间中，与边界注入矢量YiB相对应的J总是奇异的。该理论为可行解域的边界性质定理。根据这一定理，研究给定系统运行点电压静态稳定裕度的问题就可转化为研究确定相应的雅可比矩阵J接近奇异的程度问题。潮流雅可比矩阵的最小奇异值min可被用来作为衡量电压稳定程度的安全指标，与奇异值相似，潮流雅可比矩阵特征值也被用来进行相似的分析。6、特征结构分析法特征结构分析法将雅可比矩阵最小模特征值的大小作为衡量系统稳定性的指标，其基本原理为：随着系统负荷的增加，潮流雅可比矩阵行列式的值逐渐减小，同时，雅可比矩阵最小模的特征值也逐渐减小。根据可行解的边界性质定理，当系统达到静态稳定极限时，雅可比矩阵奇异，因而存在零特征值。当系统运行由正常工况向稳定极限过渡时，潮流雅可比矩阵向奇异方向变化，其最小模的特征值也单调地趋于零值，因此可以将其作为系统静态稳定裕度的度量。如果直接选用行列式的值作为衡量系统静态稳定裕度的指标，当系统接近静态稳定极限时，行列式的值会突变，描述性较差。而研究表明，最小模特征值具有很好的描述性。7、连续潮流法对于一个实际的电力系统，当负荷逐渐增加时，系统的运行点将逐渐接近鞍结分岔点，此时， 常规潮流计算方法涉及的雅可比矩阵接近奇异，从而导致潮流计算失败，迭代不收敛，无法获得正确的稳定指标。连续性潮流计算法很好地克服了这一问题。连续潮流法是求取非线性方程组随某一参数变化而生成的解曲线的方法，其关键在于引入合适的连续化参数，以保证临界点附近解的收敛。此外，为加快计算速度，该方法还引入了预测、校正和步长控制等策略。目前，参数连续化方法主要有局部参数连续法、弧长连续法和同伦连续法。（二）动态电压稳定性研究方法随着研究的不断深入，电压稳定问题的动态本质受到关注。要从根本上解释电压失稳机理，必须建立电力系统的动态模型，用各种动态的分析方法来研究电压崩溃现象的物理本质。只有掌握了电压失稳机理的正确理论，才能更好地避免电压崩溃事故的发生。目前，电压稳定性分析的动态方法主要有小干扰分析法、分岔分析法、时域仿真法、延拓算法、动态潮流法等。1、小干扰分析法小干扰分析法是将描述电力系统动态行为的非线性微分-代数方程组在运行点处线性化，形成状态方程，通过研究线性化系统来判断原系统稳定性特征的方法。该方法在电压稳定性研究中已经被广泛应用，主要用来检验机理解释的合理性，分析动态元件在小扰动下对电压稳定性的影响等。2、分岔分析法分岔理论广泛应用于描述随参数变化的动态系统的轨迹结构的性质和变化。一个非线性动态系统的失稳乃至崩溃也是一个非线性的动态过程。从本质上看，当参数连续变化并经过某一临界值时，系统的性态(如平衡点或周期轨道数目)发生突然变化是必然现象，这种变化即为分岔，对应的平衡点称为分叉点。分岔理论采用微分动力学方程.x =F(x,)来描述电力系统的动态行为。电力系统的结构分岔一般表现为2种形态:鞍结分岔和Hopf分岔。鞍结分岔是最重要的分岔之一，它是由向量场的平衡点消失的分岔，一般在向量场的平衡点处有行列式为零的线性化矩阵。电力系统是强非线性系统，因此鞍结分岔、Hopf分岔都描述了系统的动态特性。分岔理论是进行电力系统稳定性分析的一种新的理论，它能研究传统的电力系统稳定性分析方法所未涉及的一些新问题。利用分岔理论将拓宽电力系统稳定性分析的领域，并提供新的内容和途径。3、时域仿真法时域仿真法是研究电力系统动态电压特性的最有效的方法，适合任何电力系统动态模型。目前时域仿真法主要用于认识电压崩溃现象的特征，检验电压失稳机理，给出预防和校正电压稳定的措施等。时域仿真法可详细计及元件的动态特性，模拟精度较高，能够较好地反映电压失稳的全过程，为分析电压崩溃的机理提供可靠信息。但是该方法存在计算耗时、实时性差、负荷精确建模困难等问题。另外，电力系统模型的DAE方程组具有刚性，积分步长不能太大，分步积分的累计误差也使结果不可靠。在全面考虑系统中各种动态元件的基础上应尽可能简化模型，以减少计算时间。4、延拓算法延拓算法是静态分岔分析法中的一种，它利用依赖于参数的微分代数方程。