13.4_最短路径问题(优质课).ppt

第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学 上册 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 追问1这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 探索新知 P P P 要想解决这个问题 我们一起先来学习相关的知识点 思考 点P在哪里才能使得路程最短呢 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 本节将利用数学知识继续探究数学中的最短路径问题 最短路径问题 垂线段OC最短 O A B C D E 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 选走哪条路最近 你的理由是什么 两点之间 线段最短 B A 两点在一条直线异侧 已知 如图 A B在直线L的两侧 在L上求一点P 使得PA PB最小 P 连接AB 线段AB与直线L的交点P 就是所求 A B 思考 为什么这样做就能得到最短距离呢 根据 两点之间线段最短 P 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 P 应用 B 点P的位置即为所求 作法 作点B关于直线l的对称点B 连接AB 交直线l于点P 两点在一条直线同侧 已知 如图 A B在直线L的同一侧 在L上求一点 使得PA PB最小 为什么这样做就能得到最短距离呢 MA MB PA PB 即MA MB PA PB 三角形任意两边之和大于第三边 如图所示 要在街道旁修建一个超市 向居民区A B提供生活用品 超市应建在什么地方 才能使从A B到它的距离之和最短 练练考点 请你自己动手试一试 A 超市 B 变形考题 如图 A B在直线L的同一侧 P为L上一动点 点P在L上哪里使得PA PB最小 P 一点在两相交直线内部 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 B C D E 分析 当AB BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时 三角形的周长最小 一点在两相交直线内部 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 分别作点A关于OM ON的对称点A A 连接A A 分别交OM ON于点B 点C 则点B 点C即为所求 A B P Q 如图 A为马厩 B为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的最短路线 巩固反馈 1 如图 张庄A 李庄B位于河沿的同侧 现要在河沿g上修一提灌站C向张庄A 李庄B提水 当提灌站修在河沿g的C处时 所用水管最短 为3千米 已知BC的长为2千米 你能在图中找出张庄A的位置吗 g 提灌站C 李庄B 2 如图 小河边有两个村庄A B 要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水 1 若要使厂部到A B村庄的距离相等 则应选择在哪建厂 2 若要使厂部到A B村的水管最省料 应建在什么地方 A村 B村 3 如图 两条公路OA OB相交 在两条公路的中间有一个油库 设为点P 如在两条公路上各设置一个加油站 请设计一个方案 把两个加油站设在何处 可使运油车从油库出发 经过一个加油站 再到另一个加油站 最后回到油库所走的路程最短 O P 问题2 造桥选址问题 如图 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 A B M N a b 解决问题2 作图 证明 证明 练习1 如图1 台球桌上有一个黑球 一个白球 如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球 2 如图2 四边形ABCD中 BAD 120 B D 90 在BC CD上分别找一点M