中考数学 第一部分 考点研究 第四章 三角形 第五节 解直角三角形及其实际应用课件

第四章三角形第五节解直角三角形及其实际应用 考点精讲 解直角三角形及其实际应用 锐角三角函数的定义 锐角三角函数 特殊角的三角函数值记忆法 直角三角形的边角关系 解直接三角形的实际应用 仰角 俯角 坡角 坡度 方向角 精确度 解直角三角形实际应用题的一般步骤 锐角三角函数的定义 如图 在Rt ABC中 C 90 A为 ABC中的一锐角 则有 B C的对边分别为a b c A的正弦 sinA A的余弦 cosA A的正切 tanA 三角函数 30 45 60 图表记忆法 如图 图 规律记忆法 30 45 60 角的正弦值的分母都是2 分子依次为1 30 45 60 角的余弦值是60 45 30 角的正弦值 直角三角形的边角关系 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一锐角 a A B 90 A c b 或b 已知斜边和一个锐角 c A B 90 A a csinAb ccosA 或b 已知两直角边 a b c 由tanA 求 A B 90 A 已知斜边和一条直角边 c a c 由tanA 求 A B 90 A 1 仰角 俯角 如图 所示 当从低处观测高处的目标时 视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的的目标时 视线与水平线所成的锐角称为俯角2 坡角 坡度 如图 所示 通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度 用字母i表示 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作 则有 3 方向角 如图 所示 A点位于O点的北偏东30 方向 而B点位于O点的南偏东60 方向4 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位 如3 1是精确到0 1或叫做精确到十分位 5 解直角三角形实际应用题的一般步骤 1 审题 注意仰角 俯角 坡度 水平距离 垂直距离等概念定义 2 画图 想办法构造直角三角形 必要的情况下还要添加辅助线 3 转化 将实际的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系 4 解题 灵活应用三角函数定义及有关关系 三角形的有关公式 定理等 5 答 注意单位 例1 2016连云港 如图 在 ABC中 C 150 AC 4 tanB 1 求BC的长 重难点突破 直角三角形的边角关系 1 思维教练 已知tanB C AC的值 要求BC的值 需构造直角三角形 即过点A作AD BC的延长线于点D 因为BC BD CD 所以只要求出BD CD的长即可求解 CD可以在Rt ACD中求解 BD可以在Rt ABD中求解 而求BD的长 需先在Rt ACD中求出AD的长 解 如解图 过点A作AD BC的延长线于点D ACB 150 ACD 30 AD AC 2 CD AC在Rt ABD中 BC 16 思维教练 由 1 知 ACD 30 要求tan15 的值 可以想到构造以 ACD为外角 AC为腰的等腰三角形即可得到含15 角的直角三角形 从而根据锐角三角函数的定义求解 2 利用此图形求tan15 的值 精确到0 1 参考数据 解 如解图 在CB上截取CE CA 4 则 CEA CAE ACD 15 tan15 tan15 的值为0 3 练习1 2016怀化 在Rt ABC中 C 90 sinA AC 6cm 则BC的长度为 A 6cmB 7cmC 8cmD 9cm C 解析 sinA 设BC 4a 则AB 5a AC 3a 3a 6 即a 2 故BC 4a 8cm 例2 2016天水 如图所示 某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60 沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45 已知OA 200米 山坡坡度为 即tan PAB 且O A B在同一条直线上 求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的垂直高度 测倾器的高度忽略不计 结果保留根号 直角三角形的实际应用 二 思维教练 要求OC的值 已知 CAO 60 AO 200米 即可在Rt AOC中 运用锐角三角函数求解 要求点P的垂直高度 即可想到作辅助线PE AB PF CO 已知tan PAB CPF 45 可通过CF PF列方程求解PE的值 解 如解图 过点P作PE OB于点E PF CO于点F 在Rt AOC中 AO 200 CAO 60 CO AO tan60 设PE x tan PAB AE 3x 在Rt PCF中 CPF 45 CF 200 x PF OA AE 200 3x PF CF 200 3x x 解得x 50 米 答 电视塔OC高为米 点P的铅直高度为 50 米 练习2 2016哈尔滨 如图 一艘轮船位于灯塔P的北偏东60度方向 与灯塔P的距离为30海里的A处 轮船沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东30 方向上的B处 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 A 60海里B 45海里C 20海里D 30海里 D 解析 由题意可得 B 30 AP 30海里 APB 90 故AB 2AP 60 海里 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为 BP 30 海里 练习3 2016南通 如图 为了测量某建筑物MN的高度 在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30 向N点方向前进16m到达B处 在B处测得建筑物顶端M的仰角为45 则建筑