K-3.3 一维双原子链的振动-3.4 三维晶格振动-41.pptx

3 3一维双原子链振动 模型 考虑一个由质量m和质量M两种原子 设M m 等距相间排列的一维双原子链 设晶格常数为2a 原子间的力常数为 在t时刻 两种原子的位移分别为 l l l l 2a 一 运动方程以及其解 假定原子链无限长 且只考虑最近邻原子间相互作用 第n个元胞中两个原子的相互作用 2 2 1 2 2 2 1 2 令格波解 代入原方程 得到 2 1 2 2 1 2 一 运动方程以及其解 原方程有解的条件是未知系数A B的系数行列式为02 2 1 1 2 2 4 2 2 4 2sin212 0从而得到 2 1 1 4 2sin212 12并且 轻重原子的振幅之比 包含了相位差 2 2 1 一维双原子链得到了两个解 两种色散关系 它们都是q的周期函数 和一维单原子相同的讨论可知 q取值范围也在第一布里渊区 内 此时点阵基矢是2a 倒易点阵基矢是 称约化质量 一维双原子链晶体可作带通滤波器 图中 带隙 当波矢 s为任意整数 我们有 所以 可见当q q 2 s a s为任意整数 两者对同一原子所引起的振动完全相同 对应某一确定的振动状态 xn 可以有无限多个波矢q 它们间都相差2 s a的整数倍 所以 为了保证xn的单值性 把一维布喇菲格子的q值限制在 a a q值限制在 a a 为什么 零点和布里渊边界数值的确定 二 声学波和光学波 的一支 0时 频率取极小值 0 时 频率取极大值 2 称为声学支如果 0 0 2 2 2 2 1群速等于相速 与频率无关 表现为长波长弹性波 而纵弹性波与声波是等同的长声学波的轻重原子的振幅和相位相同 表示质心的运动 二 声学波和光学波 的一支当 0时 频率极大值 2 为约化质量 当 时 频率取极小值 2 称为光学支当 0时 2 2 2 2 振动频率由力常数 和约化质量决定 恰好位于电磁波频谱的远红外区域长光学波的轻重原子反向振动 而质心不动 二 声学波和光学波 当 时 布里渊区边界 2 0 2 声学波表示质量为M的重原子振动 频率仅与M有关 光学波表示质量为m的轻原子振动 频率仅与m有关当 时 重原子和氢原子分别形成系统的两种驻波状态假设 在布里渊边界处的频隙消除 双原子链退化为单原子链 2 布里渊区扩大了一倍双原子链等价于一个带通滤波器 两支模式的区别在于 光学波模式是描写原胞中两个原子相对运动的振动模式 若这两个原子组成一个分子 光学波模式实际上是分子振动模式 描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况 声学波模式代表同一原胞中原子的整体运动 若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话 声学波模式则代表分子的整体运动模式 这种振动模式的色散关系类似于声波 但它不是声波 说明 q 0 LA LO LA LO 玻恩 卡曼边界 使用玻恩 卡曼边界来处理 得到 1 2 其中h为整数 由于q 1 即 2 2因此 q在第一布里渊区内均匀分布 取N个值独立的波矢数 波矢密度 2 3 4三维晶格振动格波量子 声子 一 三维晶格振动 晶体中有N个元胞 每个元胞中有n个原子元胞的位置 1 1 2 2 3 3第j个原子质量 晶体位移矢量分量 系统动能 12 2系统势能 12 2 0 一 三维晶格振动 运动方程其中原子力常数只取决于两个元胞之间的相对位置 而与他们之间的绝对位置无关 即运动方程改写为 2 0 一 三维晶格振动 令格波解代入运动方程得到而是 的傅里叶变换 它组成一个3n阶矩阵 称为动力学矩阵 2 2 R 一 三维晶格振动 新方程组有解的条件是系数行列式为0可以解出3n个色散关系 三支声学波在布里渊区高对称点或连线上 两支横波 一支纵波3n 3支光学波在布里渊区高对称点或连线上 2 n 1 支横波 n 1支纵波 3 3 0 一 三维晶格振动 容易证明于是同时注意到所以独立的波矢 应该限制在一个倒格子元胞范围内 通常选择在第一布里渊区内 纵波 原子振动方向与波传播方向一致横波 原子振动方向与波传播方向垂直对于声学支 