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第一学期第九次课第二章 5 n阶方阵2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵定义（数域上的阶方阵） 数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域上形如的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有；。形如的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有；。矩阵被称为n阶单位矩阵，记作，有；。我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵。定义 初等矩阵我们把形如其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。定义 对称矩阵、反对称矩阵设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。定义 上三角、下三角矩阵数域K上形如的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如的n阶方阵被称为下三角矩阵。对于n阶上（下）三角矩阵，同样有若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；证明 我们分别考察三种初等矩阵对于，有，等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；对于，有等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；对于，有，等价于初等行变换中互换i，j两行，而等价于初等列变换中互换i，j两列。于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵和，使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得，由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。 充分性 若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。推论 设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）.证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，由
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