XF(X,)来描述高阶电力系统的动态特性，其中:XRn，为状态变量;R1，为可变参数。Y=(X,)，YRn+1，则微分方程的平衡点满足F(Y)=0。在系统参数变化的情况下，Y在n +1维空间定义了1条一维的广义曲线M，称为平衡解曲线或平衡解流形。延拓算法可追踪该流形，利用一系列满足精度要求的离散点Y1,Y2,Yn，采用预测-校正策略逼近M。5、动态潮流法动态潮流是系统存在功率不平衡情况下的稳态潮流，它与常规潮流的最大不同是不平衡功率不再由平衡节点独立承担，而是在各台发电机之间协调分配，其核心是潮流计算和频率计算。通过每一时步的系统动态潮流解算得到某一节点和几个节点的电压幅值，从而描绘出电压的变化曲线，为研究电压稳定性提供依据。动态潮流的方法大多应用于调度员仿真系统(dispatcher training simulator system,DTS)，目前国内外已经投运的DTS基上都是以动态潮流模拟为主。动态潮流方法以其模型简单、计算快速在电压稳定性动态分析的早期特别是应用于实践中起到了重要作用。但是该方法根本上仍是基于潮流模型的，不能精确地模拟电力系统特别是系统发生故障后的动态特性，致使该方法的进一步应用受到了限制。（三）电压稳定性研究存在的问题静态电压稳定性研究方法主要是基于潮流方程，目前已取得很大进展，但不管哪种方法，其物理本质都是把电力网络输送功率的极限运行状态作为电压失稳的临界点，不同之处在于抓住极限运行状态的不同特征作为系统是否运行在极限状态的判据。静态分析法虽然在获取电网的极限运行状态、指导生产调度等方面起了重要作用，但并不能很好地揭示电压稳定问题的物理本质和失稳机理。灵敏度法仅适用于简单系统，当用于多机系统时有时会出现判别错误。潮流多值解法则需反复跟踪计算给定注入量的多值解，且所求得的系统电压静态稳定裕度是近似值。此外，以上各静态分析法均不能直接给出电压稳定裕度对系统状态变量和控制变量的灵敏度信息，从而不便对系统进行调控及寻找电压失稳的关键原因。电压稳定本质上是一个动态问题，只有通过动态分析，才能体现动态因素对电压稳定的影响，更深入地了解电压崩溃的机理以及检验静态分析的结果。动态分析法的难点在于建立简单而又包括系统主要元件相关动态的模型，以及负荷模型。二、分岔理论（一）分岔的基础系统失稳可以认为是含参数系统，当参数连续变化并经过某一临界值时，系统的定性性态（平衡点数目或周期轨道的拓扑结构）发生突然变化时出现的必然现象，这种变化就称分岔，此时的参数值称为分岔值，对应的平衡点称为分岔点。为了清楚地描述由分岔引起系统的拓扑结构变化的情况，可在空间中画出系统的极限集随着控制参数变化的图形，称之为分岔图，反映了动力系统的定性性态随参数变化的情况。分岔是一类常见的重要非线性现象，与系统的稳定性密切相关。电力系统动态特性可由微分-代数方程组（DAE）描述： （3.1）其中xRn为系统的状态变量（如发电机的,Eq,Ed等），yRn为系统的代数变量(如网络节点的电压大小、相位等)，为系统的控制参数（如负荷功率、补偿电容、励磁机调节器放大倍数和有载调压变压器变比等），f为发电机或控制器的动态特性，g为发电机之间和网络中的功率平衡方程及无源设备的内部静态特性。一般情况下，状态变量与代数变量的划分不是绝对的，两者之间可以互换。在研究一组给定的控制变量和系统参数时，系统方程（3.1）的 ( x ,y,)满足如下平衡方程： （3.2）则被称为平衡点，式（3.2）即为平衡点方程。平衡解流形可表示为： （3.3）非线性动力学处理的如式（3.1）所示的ODE模型，若在某个平衡点处gy非奇异，则在该平衡点领域内，DAE系统可以等价转化为ODE系统，在平衡点处的线性化模型为： （3.4）为平衡点处的导算子。系统中控制参数连续变化至时，当导算子无实部为零的特征值时，对应的点成为M上的双曲平衡点；当导算子的秩，以及，相对于参数有，满足，对应的点称为M上的极值分岔点；当，在点处有不同斜率的解分支相交，则为M上的普通静分岔点。