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高考复习专题：三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k，kZ.2弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.(3)角度与弧度的换算 1 rad；1 rad.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为Slr|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线(3)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 例1(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角为第三象限角，试确定2的终边所在的象限:在本例(3)的条件下，判断为第几象限角？例2已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？:在本例(1)的条件下，求扇形的弧所在的弧形的面积例3(1)(2014嘉兴模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.(2)(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_(3) (2014金华模拟)已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限角变式训练1点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为()A.B. C. D.2若三角形的两个内角，满足sin cos 0，则该三角形的形状为_3若角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan .2三角函数的诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，tan(2k)tan ，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式四：sin()sin ，cos()cos_，tan()tan .公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.考点一 同角三角函数基本关系式的应用例1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值1已知5，则sin2sin cos 的值是()A.B C2 D22已知，tan 2，则cos _.例2(1)(2014杭州模拟)若cos，则sin()A.BC.D(2)已知为第三象限角，f()，化简f()；若cos，求f()的值已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值例3(1)(2013广东高考)已知sin，那么cos () A B C. D.(2)(2014金华模拟)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1(3)(2014湖州模拟)若tan 3，则的值等于()A2 B3 C4 D6(4)(2013重庆高考)4cos 50tan 40()A. B. C. D21变式训练1在ABC中，sin3sin(A)，且cos Acos(B)，则C等于()A. B. C. D.2(2014丽水模拟)已知cos 是方程3x2x20的根，且是第三象限角，则()A. B C D.第三节 三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域值域最值单调性奇偶性对称中心对称轴周期考点一 三角函数的定义域和值域（或最值）例1(1)求函数ylg(sin 2x)的定义域；(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值(2014嘉兴模拟)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab. (1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在上的最大值和最小值例2(1)(2014新课标全国卷)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan2x中，最小正周期为的所有函数为()A B C D(2)(2013浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(3)(2012福建高考)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx1函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.2函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形，则_.例3(1)(2014北京高考)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_(2)(2014天津高考)已知函数f(x)cos xsinxcos2x，xR.求f(x)的最小正周期；求f(x)在闭区间上的最大值和最小值变式训练1若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于() A3 B2 C. D.2求函数ytan的单调区间第四节 函数yAsin(x)的图像及三角函数模型的简单应用 1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A02函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤法一法二3函数yAsin(x)(A0，0，x0，)的物理意义(1)振幅为A.(2)周期T.(3)频率f.(4)相位是x.(5)初相是.例1已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到1(2014浙江高考)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位2把函数ysin(x)(0，|)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为ysin x，则_，_.例2(1)(2014杭州模拟)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，B2， C4， D4，(2)已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f()A2B. C.D21如图是函数yAsin(x)2(A0，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()AA3，T， BA1，T，CA1，T， DA1，T，2函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_例3(1)(2014安徽高考)若将函数f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于y轴对称，则 的最小正值是() A. B. C. D.(2)(2014辽宁高考)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增(3)设函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，)在x处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为，求f(x)的解析式变式训练1已知0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则()A. B. C. D.2已知函数f(x)Asin(x)A0，0，|的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的增区间；(3)若x，求f(x)的值域第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin_cos_cos_sin_，cos()cos_cos_sin_sin_，tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2.3有关公式的逆用、变形(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .考点一 三角函数的化简求值 例1(1)4cos 50tan 40()A.B. C. D21化简：(1)sin 50(1tan 10)；(2).例2(1)(2013浙江高考)已知R，sin 2cos ，则tan 2() A. B. C D(2)(2014衢州模拟)已知函数f(x)cos，xR.求f的值；若cos ，求f.1设为第二象限角，若tan，则sin cos _.2(2014广东高考)已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.例3(1)(2014江西高考)已知函数f(x)(a2cos2x)cos(2x)为奇函数，且f0，其中aR，(0，)求a，的值；若f，求sin的值(2)(2013辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.若|a|b|，求x的值；设函数f(x)ab，求f(x)的最大值变式训练1已知平面向量a(sin2x，cos2x)，b(sin2x，cos2x)，R是实数集，f(x)ab4cos2x2sin xcos x，如果存在mR，任意的xR，f(x)f(m)，那么f(m)()A22 B3 C0 D222已知x0，x0是函数f(x)cos2sin2x(0)的两个相邻的零点(1)求f的值；(2)若对x，都有|f(x)m|1，求实数m的取值范围第六节 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R是ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_Csin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A，cos B，cos C解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半例1(1)(2014江西高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则 的值为() A B. C1 D.(2)(2014北京高考)在ABC 中，a1，b2，cos C，则 c_； sin A_.(3)(2013浙江高考)在ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC_.1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B. C. D.2(2014天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值为_例2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状(2014嘉兴模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定例3(1)(2013新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22B.1 C22 D.1(2)(2014浙江高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知4sin24sin Asin B2.求角C的大小；已知 b4，ABC的面积为6，求边长 c的值变式训练1已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.2(2013新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值第7节 解三角形应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比考点一 测量问题1测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题例1(1)(2014温州模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米(2)(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C. 求索道AB的长；问乙出发多少分钟