高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_5空间向量及其运算课件理苏教版

8 5空间向量及其运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 空间向量的有关概念 知识梳理 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b a 0 b与a共线的充要条件是存在实数 使b a 2 共面向量定理如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在有序实数 x y 使 3 空间向量基本定理如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组 x y z 使得p p xa yb xe1 ye2 ze3 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作 a b 则 AOB叫做向量a b的夹角 记作 其范围是 若 a b 则称a与b 记作a b 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫做向量a b的数量积 记作 即a b a b 0 a b 互相垂直 a b cos a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b b a a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 b1 a1 b2 a2 b3 a3 a1b1 a2b2 a3b3 0 1 向量三点共线定理 在平面中A B C三点共线的充要条件是 其中x y 1 O为平面内任意一点 2 向量四点共面定理 在空间中P A B C四点共面的充要条件是 其中x y z 1 O为空间中任意一点 几何画板展示 几何画板展示 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 在向量的数量积运算中 a b c a b c 3 对于非零向量b 由a b b c 则a c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 5 若A B C D是空间任意四点 则有 0 考点自测 1 已知正四面体ABCD的棱长为a 点E F分别是BC AD的中点 则的值为 答案 解析 则 a b c a 且a b c三向量两两夹角为60 a2cos60 a2cos60 a2 2 2016 苏州模拟 向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 下列结论正确的是 a b a c a b a c a c a b 答案 解析 因为c 4 6 2 2 2 3 1 2a 所以a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 所以a b 3 教材改编 已知a 2 4 x b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值为 答案 解析 1或 3 依题意得 x y 1或x y 3 4 如图 在四面体O ABC中 a b c D为BC的中点 E为AD的中点 则 用a b c表示 答案 解析 5 教材改编 正四面体ABCD的棱长为2 E F分别为BC AD中点 则EF的长为 答案 解析 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 题型分类深度剖析 题型一空间向量的线性运算例1 1 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中 O为AC的中点 答案 解析 2 三棱锥O ABC中 M N分别是OA BC的中点 G是 ABC的重心 用基向量表示 解答 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 思维升华 跟踪训练1 2016 盐城模拟 如图所示 在空间几何体ABCD A1B1C1D1中 各面为平行四边形 设 a b c M N P分别是AA1 BC C1D1的中点 试用a b c表示以下各向量 解答 因为P是C1D1的中点 解答 因为M是AA1的中点 题型二共线定理 共面定理的应用例2 2016 南京模拟 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 1 求证 E F G H四点共面 证明 连结BG 由共面向量定理的推论知E F G H四点共面 证明 2 求证 BD 平面EFGH 所以EH BD 又EH 平面EFGH BD 平面EFGH 所以BD 平面EFGH 3 设M是EG和FH的交点 求证 对空间任一点O 有 证明 找一点O 并连结OM OA OB OC OD OE OG 由 2 知 同理 所以 即EH綊FG 所以四边形EFGH是平行四边形 所以EG FH交于一点M且被M平分 1 证明空间三点P A B共线的方法 R 对空间任一点O t R 对空间任一点O x y 1 2 证明空间四点P M A B共面的方法 对空间任一点O 对空间任一点O x y z 1 思维升华 跟踪训练2已知A B C三点不共线 对平面ABC外的任一点O 若点M满足 1 判断三个向量是否共面 解答 由题意知 2 判断点M是否在平面ABC内 解答 由 1 知共面且基线过同一点M M A B C四点共面 从而点M在平面ABC内 题型三空间向量数量积的应用例3 2016 盐城模拟 如图 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是边长为1的正方形 AA1 2 A1AB A1AD 120 1 求线段AC1的长 解答 则 a b 1 c 2 a b 0 c a c b 2 1 cos120 1 线段AC1的长为 2 求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值 解答 设异面直线AC1与A1D所成的角为 a b c b c a b c b c a b a c b2 c2 0 1 12 22 2 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 3 求证 AA1 BD 证明 c b a c b c a 1 1 0 AA1 BD 1 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系 也可以利用垂直关系 通过向量共线确定点在线段上的位置 2 利用夹角公式 可以求异面直线所成的角 也可以求二面角 3 可以通过 a 将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 思维升华 跟踪训练3如图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 以顶点A为端点的三条棱长度都为1 且两两夹角为60 1 求的长 解答 则 a b c 1 a b b c c a 60 a b b c c a a b c 2 a2 b2 c2 2 a b