12讲函数的图像.ppt

新课标高中一轮总复习 第二单元函数 第12讲 函数的图象 掌握基本函数图象的作法 描点法和图象变换法 会运用函数图象 理解研究函数的性质 会看图得到相关信息 即学会作图 识图 用图 1 函数y 0 a 1 的图象大致是 D y ax x 0 ax x 0 0 a 1 选D 2 下列函数图象中 正确的是 C 对A B 由y x a 知a 1 可知A B图象不正确 对D 由y x a知0 a 1 所以y logax应为减函数 D错 故选C 3 函数y 的图象大致是 B 由函数y 的图象向左平移一个单位长度可得 4 函数f x 的部分图象如图所示 则函数f x 的解析式是 C A f x x sinxB f x C f x xcosxD f x x x x 由图象关于原点对称 且在原点有定义 故原函数为奇函数 且f 0 0 排除B 又观察图象f 0 排除A D 故选C 5 方程lgx sinx的实根有 C A 1个B 个C 个D 无穷多个 在同一坐标下作出函数y lgx和y sinx的图象 注意到lg10 1 由图象易得原方程的实根个数是3 1 基本函数的图象要熟记 一次函数 二次函数 反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数以及常用函数 y y x 图象略 2 函数图象的基本作法有两种 和 描点法 图象变换法 1 描点法作图的基本步骤是 画函数图象时有时也可利用函数的性质如 以及图象上的特殊点 线 如对称轴 渐近线等 2 图象的变换是指 在高考中要求学生掌握的三种变换是 单调性 奇偶性 对称性 周期性等 一个函数的图象经过 适当的变换 得到另一个与之有关的函数图象 平移变换 对称变换和伸缩变换 列表 描点 连线 3 常用函数图象变换的规律 1 平移变换 y f x 的图象向左 或向右 平移a a 0 个单位长度得到函数y f x a 的图象 y f x 的图象向上 或向下 平移k k 0 个单位长度得到函数y f x k 2 对称变换 y f x 与y f x 的图象关于 对称 y f x 与y f x 的图象关于 对称 y f x 与y f x 的图象关于对称 y f x 的图象可将函数y f x 的图象在 其余部分不变 y f x 的图象可将函数y f x 的图象在x 0的部分作出 再用 作出x 0的图象 y轴 x轴 原点 x轴下方的部分以x轴为对 称轴翻折到x轴上方 偶函数的图象关 于y轴对称 3 伸缩变换 y kf x k 0 的图象可将函数y f x 的图象上所有点 的而得到 y f x 0 的图象可将函数y f x 的图象上所有点的 得到 4 函数y f a x 与y f a x 的图象关于 对称 y f a x 与y b x 的图象关于 对称 纵坐标变为原来的 k倍 横坐标不变 横坐标变为原来的 纵坐标不变 x 0 x 题型一函数图象的变换 例1 作出下列函数的大致图象 1 y x 2 x 1 2 y 3 y lg x 这几个函数的图象均可由最基本的函数图象经过几种变换得到 1 函数的定义域为实数集R x 2 x x 2 x 2 由二次函数的图象经过变换作出其图象 如图甲 y x 2 x 1 2 函数的定义域为 x x R 且x 因为函数y 因此由y 的图象向左平移一个单位长度 向下平移一个单位长度即可得到函数y 的图象 对分子 分母都是一次的分式函数 它的图象特点是有一个对称中心 有两条渐近线 可通过分离常数的方法求解 如图乙 3 函数的定义域是 x x 0 x R 先作y lgx关于y轴对称的图象 得到y lg x 共同组成y lg x 的图象 再将x轴下方的图象翻折到x轴上方 即得到y lg x 的图象 如图丙 0 由式作图 这是高考中常见的一类的问题 解决这类问题主要是将解析式进行化简 然后与一些熟知的函数图象相联系 通过各种图象变换得到要求的函数图象 另外 还要善于借助解析式 发现函数的性质 如单调性 奇偶性 对称性 周期性等 以此帮助分析函数的图象特征 其基本步骤 求出函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 利用基本函数的图象画出所给函数的图象 题型二利用函数图象研究函数性质 例2 1 已知定义在区间 0 1 上的函数y f x 的图象如图所示 对于满足0 x2 x1 x2f x1 x1f x2 f 其中正确的结论的序号是 2 函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图所示 则 A b 0 B b 0 1 C b 1 2 D b 2 A 本题属于识图问题 通过对给出的函数图象的分析 判断 抽象出函数所具有的一些性质 满足的条件等 1 由图象给出信息得f x 在 0 1 上单调递增 故 正确 由函数图象在每一点处的切线的倾斜角都是递减的 知 得 正确 作出与f 对应的点发现 也正确 注 实际是说f x 是 凸函数 故填 2 由图象给出的信息得0 1 2是方程f x 0的三个根 所以d 0 设f x ax x 1 x 2 ax3 3ax2 2ax 知b 3a 再由f x 的函数值的符号得a 0 所以b 0 题型三图象法的综合应用 例3 1 2010 安徽安庆三模 已知f x 是定义域为 0 0 的奇函数 在区间 0 上单调递增 f x 的图象如右图所示 若x f x f x 0 则x的取值范围是 2 2010 山东东营二模 已知直线y x m与函数y 的图象有两个不同的交点 则实数m的取值范围是 3 0 0 3 1 m 1 因为f x 为奇函数 所以x f x f x 2x f x 0 又f x 在定义域上的图象如题图 所以取值范围为 3 0 0 3 2 因为函数y 1 x2的图象如下图所示 由图可知 1 m 函数的图象的应用 主要体现在讨论方程的解的个数问题 求不等式的解集 不等式的恒成立等 注重数 形之间的转化 若关于x的方程 x2 4x 3 a x至少有三个不相等的实数根 试求实数a的取值范围 原方程重新整理为 x2 4x 3 x a 将两边分别设成一个函数并作出它们的图象 即求两图象至少有三个交点时a的取值范围 原方程变形为 x2 4x 3 x a 于是 设y x2 4x 3 y x a 在同一坐标系下分别作出它们的图象 如右图 当a 3时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象无交点 不合题意 舍去 当a 3时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象只有一个交点 不合题意 舍去 当 3 a 1时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象有两个交点 不合题意 舍去 当a 时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象有三个交点 符合题意 若方程 x2 4x 3 x a有两个相等的实根 即x2 3x 3 a 0有两个相等的实根 此时 9 4 3 a 0 得a 当 1 a 时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象有四个交点 符合题意 当a 时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象有三个交点 符合题意 当a 时 由图可知 函数y x2 4x 3 与函数y x a的图象有两个交点 不合题意 舍去 综上所述 实数a的取值范围是 1 1 作函数图象的常用方法有描点法和变换法 对前者 要注意对函数性质的研究 对后者 要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则 2 识图 问题 能根据给定的函数图象观察函数的有关性质 如奇偶性 单调性 周期性 最值或极值等 3 用图 问题 由于函数的图象提供了形的直观性 因而为灵活利用图象处理有关不等式 方程的解的个数 求参数范围等问题提供了有力的工具 2009 湖南卷 如图 当参数 1 2时 连续函数y x 0 的图象分别对应曲线C1和C2 则 B 0 1 2B 0 2 1C 1 2 0D 2