高中数学第三章导数及其应用章末复习课课件苏教版选修1_1

第3章导数及其应用 章末复习课 1 理解导数的几何意义并能解决有关斜率 切线方程等的问题 2 掌握初等函数的求导公式 并能够综合运用求导法则求函数的导数 3 掌握利用导数判断函数单调性的方法 会用导数求函数的极值和最值 4 会用导数解决一些简单的实际应用问题 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一在x x0处的导数 常数A 2 几何意义 函数y f x 在x x0处的导数是函数图象在点 x0 f x0 处的切线 3 物理意义 瞬时速度 瞬时加速度 斜率 知识点二基本初等函数的求导公式 0 x 1 cosx sinx axlna ex 知识点三导数的运算法则 f x g x f x g x f x g x 1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数的极值与导数 1 极大值 在x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极大值点 f a 叫做函数的极大值 2 极小值 在x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 知识点四函数的单调性 极值与导数 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 特别提醒 1 关注导数的概念 几何意义利用导数的概念 几何意义时要特别注意切点是否已知 若切点未知 则设出切点 用切点坐标表示切线斜率 2 正确理解单调性与导数 极值与导数的关系 当函数在区间 a b 上为增函数时 f x 0 f x0 0是函数y f x 在x0处取极值的必要条件 知识点五求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 极值 端点处函数值f a f b 题型探究 类型一导数几何意义的应用 解答 f x x2 2ax 9 x a 2 a2 9 f x min a2 9 由题意知 a2 9 10 a 1或 1 舍去 故a 1 解答 由 1 得a 1 f x x2 2x 9 则k f 3 6 f 3 10 f x 在x 3处的切线方程为y 10 6 x 3 即6x y 28 0 2 求f x 在x 3处的切线方程 利用导数求切线方程时关键是找到切点 若切点未知需设出 常见的类型有两种 一类是求 在某点处的切线方程 则此点一定为切点 易求斜率进而写出直线方程即可得 另一类是求 过某点的切线方程 这种类型中的点不一定是切点 可先设切点为Q x1 y1 由 f x1 和y1 f x1 求出x1 y1的值 转化为第一种类型 反思与感悟 跟踪训练1求垂直于直线2x 6y 1 0并且与曲线y x3 3x2 5相切的直线方程 设切点坐标为P x0 y0 函数y x3 3x2 5的导数为y 3x2 6x 则切线的斜率为k y 3x2 6x 3x 6x0 解得x0 1 y0 3 即P 1 3 又k 3 切线方程为y 3 3 x 1 即3x y 6 0 解答 类型二函数的单调性与导数 例2已知函数f x x3 ax2 x 1 x R 1 讨论函数f x 的单调性 解答 因为f x x3 ax2 x 1 所以f x 3x2 2ax 1 当 0 即a2 3时 f x 0 f x 在R上单调递增 解答 1 关注函数的定义域 单调区间应为定义域的子区间 2 已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价 3 分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集 4 求参数的范围时常用到分离参数法 反思与感悟 解答 f x x2 ax b 解答 由 1 得f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解答 类型三函数的极值 最值与导数 f x 在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 由f 1 0 得a e 解答 解答 2 求f x 的极值 当a 0时 f x 0 y f x 为 上的增函数 所以y f x 无极值 当a 0时 令f x 0 得x lna 当x lna 时 f x 0 y f x 在 lna 上递增 故f x 在x lna处取得极小值f lna lna 无极大值 综上 当a 0时 y f x 无极值 当a 0时 y f x 在x lna处取得极小值lna 无极大值 3 当a 1时 直线l y kx 1与曲线y f x 没有公共点 求实数k的取值范围 解答 令g x xex 则有g x 1 x ex 令g x 0 得x 1 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 解得k 1 e 1 综上 k的取值范围为 1 e 1 1 已知极值点求参数的值后 要代回验证参数值是否满足极值的定义 2 讨论极值点的实质是讨论函数的单调性 即f x 的正负 3 求最大值要在极大值与端点值中取最大者 求最小值要在极小值与端点值中取最小者 反思与感悟 解答 f x 3x2 3 1 a x 3a 3 x a x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 a 因为a 0 所以x1 x2 当x变化时 f x f x 的变化情况见下表 所以当x 1时 f x 有极大值2 即3a 2b 3 解答 当0 a 3时 由 1 知 f x 在 0 a 上为减函数 在 a 3 上为增函数 所以f a 为最小值 于是有a3 3a2 3a 26 0 类型四导数与函数 不等式的综合应用 解答 f x x2 4ax 3a2 x a x 3a 令f x 0 得x a或x 3a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 在 a 和 3a 上是减函数 在 a 3a 上是增函数 当x a时 f x 取得极小值 当x 3a时 f x 取得极大值 f x 极大值 f 3a b 2 若当x a 1 a 2 时 恒有 f x a 试确定a的取值范围 f x x2 4ax 3a2 其对称轴为x 2a 因为0 a 1 所以2a a 1 所以f x 在区间 a 1 a 2 上是减函数 当x a 1时 f x 取得最大值 f a 1 2a 1 当x a 2时 f x 取得最小值 f a 2 4a 4 解答 3 当a 时 关于x的方程f x 0在区间 1 3 上恒有两个相异的实根 求实数b的取值范围 解答 要使f x 0在 1 3 上恒有两个相异实根 即f x 在 1 2 2 3 上各有一个实根 不等式恒成立问题 关键是确定函数在给定区间的最值 这时往往需要分类讨论 函数的零点与方程根的问题 注意数形结合思想的应用 反思与感悟 解答 当a 0时 f x 的单调递增区间为 0 解答 所以g x 在 1 上是增函数 当堂训练 1 2 3 4 5 s 1 2t 则s 3 1 2 3 5 所以物体在3秒末的瞬时速度为5米 秒 1 一个物体的运动方程为s 1 t t2 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么物体在3秒末的瞬时速度是米 秒 答案 解析 5 1 2 3 4 5 f x 3x2 2bx c 2 若函数f x x3 bx2 cx的图象与x轴相切于点 1 0 则函数f x 的单调递减区间为 f x 3x2 4x 1 由f x 0即3x2 4x 1 0 答案 解析 3 已知函数f x x3 ax2 bx 27在x 1处有极大值 在x 3处有极小值 则a b 1 2 3 4 5 答案 解析 f x 3x2 2ax b 由题意可知 3x2 2ax b 0的两根为 1和3 由根与系数的关系 得 3 9 4 若函数y x3 ax2 4在 0 2 上单调递减 则实数a的取值范围为 3 y 3x2 2ax x 3x 2a 由题意知 x 0 2 y 0 即x 3x 2a 0 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 设f x a x 5 2 6lnx 其中a R 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 解答 因为f x a x 5 2 6lnx 1 2 3 4 5 令x 1 得f 1 16a f 1 6 8a 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 16a 6 8a x 1 1 2 3 4 5 2 求函数f x 的单调区间与极值 解答 1 2 3 4 5 令f x 0 解得x 2或3 当03时 f x 0 故f x 在 0 2 3 上为增函数 当2 x 3时 f x 0 故f x 在 2 3 上为减函数 1 2 3 4 5 在x 3处取得极小值f 3 2 6ln3 综上 f x 的单调增区间为 0 2 3 单调减区间为 2 3 1 利用导数