06年1月远程期末《高等代数二》复习提要及补充 题(05.11.王颖坚).doc

北京大学现代远程教育05年秋季学期计算机科学与技术专业高 等 代 数 (二)复习提纲 （05.11） 第五章 二次型 1。二次型及其矩阵，非退化线性替换 2。两个同阶方阵合同的概念， 合同矩阵的重要性质。 矩阵的合同，相似，等价概念的区别与关系。 3。用正交替换化实二次型为标准形 4。用非退化线性替换化二次型为标准形， 配方法；初等变换法 。 5。二次型的规范形， 二次型的秩。 复数域上二次型的规范形。 实数域上二次型的规范形， 正惯性指数，负惯性指数，符号差。 6。正定二次型 实二次型的正定性及其矩阵的正定性。 实二次型正定（或其实对称矩阵正定）的充要条件。 实二次型负定，半正定，半负定，不定。 习题 5。1 3，4 5。3 1，3 5。4 1 5。5 1，2，3，4，6， 复习题58，10，11，12 第六章 多项式 1。多项式概念， 整除性理论 带余除法，余数定理，综合除法 2。最大公因式 辗转相除法；最大公因式的重要性质； 互素 3。因式分解定理 不可约多项式； 不可约多项式的重要性质； 因式分解定理 4。重因式 重因式的判别； 重因式的去除。 5。复系数与实系数多项式的因式分解 复系数多项式因式分解定理复系数多项式可唯一地分解成 一次因式的乘积。 实系数多项式因式分解定理实系数多项式可唯一地分解成 一次与二次不可约因式的乘积 6。有理系数多项式 本原多项式； 有理系数多项式的因式分解与整系数多项式因式分解的关系； 有理系数多项式的有理根。 习题 6。2（3）3 6。3（1）2 6。3（3）2，3 6。4（2）1 6。5 1，2，3 6。6（1）1 6。7 3（2），4（1），5 复习题 6 1，2，3，10，13 第八章 线性空间 1。线性空间的定义 8。1节例5的线性空间； 习题8。1第1（5）题的线性空间。 2。向量组的线性关系 3。线性空间的维数，基与坐标 维数的定义；维数的判别法。 基与坐标的定义， 坐标的计算 4。基变换与坐标变换 由一组基到另一组基的过渡矩阵； 几组基之间过渡矩阵的关系。 同一个向量对两组基的坐标之间的关系。 5。线性子空间 线性空间的子集构成子空间的充要条件（定理8）； 定理9及其推论； 齐次线性方程组的解空间。 6。子空间的交与和 子空间的交与和的定义； 维数公式； 子空间的直和的定义； 子空间的直和的判别法。 习题 8。11(5) 8。21，4 8。32，5 8。41 8。52，3，5 8。6（1） 1，2 8。6（2） 1，2 复习题 8 1，7，8，9，17高 等 代 数 （二） 补 充 题 (2005.11)第五章1 实对称矩阵A= ，如果 A 的主对角线上有一个元素 ，那么 A 不是正定矩阵。 （ 对 ？ 错 ？） 答：对。 （ 提示：用主子式判断。参看习题5.5第3题）2 设 A 是实的 n 阶可逆矩阵，则 是正定矩阵。 （ 对 ？ 错 ？）解：因 A 可逆，故 与单位矩阵 E 合同，所以 正定。 （对）3. 是负定二次型的充要条件是它的矩阵A的n个顺序主子式都小于零。 （ 对 ？ 错 ？） 解：错。 负定的充要条件是 A的顺序主子式 满足 例如： 是负定的，但是其2阶顺序主子式大于零。 4. 设 是 阶实对称矩阵， ，则存在实维向量 ，使 。 （ 对 ？ 错 ？） 解：因 ，则 不是正定的，也不是半正定的，故有实维向量 ，使 。 （ 对。参看复习题5第10题 ）5. 在实数域上，矩阵 与 是合同的。 （ 对 ？ 错 ？） 解： 的顺序主子式 2 ，故 正定。 的顺序主子式 1 ， ，故 非正定。因非退化线性替换不改变实对称矩阵的正定性，即，合同变换不改变实对称矩阵的正定性，所以 与 不是合同的。6. 设是阶实对称矩阵，有阶实矩阵, 使 ， 则二次型 是半正定的。 （ 对？ 错？ ） 解： 对。 因为对于任意实向量 ，可令 则有 （参看复习题5第8题） 7. 如果3阶实对称矩阵A 的三个顺序主子式都大于零，则A的所有主子式都大于零。 （ 对？ 错？ ） 答：对 。 8. 实对称矩阵A，如果不是正定矩阵，是半正定矩阵，那么A 的行列式 。 （ 对 ？ 错 ？） 解：因A是半正定矩阵，则可经非退化线性替换 X=CY 将二次型化为规范形，其正惯性指数 。故有可逆矩阵C使 其中主对角线上 1 的个数为，从而有 ，（ ） 即 ，所以 。 （对） 9. 矩阵 A 与 B 等价 是 矩阵 A 与 B 合同的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 答：选 B 。