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第三章第三章 刚体力学刚体力学 Chap 3 Chap 3 Rigid Body MechanicsRigid Body Mechanics 刚体运动的描述刚体运动的描述1 定轴转动定律定轴转动定律2 转动动能转动动能力矩的功力矩的功3 角动量守恒定律角动量守恒定律4 刚体刚体 rigid body 在运动过程中形状和大小都不变的物体 研究刚体的运动 可以将刚体看成在运动过程中 任意两 质点之间的相对位置保持不变的质点系 第一第一节节 刚体运动刚体运动的描述的描述 1 平动和转动 平动平动 translation 刚体在运动过程中 其上 任意两点的连线始终保持 平行 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题 转动转动 rotation 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动 这种运动称为刚体的转动 这条直线称为转轴 转动又分 定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体的一般运动 刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动 定轴定轴 fixed axis 转动 转轴固定不动的转动 转轴固定不动的转动 转动 刚体在作定轴转动时 各质量元都在某个垂直于转轴的刚体在作定轴转动时 各质量元都在某个垂直于转轴的 平面内作圆周运动 这个平面叫做转动平面 平面内作圆周运动 这个平面叫做转动平面 O x P 角角坐标坐标 用角量来描写转动 用角量来描写转动 定轴处定轴处O点与刚体上任一点点与刚体上任一点 P之间的位置矢量之间的位置矢量 处于处于 处 经过处 经过 t时间后 该矢径时间后 该矢径 转过转过 角度 角度 z Q 角位移角位移 2 描述定轴转动的物理量 角速度的大小 角速度的大小 0 d lim d t tt 由右手螺旋法则由右手螺旋法则 确定 右手弯曲的四指沿转动方确定 右手弯曲的四指沿转动方 向 伸直的大拇指即为角速度的向 伸直的大拇指即为角速度的 方向 方向 角速度角速度的方向 的方向 d d k t O x P z k 角速度的大小 角速度的大小 d d k t 角速度角速度 Angular Velocity Angular Velocity 对于定轴转动任意一点线速度与角速度 线加速度与角加对于定轴转动任意一点线速度与角速度 线加速度与角加 速度的关系 速度的关系 刚体各质元的角量相同 线量一般不同 刚体各质元的角量相同 线量一般不同 对刚体的运动描述 要注意角量 线量的特点 对刚体的运动描述 要注意角量 线量的特点 0 2 0 2 2 00 0 2 2 1 tt t 刚体作匀变速转动时 刚体作匀变速转动时 有以下的运动方程 有以下的运动方程 2 t n ar ar vr 解解 2 10 10050 5 rad s 10t 2 10s内 飞轮的角位移 内 飞轮的角位移 2 0 1 750 rad 2 2375 r tt N 1 1 由匀变速转动运动方程 由匀变速转动运动方程 例1 某发动机飞轮半径为1m 在10s内由1500r min增加到 3000r min 假设转动是匀加速转动 求 1 角加速度大 小 2 在此时间内 飞轮转了多少转 3 t 5s时 飞轮边缘上一点的速度与加速度 飞轮边缘上一点飞轮边缘上一点P的速度大小 的速度大小 235 6 m s vr 3 t 5s时 时 0 75t 该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度 2 242 2242 15 7 m s 5 55 10 5 55 10 m s t n tn ar arm s aaa 要改变刚体的转动状态 不仅要有力 而且与力的大小 要改变刚体的转动状态 不仅要有力 而且与力的大小 方向和作用点都有关 方向和作用点都有关 dP z M F r z MFd 单位单位 N m 第二节第二节 刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律 1 力矩 moment of force 