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文档简介

一 立体体积 二 曲面的面积 三 物体的质心与形心 四 物体的转动惯量 五 物体间的引力 10 4重积分的应用 第十章 1 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 二重积分应用 计算一小片d 上部分量的近似值 用微元法 或元素法 建立被积表达式 分布在有界闭域 平面或空间 上的整体量 2 用重积分解决问题的方法 三重积分应用 计算一小块dv上部分量的近似值 以后学到的线积分 面积分应用也是这个思想 微元法 微元 一 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 例1 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 建坐标系如图 则立体体积为 二 曲面的面积 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 面积微元或面积元素 则 例3 计算半径为a的球的表面积 解 设球面方程为 曲面在xoy面上投影为 由对称性 所求面积为上半球面面积的二倍 为瑕积分 a为瑕点 三 物体的质心 设空间有n个质点 其质量分别 由力学知 该质点系的质心坐标 设物体占有平面域D 并有连续密度函数 则 分别位于 为 为 其质心公式 推导如下 将D分割 对于y轴的静力矩 x y 设物体的质心为 则 同理 当 为常数时 得形心坐标 其中A为D的面积 若物体为占有空间区域 则它的质心坐标为 其密度为 则得形心坐标 例4 求位于两圆 和 的质心 解 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 总之 薄片的质心 形心 坐标为 四 物体的转动惯量 设物体占有空间区域 有连续分布的密度函数 该物体位于 x y z 处的微元dv 因此物体对z轴的转动惯量 对z轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和 故 连续体的转动惯量可用积分计算 类似可得 对x轴的转动惯量 对y轴的转动惯量 对原点的转动惯量 如果物体是平面薄片 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分 例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图 的转动惯量 解 取球心为原点 z轴为l轴 则 例6 求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 设球 所占域为 用球坐标 G为引力常数 五 物体的引力 设物体占有空间区域 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法 在 上积分即得各引力分量 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 对xoy面上的平面薄片D 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 例7 设面密度为 半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解
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