对应于初始运行稳定的电力系统，随着控制参数的连续变化，若雅克比矩阵所有特征值中含有沿实轴穿越虚轴的特征值，对应的是静分岔点；若穿越虚轴的是一对虚部不为零的共轭复特征值，对应的平衡点是动分岔点。对于结构不稳定的系统，一个小的扰动就可以破坏系统的拓扑等价，使稳定的系统变为不稳定。（二）静态分岔分析方法静态分岔分析一般不考虑元件和控制的动态特性，主要讨论系统中的平衡点数目和稳定性随参数的变化而发生的突然变化，此时的平衡点方程就是潮流方程。鞍结点分岔是最基本的静态分岔点。鞍结点分岔是由向量场的平衡点产生和消失的分岔。当系统参数到达鞍结分岔点之前，系统相空间至少有两个平衡点，一个是不稳定的点，一个是稳定点，随着分岔参数的变化，相空间这两个平衡点逐渐靠近，当控制参数变化为分岔点时，两个平衡点融合为一个平衡点，控制参数继续变化，平衡点消失。鞍结点分岔体现在平衡方程中，则是由特征值随着控制参数的变化实部由负变正的现象，系统有零特征值，对应的雅可比矩阵奇异，导致潮流计算不收敛。对于鞍结点分岔的求解方法有连续法和直接法。连续法主要是对常规潮流方程进行弧长参数化或局部参数化处理得到扩展的潮流方程，参数化方程的引入克服了常规潮流方程雅可比矩阵在分岔点病态造成的潮流不收敛。假设潮流初始点已知，从该已知点出发，通过预测环节，在给定的变化步长下，利用切线法或插值法获得解曲线上下一点的近似值，最后通过校正环节求得下一点的准确值，如此循环直到求得分岔点。多参数连续法应用连续法求取单个参数的静态分岔点，然后从该分岔点出发，继续应用连续法求解表示鞍结点分岔的非线性方程组，可追踪出系统的二维分岔边界。连续法对于各种不等式约束可以方便处理，能追踪出给定参数区间的平衡解流形，但预测、校正和步长控制环节要求严格，不易得出新的分支方向，计算量大。直接法的基本原理是求解局部分岔所满足的非线性代数方程组，从而直接得到分岔值，即用迭代法来计算分岔点所满足的平衡点条件和分岔条件的代数方程组。多参数直接法是在单参数直接法的基础上通过定义向量函数，将分岔点的求取转化为非线性优化问题。由于直接法采用降低方程组维数、变换方法、改进潮流雅可比矩阵等来简化求解，同时克服因潮流雅可比矩阵在分岔点处奇异给数值带来的困难，会给原方程组的稀疏性造成不同程度的破坏，因此直接法必须在两者矛盾间取得一定的平衡。直接法的优点是计算量小，计算速度快，但不能计及各种不等式约束条件，所得信息量少，计算结果有一定局限性。在电力系统中，鞍结点分岔发生在系统的平衡点由于参数的变化而逐渐消失的时候，这种平衡点消失导致的后果就是系统状态的动态变化。在某种情况下，这种动态变化就是系统失稳(角度不稳定或电压崩溃)。由于鞍点分岔可能导致系统的电压崩溃，因此研究鞍结点分岔对于理解和防止这种电压崩溃是很有作用。（三）动态分岔分析方法动态分岔研究系统的动态行为，需要考虑元件及控制的动态特性，讨论系统在相空间中轨道拓扑结构的变化。1、霍扑夫分岔（HB）Hopf分岔是动态分岔中最基本最具代表性的分岔形式。在鞍结分岔中，稳定平衡的吸引区域由于接近不稳定平衡点而收缩，最终当两个平衡点结合和消失时失去稳定性。而在Hopf分岔中，一个平衡点稳定性失去是由于它与极限环的相互作用。根据这种相互作用的性质，有如下两种形式的Hopf分岔。对于亚临界Hopf分岔，在分岔参数达到分岔点0之前系统中存在一个稳定平衡点及其附近的一个不稳定周期轨道，当越过0时稳定平衡点将变成不稳定平衡点，其附近的周期轨道也随之消失。对于超临界Hopf分岔，在分岔参数达到分岔点0之前系统中一定存在一个稳定平衡点，当越过0后，稳定平衡点变为不稳定平衡点，其附近出现了一个稳定的周期轨道。Hopf分岔与电力系统中出现的各种振荡密切相关，如果系统发生的是亚临界Hopf分岔，则可能发生增幅型振荡；如果是超临界Hopf分岔，则振荡的形式很可能是等幅振荡。研究Hopf分岔的主要方法也分为直接法和连续法。直接法是对静态分岔的直接法改进得来的，能够直接搜索出Hopf分岔点，但对于n维系统需要计算2n+1维方程组，且每次需要计算二阶导数，工作量大。