横声学支 Transverseacousticbranch TA 纵声学支 Longitudinalacousticbranch LA 对于光学支 横光学支 Transverseopticbranch TO 纵光学支 Longitudinalopticbranch LO 纵振动 横振动 光学 原子的相对运动 以金刚石为例 可将上述讨论更加具体化 金刚石是复式格子 每一个原胞中有两个原子 有3支声学波和3支光学波 对于某一传播方向 频率 和波矢q的关系曲线如图所示 光学波的频率随q变化很小 在实际计算中 将其视为与波矢q无关的常数 在三支声学波中一支是纵波 两支是横波 当q很小时 与q成比例 这时 声学波与弹性波一样 波速为常数 而且就是弹性波的速度 频率 和波矢q的关系曲线 沿 100 及 111 轴两支横波简并 图中横坐标以2 l为单位 其中l代表有关轴向的格点间距 一 三维晶格振动 边界条件 设晶体是一个规则的平行六面体 三条棱沿三个基矢 1 2 3 长度 1 1 2 2 3 3 元胞数 N1N2N3 晶体体积为 1 1 2 2 3 3 冯恩 冯卡门边界 将其代入格波解这要求 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 3 一 三维晶格振动 边界条件 可以选择波矢因为 1 所以独立的波矢数 13 1 2 3 元胞数 波矢密度 2 3独立格波数 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 补充 关于波矢q 1 一维 m 0 1 2 一个m值对应一个q点 波矢取分离值 均匀分布相邻q点 距离 为 一个q点的 长度 为q空间中波矢q的密度 第一布里渊内q点的取值数 N 初基元胞数 原子数 相邻q点距离 第一布区内 波矢q可取值数 N个原子组成的一维单原子链 第一布区 一维 二维 三维 q的取值 一个q点占的体积 q q点的密度 二 格波量子 声子 一个独立的格波等价于简正坐标 描述的谐振子 能量本征值为能量是量子化的 定义格波的量子为声子在温度T达到热平衡时 振子具有 个声子的概率 12 麦克斯韦尔 玻尔兹曼分布 gi是简并度 二 格波量子 声子 一个振子的平均声子占据数是平均热激发能量 12 总平均声子数 平均热激发能 12 1 ln 1 ln1 1 1 二 格波量子 声子的准动量 一维单原子链 晶体的物理动量具有N个原子的一位原子链载有一种q波矢声子时 系统单模激发的原子位移为得到全部动量来自 0的这一模式 0 晶格振动的实验观测 辐射波照射晶体后 由于和晶格振动发生了能量交换 吸收或者激发出一个声子而改变能量和方向 测出辐射波的能量和方向的变化量 即可确定一个声子的能量和波矢 0 0 确定声子的波矢 确定声子的频率 非弹性X 射线散射 X射线是在同振动着的晶格发生作用 因此除了衍射现象外 电磁波还会和晶格发生能量的交换 入射波吸收或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化 这就是X射线的非弹性散射 由于X射线频率 10eV 远大于声子频率 0 03eV 0 0 确定波矢 确定频率 q 2 0sin 0 0 光子散射法 X射线能量太高 波矢 108cm 1 和布里渊区接近 激光可见光源的能量降低了 但波矢 105cm 1 也降低了 和晶体的布里渊区比小了 因而 光散射只能和长波声子 即接近布里渊区心的声子发生相互作用 涉及光学声子的称Raman散射 涉及声学声子的称Brilouin散射 远红外和红外吸收光谱也只能测光学声子 测定的晶格振动谱只是长波附近很小的一部分声子 非弹性中子散射 红外吸收和喇曼散射光谱只能研究布里渊区中心附近的光学振动模 而不能研究整个布里渊区内全部的振动模 后者要由非弹性中子散射来实现 波长为0 1nm的中子 能量约为82meV 波长与原子间距相当 能量也和原子振动相当 使用中子束探测声子时 可以方便的在整个布里渊区内进行 是目前实验研究晶格振动最全面 最重要的手段 两位开辟中子散射技术的带头人因此获得了1994年的Nob