24 一元线性回归分析的应用.ppt

2 4一元线性回归分析的应用 预测问题 一 点预测 0是条件均值E Y X X0 或 个值Y0的一个无偏估计 二 总体条件均值与个值预测值的置信区间 点预测 就是根据一个给定的解释变量的值 预测 样本回归模型经验有效后 就可以付诸应用 最 基本的应用就用它进进行经验预测 所谓预测 就是给定解释变量的值 X0 对被解 释变量的相应值 Y0 作出估计 预测有两种方式 一种是点预测 另一种是区间预测 相应的被解释变量的一个可能值 区间预测 是根据一个给定的解释变量的值 预测相 应的被解释变量取值的一个可能范围 即提供被解释变量的一个置信区间 对于一元线性回归模型 Yi 0 1Xi给定样本以外的解释变量的观测值X0 可以得到被解释变量的预测值 0 可以此作为其条件均值E Y X X0 或个别值Y0的一个近似估计 注意 严格地说 这只是被解释变量的预测值的估计值 而不是预测值 原因 1 参数估计量不确定 2 随机项的影响所以我们得到的仅仅是预测值的一个估计值 预测值仅以某个置信度处于以该估计值为中心的一个区间中 预测在更大程度上说是一个区间估计问题 一 点预测 0是条件均值E Y X X0 或个值Y0的一个无偏估计 假定 样本回归直线 Yi 0 1Xi通过了经济准则 统计准则等一系列检验具备良好的精度和预测功效 现给定X X0 则Y0 0 1X0 0就是被解释变量Y在点X0上的一个预测值 称为点预测值 个别值 0 0 Y 0是真实平均值的点估计 也是对个别值的点估计 e0 X0 X Y0 SRFPRF Y点预测值Y 真实平均值E Y0X0 对总体回归函数E Y X X0 0 1X X X0时 E Y X X0 0 1X0 Y0 0 1X0 于是 E Y0 E 0 1X0 E 0 X0E 1 0 1X0 可见 0是条件均值E Y X X0 的无偏估计 另一方面 在总体回归模型Y 0 1X 当X X0 时 Y0 0 1X0 于是 E Y0 E 0 1X0 0 1X0 E 0 1X0 E Y0 E 0 1X0 E 0 X0E 1 0 1X0 在点预测中 Y 0是根据样本回归函数计算出来的 它是被解释变量的实际值Y0的一个估计量 显然 Y 0是一个随机变量 抽取的样本不同 得到的参数值就不一样 从而计算出来的 0的值也就不同 0与Y0之间一般是有误差的 这种误差有 多大呢 点预测无法提供相关的信息 此外 既然是用 0估计Y0 则必定存在一个估计的信度问题 即我们估算Y0的值为 0 这种可能 性有多大呢 或者说 这种估计的把握度是多少呢 点预测无法提供相关的信息 因此 点预测存在的两个方面的不足 一是 在提供预测值的同时 未能同时提供这种预 测估计的精度 即误差大小 二是 在提供预测值的同时 未能同时说明作这种 预测估计的把握度 即置信度 而区间估计则能克服上述两个方面的不足 N Xi2 n xi2 1 N 1 2 xi2 二 总体条件均值与个值预测值的置信区间 1 总体均值预测值的置信区间 由于则 2 Y0 0 1X0200E Y0 E 0 X0E 1 0 1X0Var Y0 Var 0 2X0Cov 0 1 X0Var 1 可以证明 i Cov 0 1 2X x2 区间预测的目的是要在一定的置信度下 提供被解释变量可能落在其间的一个区间 即置信区间 区间预测以随机变量的概率分布为依据 i XVar 1 2X x2 因为Cov 0 1 E 0 0 1 1 E 0 E 0 1 E 1 由 2 2 6 E Y 1X Y XE 1 1 E 1 XE 1 E 1 1 E 1 2 2 Xi22X0X 2X0 2 n xi2 xi2 xi Xi2 nX2 2 X 2X0X X0 xi X0 X 2 xi Y 0 N 