连续法也是对静态分岔的连续法改进的，在连续追踪平衡解流形的同时，不断判断流形解上的平衡点是否为Hopf分岔点，判别的依据有两种，一是逐点计算出随控制参数变化的系统雅可比矩阵的所有特征值，是否有共轭特征值穿越虚轴，来确定是否出现Hopf分岔，计算量较大；二是根据Hurwitz判据，通过特征多项式的系数构成一系列Hurwitz行列式符号的变化来搜寻Hopf分岔点，很难对高维系统构造出特征多项式的系数。、奇异诱导分岔（SIB）奇异诱导分岔是一种特殊类型的分岔，指当微分代数方程约束流形上的平衡流形与障碍曲面相交时发生的分岔。系统发生奇异诱导分岔的条件是系统初始运行在稳定的平衡点，随着参数的变化，代数方程发生奇异。奇异诱导分岔的数学特征是：代数方程变为奇异，即方程雅可比矩阵的行列式为零；系统雅可比矩阵的一个特征值从左半平面移到右半平面无限远。在相空间中，当系统轨迹运行到奇异诱导分岔之后，数值积分算法就无法运用，此后系统的运动轨迹无法预测。三、应用分岔理论分析不同负荷模型（一）负荷模型选择的意义在电力系统电压稳定分析中，负荷模型由于其自身的随机性、时变性、多样性等对系统动态仿真的结果影响很大，甚至产生与实际相反的结果，危及到系统的稳定。根据所研究问题的不同性质和目的可按各种方式(如线性和非线性、频率相关和频率无关、机理型和非机理型等)对负荷模型进行分类。电力系统生产和运行部门主要关心所选取的负荷模型是否能反映实际电力系统的动态过程，为此可将负荷模型分为静态模型和动态模型两种，合理简化以及选用恰当的模型对识别导致电力系统失稳的主要诱因有着极其重要的作用。（二）负荷模型分类及算例选用简单而典型的2机3节点电力系统动态模型，系统接线如图1。负荷由一远方无穷大电源S0和邻近等值发电机Sm供电。图1 典型 2 机 3 节点系统图中E0为无穷大电源S0的电压；Emm为等值发电机Sm的电压和相角；u2为地方接入点负荷的电压和相角；为阻抗的值；为阻抗的值；P1+jQ1为地方接入点负荷。发电机模型采用只计及转子动态的发电机经典二阶模型，近似计及了励磁系统的作用，认为励磁系统足够强，并能使暂态过程中维持暂态电动势Em恒定。负荷模型分为：1、 典型静态负荷模型式中VL为负荷母线电压；PL，QL为负荷的有功和无功功；k，r为负荷有功无功的电压特性指数。当 k = r= 0时，负荷为恒功率型；k = r= 1时，负荷为恒电流型；k = r= 2时，负荷为恒阻抗型；一般电力系统负荷，k，r在0，2之间。2、 第一类动态负荷模型该负荷为 WALVE 负荷模型与静态恒功率模型并联构成：式中，P0、Q0为等值电动机负荷部分的有功功率和无功功率；P1、Q1为负荷节点处的恒功率负荷；Kpw、T、Kqw、Kpu、Kqu、Kqu23、 计及恢复特性的第二类动态负荷模型式中P20、Q20为系统受扰前初值电压下的负荷有功和无功功率；s、s为有功、无功稳态电压系数；t、t为有功、无功暂态电压系数；x1、x2为有功、无功恢复系数。（三）仿真结果分析分岔图中实线表示稳定的平衡点，虚线表示不稳定的平衡点，下表给出了各关键分岔点对应的观察参数Q1的数值：负荷模型编号分岔点类型Q1（标幺值）恒电流型1SN20.9965恒功率型2SN-0.0150恒阻抗型3SN162.0661第一类动态负荷4H110.9467H211.4066SN111.4113LPC110.8181LPC211.4066PD110.8732PD211.3877第二类动态负荷5SN11.7799SN20.2011表1 模型编号及分岔点数值 模型1 系统分岔图 功角摆动曲线 模型2 系统分岔图 功角摆动曲线 模型3 系统分岔图 功角摆动曲线模型1，3分岔图形大体相似，随着负荷无功Q1的变化系统均能在图形下半支稳定运行至SN点，之后进入不稳定区域失去稳定；模型2的SN点未出现在图形拐点处，随着Q1的变化系统失稳，且Q1持续变大。表中各分岔图SN点对应的Q1数值对比可得恒功率型负荷模型比恒电流型负荷模型和恒阻抗型负荷模型更易出现电压失稳；通过各功角摆动曲线得到，模型1，3的功角摆动较之模