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第4章静定结构的位移计算 本章重点 1 结构位移计算 单位荷载法 图乘法2 线弹性结构的互等定理 4 1结构位移计算概述 一 结构的位移 一 结构的位移 引起结构位移的原因 铁路工程技术规范规定 二 计算位移的目的 1 刚度要求 在工程上 吊车梁允许的挠度 1 600跨度 桥梁在竖向活载下 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1 700和1 900跨度 高层建筑的最大位移 1 1000高度 最大层间位移 1 800层高 2 超静定 动力和稳定计算 3 施工要求 3 理想联结 三 位移计算的假定 叠加原理适用 1 线弹性 2 小变形 四 计算方法 单位荷载法 4 2变形体虚功原理 一 实功和虚功 实功 力在自身所产生的位移上所作的功 4 2变形体虚功原理 力状态 位移状态 注意 1 属同一体系 2 均为可能状态 即位移应满足变形协调条件 力状态应满足平衡条件 3 位移状态与力状态完全无关 力在非自身所产生的位移上所作的功 W P1 12 虚功 4 2变形体虚功原理 二 广义力 广义位移 一个力系作的总虚功W P P 广义力 广义位移 例 1 作虚功的力系为一个集中力 2 作虚功的力系为一个集中力偶 3 作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶 4 作虚功的力系为两个等值反向的集中力 1 质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系 在某一位置处于平衡的必要和充分条件是 三 变形体的虚功原理 对于任何可能的虚位移 作用于质点系的主动力所做虚功之和为零 也即 2 刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的反力 将反力作为外力 刚体系处于平衡的必要和充分条件 对于刚体系任何可能的虚位移 作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零 刚体系的虚位移原理 We 0 原理的表述 任何处于平衡状态的变形体 当发生任意虚位移时 变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We 恒等于变形体各微段内力在微段变形位移上作的虚功之和Wi 即 We Wi 3 变形体的虚功原理 四 虚功原理的两种应用 1 虚功原理用于虚设的位移状态与实际的平衡力状态之间 虚位移原理 例 求A端的支座反力 解 去掉A端约束并代以反力X 构造相应的虚位移状态 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零 即 取 单位位移法 例 求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移 2 虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的位移状态之间 虚力原理 解 首先构造出相应的虚设力状态 即 在拟求位移之点 C点 沿拟求位移方向 竖向 设置单位荷载 由求得 解得 这就是 单位荷载法 虚功方程为 4 3荷载作用产生的位移计算 一 单位荷载法 求k点竖向位移 由变形体虚功原理 真实位移状态 虚设力状态 We Wi We P iP 适用于各种杆件体系 线性 非线性 直杆 曲杆 4 3荷载作用产生的位移计算 一 单位荷载法 求k点竖向位移 真实的位移状态 P 虚设的力状态 i 对于由线弹性直杆组成的结构 有 适用于线弹性直杆体系 例1 已知图示梁的E G 求A点的竖向位移 解 构造虚设单位力状态 对于细长杆 剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计 4 3荷载作用产生的位移计算 一 单位荷载法 1 梁与刚架 二 位移计算公式 2 桁架 3 组合结构 4 拱 例 1 求A点水平位移 4 3荷载作用产生的位移计算 三 单位力状态的确定 2 求A截面转角 3 求AB两点相对水平位移 4 求AB两截面相对转角 真实的位移状态 虚设的力状态 确定指定广义位移对应的单位广义力 虚设的力状态 P 1 试确定指定广义位移对应的单位广义力 试确定指定广义位移对应的单位广义力 P 1 试确定指定广义位移对应的单位广义力 问题 在杆件数量多的情况下 计算繁琐 4 4图乘法 刚架与梁的位移计算公式 解决方法 一 图乘法 对于等截面杆 对于直杆 图乘法求位移公式 二 几种常见图形的面积和形心位置的确定方法 二次抛物线 例 求图示梁 EI 常数 跨长为l B截面转角 解 三 图形分解 求 MP Mi 求 MP Mi 当两个图形均为直线图形时 取任何图形的面积均可 三 图形分解 求 MP Mi 三 图形分解 求 MP Mi 三 图形分解 图乘法总结 1 图乘法的适用条件 1 等截面直杆 EI为常数 2 两个M图中至少有一个是直线 3 yc取自直线图形 2 若 与yc在杆件的同侧 yc为正值 反之 为负值 3 如图形较复杂 可将其分解为简单图形 例1 已知EI为常数 求铰C两侧截面相对转角 三 应用举例 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例2 已知EI为常数 求A点竖向位移 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 q 三 应用举例 求B点水平位移 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 注意 各杆刚度可能不同 三 应用举例 已知EI为常数 求B截面转角 MP 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 已知 E I A为常数 求 解 作荷载内力图和单位荷载内力图 1 功的互等定理 2 第 状态 在线性变形体系中 第I状态的外力在第II状态位移上所做虚功 等于第II状态外力在第I状态位移上所做虚功 4 5线弹性结构的互等定理 2 位移互等定理 单位力1引起的沿单位力2作用方向的位移 恒等于单位力2引起的沿单位力1作用方向的位移 位移互等定理 3 反力互等定理 由功的互等定理 支座1发生单