高中数学 第一章 计数原理 1_1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1_1_1课件 新人教a版选修2-3

第一章计数原理1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用 主题1 分类加法计数原理某志愿者从杭州奔赴北京参加公益活动 假设每天有4个航班 5列火车 1 该志愿者要完成的一件事是什么 提示 从杭州乘火车或飞机奔赴北京参加公益活动 2 有几类方案可完成这件事 每类方案又各有几种方法 每种方法是否都能完成这件事 提示 两类方案 第一类方类 乘飞机 有4种方法 第二类方案 坐火车 有5种方法 每种方案中的每种方法都能完成这件事 3 该志愿者从杭州到北京共有多少种不同方法 提示 共有4 5 9种不同的方法 结论 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n 微思考 根据分类加法计数原理考虑完成一件事的第1类方案与第2类方案中的每一种方法有没有重复或遗漏 提示 每种方法都可以独立地完成这件事 它们之间没有重复或遗漏 主题2 分步乘法计数原理某志愿者从丽水奔赴北京参加公益活动 中间在杭州停留 假设每天从丽水到杭州有3次汽车 从杭州到北京有4个航班 1 该志愿者要完成这件事需要几个步骤 提示 两个 即先坐汽车到杭州 再从杭州乘飞机到北京 2 完成每一步各有几种方法 提示 第一步 坐汽车 有3种方法 第二步 乘飞机 有4种方法 3 该志愿者从丽水到北京共有多少种不同的方法 提示 共有3 4 12种方法 结论 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n 微思考 1 分步乘法计数原理的特征是什么 提示 分步就是说完成这件事的任何一种方法 都要分成若干个步骤 要完成这件事必须且只需连续完成这若干个步骤后 这件事才算完成 2 第1步采用不同的方法对第2步方法的选取有没有影响 提示 第1步与第2步互相独立 没有影响 预习自测 1 从A地到B地 可乘汽车 火车 轮船三种交通工具 如果一天内汽车发3次 火车发4次 轮船发2次 那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 A 1 1 1 3B 3 4 2 9C 3 4 2 24D 以上都不对 解析 选B 乘汽车有3种方法 乘火车有4种方法 坐轮船有2种方法 根据分类加法计数原理 共有3 4 2 9种不同的走法 2 某体育场南侧有4个大门 北侧有3个大门 某学生到该体育场练习跑步 则他进出门的方案有 A 12种B 7种C 24种D 49种 解析 选D 该学生从南侧进 南侧出有4 4 16种方案 从北侧进 北侧出有3 3 9种方案 从一侧进另一侧出有2 4 3 24种方案 所以共有16 9 24 49种方案 3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 的展开式中共有 A 60项B 12项C 30项D 以上都不对 解析 选B 完成这件事需分两步 第一步 从第一个括号中取一字母有3种方法 第二步 从第二个括号中取一字母有4种方法 故共有3 4 12项 4 加工某个零件分三道工序 第一道工序有5人可以选择 第二道工序有6人可以选择 第三道工序有4人可以选择 从中选3人每人做一道工序 则选法有 种 解析 选第一 第二 第三道工序各一人的方法数依次为5 6 4 由分步乘法计数原理知 选法总数为N 5 6 4 120 答案 120 5 现有5幅不同的国画 2幅不同的油画 7幅不同的水彩画 1 从中任取一幅画布置房间 有几种不同的选法 2 从这些国画 油画 水彩画中各选一幅布置房间 有几种不同的选法 仿照教材P5例3的解析过程 解析 1 从中任取一幅画 有三类方法 第1类方法是从国画中取一幅有5种不同方法 第2类方法是从油画中取一幅有2种不同方法 第3类方法是从水彩画中取一幅有7种不同方法 所以不同取法的种数是5 2 7 14 2 从三种画中各取一幅 可分成三个步骤完成 第1步 从国画中取1幅 有5种方法 第2步 从油画中取1幅 有2种方法 第3步 从水彩画中取1幅 有7种方法 所以不同取法的种数是5 2 7 70 类型一分类加法计数原理的应用 典例1 1 2017 日照高二检测 如图所示 在A B间有四个焊接点1 2 3 4 若焊接点脱落导致断路 则电路不通 现发现电路不通 则焊接点脱落的不同情况有 A 16种B 15种C 9种D 8种 2 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 解题指南 1 根据题意 可将其分为1个 2个 3个 4个焊接点脱落的情形 即分成四类 按照分类加法计数原理求解 2 分a 0与a 0两种情况 当a 0时再借助判别式讨论求解 解析 1 选B 按照可能脱落的个数可分成四类 第一类 1个焊接点脱落 有4种情况 第二类 2个焊接点脱落 有6种情况 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 第三类 3个焊接点脱落 有4种情况 即 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 第四类 4个焊接点脱落 有1种情况 即 1 2 3 4 所以共有4 6 4 1 15种情况 2 当a 0时 关于x的方程为2x b 0 此时有序数对 0 1 0 0 0 1 0 2 均满足要求 当a 0时 由 4 4ab 0 ab 1 此时满足要求的有序数对为 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 综上 满足要求的有序数对共有13个 答案 13 延伸探究 1 若将典例1 1 中的 图形 改变成 如下图形 结果如何 解析 按照可能脱落的个数可分成四类 第一类 1个焊接点脱落 有2种情况 即1 4 第二类 2个焊接点脱落 有6种情况 即 1 4 2 3 1 2 1 3 2 4 3 4 第三类 3个焊接点脱落 有4种情况 即 