5.2平面向量基本定理及坐标运算.doc

52平面向量基本定理及坐标运算 一、【教学目标】重点：掌握用基础向量表示其它向量的方法,掌握用坐标进行平面向量的加法，减法与数乘运算难点：用平面向量解决几何问题时，隐含的三点共线条件的应用能力点：培养学生的数形结合思想，转化思想和分类讨论思想，提高分析问题、解决问题的能力教育点：通过平面向量基本定理把向量和坐标联系起来，培养学生辩证唯物主义观点，通过向量两种形式的线性运算，提高学生思维的严谨性自主探究点：1平面向量基本定理的内容，应用；2恰当选择基底表示其它向量；3平面向量基本定理和向量共线定理的综合应用；4向量的坐标运算考试点: 平面向量的线性运算包括几何形式的运算和坐标形式的运算易错点：向量的夹角和三角形的内角范围区分易混点: 向量共线的充要条件和向量垂直的充要条件拓展点: 使学生进一步提高运用转化的观点来解决问题的自觉性，体会消元思想、数形结合思想和分类讨论思想等二、【知识梳理】1平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量，_一对实数，使_其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组_（2）两个向量的夹角已知两个_向量，在平面内任取一点,作，则叫做向量与的夹角（如图）向量夹角的范围是_，当_时，两向量共线当_时，两向量垂直，记作（3）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解（4）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，把有序数对_叫做向量的坐标，记作_，其中_叫做在轴上的坐标，_叫做在轴上的坐标设，则向量的坐标就是_的坐标，即若，则点坐标为_，反之亦成立（是坐标原点）2平面向量的坐标运算（1）向量的加法和减法若则（2）实数与向量的乘积若则（3）向量的坐标若起点终点则 3平面向量共线的坐标表示设，其中，_三、【范例导航】例1.如图，在平行四边形中，分别为，的中点，已知，试用,表示，【分析】选出平行四边形的两个邻边表示的向量为基底，其它向量用基底表示解方程得到【解答】方法一设，则将代入得代入得:,方法二设，因为分别为DC，BC的中点所以,因而,即,【点评】利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算 C B O A 变式训练：1 如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为，与的夹角为，且，若则的值为_答案： 例2已知点，(1)求点在第二象限的充要条件(2)证明：当时，不论为何实数，三点共线(3)试求当满足什么条件时，能组成一个平行四边形【分析】本题的关键是写出相关向量的坐标,利用坐标结合相应位置关系确定结果【解答】(1)解：，在第二象限的充要条件是有解且(2)证明：当时，有，不论为何实数，三点共线(3)解：由，得点,能组成一个平行四边形有三种情况：当，有；当，有；当，有【点评】1向量坐标化才能有利于代数运算；此外，如何运用平行四边形的性质，找解决问题的切入口2向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解变式训练：2已知，且，试求点，和的坐标答案： ，设，则，同理可得，因此所求，,例3平面内给定三个向量,请解答下列问题：（1）求满足的实数；（2）若，求实数；（3）若满足，且，求【分析】（1）把坐标带入利用向量相等的充要条件列方程组求解；（2）利用向量共线的充要条件列方程；（3）把两个条件转化为坐标形式的方程组求解【解答】（1）由题意得 ，所以，得（2）, （3）设,由题意得 ,解得或，或【点评】（1）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合（2）根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用变式训练：3已知（1）求；（2）当k为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？【答案】（1）（2）,此时向量与方向相反四、【解法小结】 1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多，处理问题时要关注隐含的三点共线问题2平面直角坐标系中，以原点为起点的向量，点的位置被所唯一确定，此时的坐标与点的坐标都是向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量 、向量、点相互一一对应要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如，则五、【布置作业】必做题： 1(2013年高考山东文15)在平面直角坐标系中，已知，若，则实数的值为_ 2(2013年高考山东理15) 已知向量，若，且，则实数的值为_ 3已知向量，且，则实数的值为_ 4设，为坐标原点，若三点共线，则的最小值是_ 5如图所示，是内一点，且满足设为延长线与的交点，令试用p表示必做题答案:1 ； 2 ； 3； 4 ；5解：设由已知条件即，由平面向量基本定理得解得，因此选做题：1.（2010杭州模拟）在中， ，若点满足，则_2已知平行四边形三个顶点的坐标分别为，求第四个顶点的坐标3如图所示，在中，点是的中点过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，则的值为_4已知向量,若点能构成三角形，则实数满足的条件是_ 5已知点,且,（）当取何值时，点在轴上运动？点在轴上？点在第二象限?（）四边形能否成为平行四边形？若能求出相应的值；若不能，请说明理由选做题答案:1 ；2或或；3 ； 4 5（） ，若在轴上，只需，；若在 轴上，只需，；若在第二象限，只需, （）若四边形为平行四边形，则，由于无解，故四边形不能构成平行四边形六、【教后反思】本教案的亮点：1向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些