对Z轴的力矩 sin 注意 1 力F 的方向不在转动平面内 可以沿两个方向分解 z F r F d z M F 力矩方向沿定轴 可用正 负表示方向 2 一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零 3 几个力同时作用在刚体上 它们的合力矩就是各力 的力矩的矢量和 把刚体看作一个质点系 对其上把刚体看作一个质点系 对其上P处处 的第的第 i 个质点个质点 mi 分析其受力 分析其受力 iiii Ffma 其分量为 切线方向其分量为 切线方向 sinsin iiiii i Ffmr 两边同时乘以两边同时乘以ri 2 sinsin i iiiiiii rFr fmr P o i r i f i F Fisin i fisin i i i 2 定轴转动定律 2 sinsin i iiiiiii rFr fmr 质点质点 mi的的外力矩外力矩质点质点 mi的的内力矩内力矩 对所有质点求和 可以得到 对所有质点求和 可以得到 2 111 sinsin i iiiiiii iii rFr fmr 合合内力矩内力矩 rifi sin i为零 则 为零 则 2 11 sin i iiii ii rFmr 定轴转动定律 z MJ 2 11 sin i iiii ii rFmr 刚体所受的对轴合力矩 miri2 J J为转动惯量 2 iir mJ 通常刚体均为连续体 则 通常刚体均为连续体 则 J 的单位 的单位 kg m2 它与刚体对给定转轴的质量分布有关 它与刚体对给定转轴的质量分布有关 特别要注意 特别要注意 转动惯量与转轴的位置有关 转动惯量与转轴的位置有关 转动惯量具有可相加性 转动惯量具有可相加性 22 mV Jr dmrdV 3 转动惯量 moment of inertia o x z dx dm x 2d Jrm ddd m mxx l 23 00 1 d 3 ll mm Jxxx ll 2 1 3 Jml 例例 2 计 算计 算 质 量质 量 为为 m 长长 为为 l 的的 细 棒 绕 通 过 其 端 点细 棒 绕 通 过 其 端 点 的 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 的 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 解解 例3 一质量为m 半径为R 厚度极薄的均匀圆环 1 求通过环中心并与环面垂直的轴的转动惯量 2 若将圆 环改为匀质圆盘 转轴位置不变 求其转动惯量 解解 d d 2d 0 2d o rdr R d2dmr r 2d Jrm 3 0 2d R Jrr 3 2drr 4 2 1 22 R mR 2 ddJrm 转动定律的应用转动定律的应用 例 4 如 图 所 示 质 量 为 m 1 和 m 2 的 物 体 A B 分 别 挂 在 滑 轮 两 端 滑 轮 的 半 径 为 r 转 动 惯 量 为 J 若 物 体 B 与 桌 面 的 摩 擦 系 数 为 滑 轮 与 绳 之 间 没 有 滑 动 且 滑 轮 与 轴 承 间 的 摩 擦 力 可 略 去 不 计 求 两 物 体 的 加 速 度 和 绳 中 的 张 力 解解对定滑轮 由转动定律得 1 2 对物体 由牛顿第二定律得 1 1 1 2 2 2 滑轮和物体的运动学关系为 1 2 1 2 2 联立上述方程可得 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 F r d dl ddcosd cosd sind d AFlFl Fr Fr M 2 1 dAM 功率为功率为 dd dd A PMM tt 第三第三节节 定轴转动定轴转动的动能定理的动能定理 1 力矩的功 刚体中任一质元刚体中任一质元 mi 动能动能 222 2 1 2 1 iiii rmvm 因此 刚体的转动动能 因此 刚体的转动动能 i v i r 2222 11 22 ki ii i Emrmr 2 1 2 k EJ 2 转动动能 d dddd d AMJJ t 2 1 22 21 11 dd 22 AAJJJ 合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 关于保守力 势能 机械能等的分析 同样适用于刚体 