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 第四类 4个焊接点脱落 有1种情况 即 1 2 3 4 所以共有2 6 4 1 13种情况 2 若将典例1 1 中增加条件 已知焊接点2是正常的 结果如何 解析 由于焊接点2正常 所以可能脱落的个数可分成三类 第一类 1个焊接点脱落 有3种情况 即1 3 4 第二类 2个焊接点脱落 有3种情况 即 1 3 1 4 3 4 第三类 3个焊接点脱落 有1种情况 即 1 3 4 所以共有3 3 1 7种情况 方法总结 1 应用分类加法计数原理解题的步骤 2 分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 补偿训练 1 某兴趣小组有男生10名 女生9名 要从中选出一名组长 不同的选法共有 A 8种B 7种C 19种D 90种 2 书架上层放4本不同的数学书 中层放6本不同的外语书 下层放5本不同的语文书 从中任取1本 不同的取法种数为 A 15B 120C 3D 1 解析 1 选C 只要选出一名组长即可 共有N 10 9 19种方法 2 选A 由分类加法计数原理 共有4 6 5 15种不同的取法 类型二分步乘法计数原理的应用 典例2 在平面直角坐标系内 若点P x y 的横 纵坐标均在 0 1 2 3 内取值 问 1 点P可以表示平面上多少个不同的点 2 点P可以表示平面上多少个第一象限的点 解题指南 先确定P点横坐标 再确定其纵坐标 用分步乘法计数原理求解 解析 1 确定P的坐标分两步第1步 确定横坐标x 从0 1 2 3四个数字中选一个 有4种方法 第2步 确定纵坐标y 从0 1 2 3四个数字中选一个 有4种方法 根据分步乘法计数原理 所有不同的点P的个数为 4 4 16 个 2 第一象限的点的横坐标 纵坐标都为正数 所以横坐标x从1 2 3三个数中选一个 有3种方法 纵坐标y从1 2 3三个数中选一个 有3种方法 所以第一象限的点共有3 3 9 个 方法总结 1 利用分步乘法计数原理解题的步骤 2 分步乘法计数原理的推广完成一件事需要n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 巩固训练 2016 全国卷 如图 小明从街道的E处出发 先到F处与小红会合 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24B 18C 12D 9 解析 选B E F有6种走法 F G有3种走法 由分歩乘法计数原理知 共6 3 18种走法 补偿训练 从集合 1 2 3 10 中 选出由5个数组成的集合的子集 使得这5个数中的任何两个数的和不等于11 这样的子集共有多少个 解题指南 根据子集的定义分析 把握任意两个数的和不等于11 可以先寻找和等于11的情况 再根据子集的思想分析解决 解析 和为11的数共有5组 1与10 2与9 3与8 4与7 5与6 子集中的元素不能取自同一组中的两数 即子集中的元素取自5个组中的一个数 而每个数的取法有2种 所以子集的个数为N 2 2 2 2 2 25 32 类型三两个计数原理的综合应用 典例3 2017 济宁高二检测 某艺术小组有9人 每人至少会钢琴和小号中的一种乐器 其中7人会钢琴 3人会小号 从中选出会钢琴与小号的各1人 有多少种不同的选法 解题指南 先确定既会钢琴又会小号的人数 再以既会钢琴又会小号的人为依据分类讨论 解析 由题意可知 在艺术小组9人中 有且仅有1人既会钢琴又会小号 把该人称为 多面手 只会钢琴的有6人 只会小号的有2人 把选出会钢琴 小号各1人的方法分为两类 第一步 多面手入选 另1人只需从其他8人中任选一个 故这类选法共有8种 第二步 多面手不入选 则选会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出 选会小号者也只能从只会小号的2人中选出 故这类选法共有6 2 12 种 因此N 8 6 2 20 种 故共有20种不同的选法 方法总结 运用两个原理解决计数问题应注意的事项 1 在处理具体的应用题时 首先必须弄清是 分类 还是 分步 其次要搞清 分类 或 分步 的具体标准是什么 选择合理的标准处理事件 可以避免计数的重复或遗漏 2 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题 我们可以恰当地画出示意图或列出表格 使问题更加直观 清晰 巩固训练 现有高一年级的四个班的学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选一名组长 有多少种不同的选法 3 推选两人做中心发言 这两人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 解析 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法N 7 8 9 10 34 种 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以 共有不同的选法N 7 8 9 10 5040 种 3 分六类 每类又分两步 从一班 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一班 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一班 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二班 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二班 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三班 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 补偿训练 甲 乙 丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动 要求每