10设两个n 阶矩阵 A与B 相似，则 （ ） （A）A与B 合同 （B）A与B不合同 （C）A与B等价 （D）A与B不等价 答：C11设两个n阶矩阵A与B有相同的特征多项式，则 （ ） （A）A与B相似 （B）A与B合同 （C）A与B等价 （D）以上三条都不成立 答：D12设A是n阶可逆矩阵，则 （ ） （A）A与E相似 （B）A与E合同 （C）A与E等价 （D）A与E相等 答：C13. 实二次型 是（ ） A. 正定的 B. 负定的 C. 不定的 D. 半正定的 解： ， 令 即 或写成 X=CY 其中 是可逆矩阵。于是有规范形 ，则正惯性指数 ，故实二次型为半正定。（答：D）14.实二次型 是（ ）A. 负定的 B. 半负定的 C. 不定的 D. 半正定的 解：，其中 实二次型的负惯性指数2 3 ，故二次型是半负定的。15.实二次型 是（ ）A. 正定的 B. 半正定的 C. 不定的 D. 半负定的 解： （规范形） 其中已令 即 则正惯性指数 二次型的秩， 故二次型正定。 16 . 若 与 分别是正定和半正定二次型，则它们的和 是 （ ）A. 正定二次型 B. 半正定二次性 C. 不定二次型 D. 半负定二次型 答：A （用定义） 17.二次型 的矩阵 A 的所有主对角线元素 是 为正定二次型的 （ ）A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 解：因正定二次型的全部主子式均大于零， 故选 B 。 18. 下列矩阵中，是正定的矩阵为 （ ） A. B. C. D. 答：选 B 。 （用顺序主子式判断。 注意，第1个矩阵不是对称矩阵。）19.二次型 的正惯性指数，负惯性指数与符号差分别是 （ A ） (A) 2, 0, 2 (B) 2, 0, 0 (C) 2, 1, 1 (D) 1, 1, 0 解：因 其中 ，故正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，符号差为 2 。第 八 章 1线性空间 的基可取向量组A (1,1,1),(2,0,0),(1,-1,-1) ( ) B (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) ( ) C. , 其中 互不相等 ( ) D. (0,0,2),(0,2,2),(2,2,2), ( ) 提示：利用范德蒙行列式，可知应选 C. 注意，对于 B 有 ，故B中三个向量线性相关。 A中三个向量线性相关。2设有 的两个子空间 ， 则子空间 的维数是 A 一维 （ ） B. 二维 （ ） C 三维 （ ） D. 零维 （ ） 解：解联立方程组 ，其系数矩阵 则 ，此齐次方程组的基础解系有321个独立的解，故 。 3设有的两个子空间 ， 则子空间 的维数为 （ B ） A. 一维 B. 二维 C. 三维 D.零维 解：由，得一般解 ，由此得基础解系 ，它们是 的一组基 。 由 得一般解 ，可取基础解系 因 ，故线性相关。 但线性无关，所以 4. 设 是数域上n维向量空间 V 中的向量组， 的 秩为 r ，则使等式 成立的n维向量 的全体所成的集合构成 的子空间，它的维数是 （ ） A. r B. n C. n r D. 不确定 解：使等式成立的n维向量 的全体所成的集合构成 的子空间，它的维数，就是齐次方程组 的解空间的维数，此齐次方程组的未知量个数为n ,系数矩阵的列向量组 的秩为 r ，即齐次方程组系数矩阵的秩为 r ,故此齐次方程组的解空间的维数为 n r . 所以选 C 。 5方程组 的解向量全体是数域P上的（ ） A. 2维线性空间 B. 3维线性空间 C. 4维线性空间 D. 5维线性空间解：齐次方程组的系数矩阵 则 ，方程组的基础解系含有 个独立解，所以 解向量全体是数域P上的3维线性空间。6设 是线性空间 的一组基， ，则 。 （对 ？ 错 ？） 解：因 且 故由到 的过渡矩阵A是可逆的，则 是V的一组基，于是 。（对）7. 在 中 已知 则由生成的子空间 的维数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 故 ，选 B 。8设是空间V的线性无关向量组，则 （对 ？ 错 ？）解：以为行向量组构成矩阵A ，则，故答：错9. 设 是空间 V 中的向量，且 ，则 A. B. C. D. 解： 由题设条件得 故 可由 线性表出 。又可得 故 也可由 线性表出，从而可知 与 等价。所以 。选 C 。 10. 设 是空间 V 中的向量，且 则 （ ） A. B. C. D. 解：由题设条件得 其系数行列式 ，故 可由 线性表出。但 不能由 线性表出。所以 ，故选 C， 不能选 B 。 又由方程组 可知 ，则 是零子 空间，故不能选 D 。 11实数域 R上