最短路径问题的教学设计.docVIP

13.4.课题学习最短路径教学设计基本信息课题人教版（2011年版）八年级上册13.4课题学习 最短路径问题作者及工作单位邱瑞媚 惠州三中教材分析随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。学情分析（1）已有基础知识与生活经验分析本班学生基础一般，自觉性比较差，学习不够努力，来自社会、家长和老师的压力大，学生学的辛苦对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的（2） 学生起点能力分析八（上）的学生，已学过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，但分析推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性教学目标知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用轴对称、平移解决实际问题2、初步学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育教学重点和难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、温故而知新：1、如图1：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？图12、如图2，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？AB二、创设情景 引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” （板书）课题学生回答学生思考教师展示问题，解决问题，获得感性认识.回顾旧知从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.三、自主探究 合作交流 建构新知活动1：思考画图、得出数学问题问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问1：观察思考，抽象为数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 B。Al追问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） lABCB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ B。Al问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个BlAC动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求 如图所示：lCABB问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BCBlABCC方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.四、巩固练习练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小” 问题5 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析：1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？BA思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短. 理由；另任作桥，连接，. 由平移性质可知，. AM+MN+BN转化为，而转化为. 在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN 如图所示：A1NMBA方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”动手画直线观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流汇报交流成果，书写理由.考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来学生独立完成，集体订正学生独立完成，集体订正互相交流解题经验独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称、平移知识进行解决各抒己见合作与交流交流体会为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到轴对称知识的学以致用注意问题解决方法的小结，利用对称性来解决及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.学以致用，及时巩固注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.提炼思想方法：轴对称，线段和最短体会转化思想，体验轴对称知识、平移的应用动手体验动手作图体验转化思想五、作业布置、课后延伸1.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）2.如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处.3. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短线。学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法，为课本例题奠定基础.四、反思小结 布置作业小结反思 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？ 作业布置、课后延伸必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题自由发言,相互借鉴.自我评价.总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.关注学生的个体差异.板书设计13.4 最短路径问题“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学反思在完成13.4最短路径问题的教学后，体会最深有以下几点：1、 教的转变本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，通过让学生独立解决一些简单的最短路径问题，强化学生对前面涉及的最短路径问题解题方法的掌握巩固，引导学生将实际问题转化为数学问题，为学生搭建“脚手架”。让学生自学课本找到用轴对称、平移解决这类问题，经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，激发学生自觉探究数学问题，体验发现的乐趣。2、学的转变 学生的角度从学会到会学，本节课不是停留在学会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。在老师的引导下，学习小组一步一步的探究解决方案，并能独立总结出最终解决方案。当然，这种效果不够显著，老师讲的有点多了，有待提高。3、 课堂氛围的转变整节课以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，以互助合作为手段，以解决问题