关于保守力 势能 机械能等的分析 同样适用于刚体 22 21 11 22 AJJ 3 刚体做定轴转动时的动能定理 c o B A 2 22 111 221 3 3 33 339 mml Jlml 1 水平 水平0 o 2 1 69 l mgml 3 2 g l 例例 5 一一 质 量质 量 为为 m 长 为长 为 l 的的 均 质 细 杆 转 轴均 质 细 杆 转 轴 在在 O 点 距点 距 A 端端 l 3 杆 从 静 止 开 始 由 水 平 位 置 绕 杆 从 静 止 开 始 由 水 平 位 置 绕 O 点 转 动 求 点 转 动 求 1 水 平 位 置 的 角 速 度 和 水 平 位 置 的 角 速 度 和 角 加角 加 速 度 速 度 2 垂 直 位 置 垂 直 位 置 时 的 角 速 度 和 角 加 速 度 时 的 角 速 度 和 角 加 速 度 3 任 意 位 置 时 的 角 速 度 和 角 加 速 度 任 意 位 置 时 的 角 速 度 和 角 加 速 度 解解 c o B A 3 任意位置任意位置 2 1 00sin 62 l mgJ 可以求出任意位置的角速度和角加速度 可以求出任意位置的角速度和角加速度 cos 6 l MmgJ 2 垂直垂直位置位置 重力矩为零 所以角加速度重力矩为零 所以角加速度 0 根据机械能守恒定律 根据机械能守恒定律 1 2 2 6 3 c o B A 2 zii i ii i Lmvrmr i v r i m L 对刚体中质元对刚体中质元 mi对转轴的对转轴的角动量角动量 因此整个因此整个刚体对转轴的刚体对转轴的角动量 角动量 2 zi i LmrJ 第四第四节节 角动量守恒定律角动量守恒定律 1 刚体对定轴的角动量 定轴定轴转动转动定律的另一形式定律的另一形式 定轴转动角动量定理 作定轴转动角动量定理 作定轴转动的刚体所受定轴转动的刚体所受的对轴的合的对轴的合 外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率 适用范 围更广 2 角动量定理 d 1 2 2 1 1 2 d 是力矩在是力矩在t1到到t2时间内的冲量矩 时间内的冲量矩 定轴转动角动量定理定轴转动角动量定理 作定轴转动的刚体所受的对轴的作定轴转动的刚体所受的对轴的的的 冲量矩等于系统角动量的增量 冲量矩等于系统角动量的增量 d d L M t 2 1 21 d t t M tLL 2 1 d t t M t 是力矩在是力矩在t1到到t2时间内的冲量矩 时间内的冲量矩 d d L M t 对于绕固定点的转动 可以做如下变化对于绕固定点的转动 可以做如下变化 若系统合外力矩为零 则系统的角若系统合外力矩为零 则系统的角 动量守恒 动量守恒 自然界重要的普遍规律自然界重要的普遍规律 3 角动量守恒定律 0 0 const 2 1 2 2 1 1 如果刚体作定轴转动时 所受对轴如果刚体作定轴转动时 所受对轴 的合外力矩为零的合外力矩为零Mz 0 0 d d 0 const 角动量守恒 过程角动量守恒 过程1 1 22 3 1 malMmva 机械能守恒 过程机械能守恒 过程2 2 222 1 1 1cos301cos30 2 32 l M lmamgaMg o a l v 3030 由此即可求得子弹的初速度由此即可求得子弹的初速度v 教材教材 例题例题3 3 7 7 也也是应用角动量守恒的例子 是应用角动量守恒的例子 例例 6 一一 长长 为为 l 质 量质 量 为为 M 的的 杆 可 绕 支 点杆 可 绕 支 点 O 自 由 转自 由 转 动 一 质 量动 一 质 量 为为 m 速 度速 度 为为 v 的的 子 弹 射 入 距 支 点子 弹 射 入 距 支 点 为为 a 的的 棒 内 若 棒 偏 转 角棒 内 若 棒 偏 转 角 为为 3 0 问 子 弹 的 初 速 度问 子 弹 的 初 速 度 为 多 少为 多 少 解解 o G o o 第五节第五节进进动动 1 进动 precession 现象 d dL L 陀螺受合外力矩 陀螺受合外力矩 d d L Mr G t 注意其方向 并且注意其方向 并且 的方向要与之一致 的方向要与之一致 dL 下一时刻的角动量 下一时刻的角动量 dLLL 由此决定了陀螺的进动方向 由此决定了陀螺的进动方向 o G z L 2 陀螺进动分析 d d