高中数学第三章导数及其应用3_4生活中的优化问题举例课件新人教a版选修1_1

3 4生活中的优化问题举例 自主学习新知突破 1 通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤 2 会利用导数解决某些实际问题 2012春 我国云南遭遇特大旱灾 为确保农业生产用水 某市及时下拨资金建水塔和泵房 已知水塔为圆柱体 其上 下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的a倍 当其容积为常量时 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最低 最优化问题 解决优化问题的基本思路 解决优化问题的一般步骤 1 审题 阅读理解文字表达的题意 分清问题和结论 找出问题的主要关系 2 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 主要是函数模型 引入恰当的变量 把待求最值的对象表示为该变量的函数 3 解模 把数学问题化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 此处主要是利用导数求函数最值 4 结合实际问题的实际意义 对结果进行验证评估 定性定量分析 作出正确的判断 并确定其答案 1 某产品的销售收入y1 万元 是产品x 千台 的函数 y1 17x2 生产总成本y2 万元 也是x的函数 y2 2x3 x2 x 0 为使利润最大 应生产 A 9千台B 8千台C 6千台D 3千台解析 利润函数y y1 y2 18x2 2x3 x 0 求导数得y 36x 6x2 令y 0得x 6或x 0 舍去 答案 C 2 将长度是8的均匀直钢条截成两段 使其立方和最小 则分法为 A 2与6B 4与4C 3与5D 以上均错解析 设一段长为x 则另一段为8 x 其中0 x 8 设y x3 8 x 3 则y 3x2 3 8 x 2 3 16x 64 令y 0 得x 4 检验知x 4时y最小 答案 B 3 要做一个圆锥形的漏斗 其母线长为20cm 要使其体积最大 则高为 4 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问此轮船以何种速度航行时 能使行驶每千米的费用总和最小 合作探究课堂互动 面积 容积的最值问题 在高为H 底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体 则圆柱体的半径r为多大时 1 圆柱体的体积最大 2 圆柱体的表面积最大 思路点拨 由题意写出关于r的体积与表面积函数 用导数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值 设圆柱体的底面半径为r 高为h 体积为V 表面积为S 设 ABC中BC边上的高为H 如图所示 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 2 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与宽的积成正比 要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁 横截面的宽与高应是多少 最大利润问题 1 写出2013年第x个月的需求量f x 件与月份x的函数关系式 2 该商品每件的售价为185元 若不计其他费用且每月都能满足市场需求 则此商场2013年销售该商品的月利润最大是多少元 利润最大问题是我们生活中最常遇到的问题 根据利润 收益 销售额 成本 列出函数关系式 再利用导数求函数的最大值 成本最低 费用最省 问题 如图 某工厂拟建一座平面图为矩形 且面积为200m2的三级污水处理池 由于地形限制 长 宽都不能超过16m 如果池外周壁建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁厚度忽略不计 且池无盖 1 写出总造价y 元 与污水处理池长x m 的函数关系式 并指出其定义域 2 污水处理池的长和宽各为多少时 污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价 用导数解最值应用题 一般应分为五个步骤 1 建立函数关系式y f x 2 求导函数y 3 令y 0 求出相应的x0 4 指出x x0处是最值点的理由 5 对题目所问作出回答 求实际问题中的最值问题时 可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 时 的