010 2 X xi 2 因此Var Y 0 2 2 2 n 2 i 2xi2 x2n X0 X 22 1n 故 X0 X 22 1n 2 4 3 1 XF X 2 当 Y0 0 1X0 SY0 t Y0 E YX0 nxi2 2未知时 知得用 2 ei2 n 2 代替 有 t n 2 2 4 4 于是 在1 的置信度下 Y0 E YX0 SY0P Y0 t 2 SY0 E YX0 Y0 t 2 SY0 1 于是 在1 的置信度下 总体均值E Y X0 的置信区间为 Y0 t 2 SY0 Y0 t 2 SY0 2 4 5 Y 00 N 0 2 1 Y xi Y0 ta 2 SY0 Y0 ta 2 S0 Y Y00 2 总体个值预测值的预测区间 由Y0 0 1X0 知 Y0 N 0 1X0 2 于是 X0 X 22 1n 2Y0 Y0Y0 Y020 从而在1 的置信度下 Y0的置信区间为 Y 2 4 7 Var Y 0 13402 3727 29 在例1的收入 消费支出例中 得到的样本回归函数为 Y i 103 172 0 777Xi 则在X0 1000处 0 103 172 0 777 1000 673 84 1 10 1000 2150 2 7425000 而 S Y 0 61 05因此 总体均值E Y X 1000 的95 的置信区间为 673 84 2 306 61 05 E Y X 1000 673 84 2 306 61 05 或 533 05 814 62 同样地 对于Y在X 1000的个体值 其95 的置信区 间为 673 84 2 306 61 05 Y x 1000 673 84 2 306 61 05 或 372 03 975 65 总体回归函数的置信带 域 confidenceband 个体的置信带 域 SRF X0 Y均值的置信区间Y的个别值的置信区间 X 当X0 X时 置信区间最小 X Y Y i 103 172 0 777Xi 从上述区间预测的内容中我们可以看出 1 区间预测优于点预测 它同时提供了预测的置 信度和精度两个方面的信息 置信度就是置信概率 即估计的把握度100 1 a 精度就是区间的宽度 预测区间的宽度 上限 下限 越宽 误差越大 精度越低 3 预测小节 2 影响预测精度的因素有5个 一是预测的置信度要求 在同样情况下 要求预测的反 握度越高 则相应的预测区间就越宽 精度越低 二是总体Y分布的离散程度 离散程度越大 相应的预测 区间就越宽 预测精度越低 三是样本观测点n的多少 n越大 相应的预测区间就越 窄 预测精度越高 四是样本预测点中 解释变量X分布的离度 X分布越离 散 预测精度越高 五是预测点X0离X的均值的距离 预测点越远离样本分布 中心 区间越窄 精度越高 3 正是由于预测精度直接与预测点离样本分布中 心的距离有关 我们进行实际预测时一定要注意 预测期不能无限外推 为了更好地理解一元线性回归分析 充分理解掌握 最简单的经济计量模型的估计 检验和应用 这里我 们再举一例 2 以95 的概率检验模型的有效性 3 以95 的概率估计当价格X 13时 该商品的供给量 解 1 根据原始资料计算 运用Eviews软件计算可得 下表 Yi 要求 1 估计供给函数 0 1Xi 例 下表是关于某商品的供给量 公斤 与价格 元 公斤 的资料 样本供给函数为 Y i 33 75 3 25Xi 2 从经济准则看 价格上涨 供给量增加 显然 量的离差中 有56 71 可以由价格作出解释 是合理的 软件的计算结果来看t 1 3 61 t0 025 10 2 228 t 0 4 08 t0 025 10 2 228 说明价格对供给量的影响是显著的 在该商品供给 X0 X X0 X 1 1 xi Xi X n