b c c a 1 1 1 2 6 即AC1的长为 2 求与夹角的余弦值 解答 b c a a b b c a a b b2 a2 a c b c 1 即与夹角的余弦值为 典例 14分 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1 在底面 ABC中 CA CB 1 BCA 90 棱AA1 2 M N分别是A1B1 A1A的中点 1 求的模 2 求cos 的值 3 求证 A1B C1M 坐标法在立体几何中的应用 思想与方法系列18 规范解答 思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时 首先要将几何问题转化成向量问题 通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解 1 解如图 建立空间直角坐标系 依题意得B 0 1 0 N 1 0 1 2 解依题意得A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 3 证明依题意得C1 0 0 2 M 2 1 1 2 所以 即A1B C1M 14分 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 在下列命题中 若向量a b共线 则向量a b所在的直线平行 若向量a b所在的直线为异面直线 则向量a b一定不共面 若三个向量a b c两两共面 则向量a b c共面 已知空间的三个向量a b c 则对于空间的任意一个向量p总存在实数x y z使得p xa yb zc 其中正确命题的个数是 答案 解析 0 a与b共线 a b所在的直线也可能重合 故 不正确 根据自由向量的意义知 空间任意两向量a b都共面 故 不正确 三个向量a b c中任意两个一定共面 但它们三个却不一定共面 故 不正确 只有当a b c不共面时 空间任意一向量p才能表示为p xa yb zc 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2016 苏州模拟 已知a 2 1 3 b 1 2 3 c 7 6 若a b c三向量共面 则 答案 解析 9 由题意知c xa yb 即 7 6 x 2 1 3 y 1 2 3 解得 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2017 南京检测 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为A1C1与B1D1的交点 若 a b c 则向量 用a b c表示 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 如图 在大小为45 的二面角A EF D中 四边形ABFE CDEF都是边长为1的正方形 则B D两点间的距离是 答案 解析 1 1 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2016 徐州模拟 如图所示 已知空间四边形OABC 其对角线为OB AC M N分别为OA BC的中点 点G在线段MN上 且 若 则x y z的值分别为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 点M在AC1上且 N为B1B的中点 则 答案 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则A a 0 0 C1 0 a a N a a 设M x y z 点M在AC1上且 x a y z x a y a z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 A B C D是空间不共面四点 且 则 BCD的形状是 三角形 填锐角 直角 钝角中的一个 答案 解析 锐角 所以 CBD为锐角 同理 BCD BDC均为锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 南京模拟 设O ABC是四面体 G1是 ABC的重心 G是OG1上的一点 且OG 3GG1 若 则x y z的值分别为 答案 解析 如图所示 取BC的中点E 连结AE x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 连云港模拟 已知a x 4 1 b 2 y 1 c 3 2 z a b b c 则c 答案 解析 3 2 2 因为a b 所以 解得x 2 y 4 此时a 2 4 1 b 2 4 1 又因为b c 所以b c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c 3 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 已知ABCD A1B1C1D1为正方体 向量与向量的夹角是60 正方体ABCD A1B1C1D1的体积为其中正确的序号是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 中 故 正确 中 因为AB1 A1C 故 正确 中 两异面直线A1B与AD1所成的角为60 但与的夹角为120 故 不正确 中 0 故 也不正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 如图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 点M P Q分别为棱AB CD BC的中点 若平行六面体的各棱长均相等 则 A1M D1P A1M B1Q A1M 平面DCC1D1 A1M 平面D1PQB1 以上正确说法的个数为 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A1M D1P 由线面平行的判定定理可知 A1M 平面DCC1D1 A1M 平面D1PQB1 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 如图所示 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1 点E F G分别是AB AD CD的中点 计算 解答 则 a b c 1 a b b c c a 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 b c a b c2 a c 3 EG的长 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 异面直线AG与CE所成角的余弦值 解答 由于异面直线所成角的范围是 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 如图 在直三棱柱ABC A B C 中 AC BC AA ACB 90 D E分别为AB BB 的中点 1 求证 CE A D 证明 根据题意得 a b c 且a b b c c a 0 即CE A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10