第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件.ppt

第二章矩阵的运算与矩阵的秩 本章要点流程 首先介绍矩阵的基本运算 进一步了解分块矩阵 重点学习可逆矩阵 最后对齐次线性方程组解的作了讨论 认识矩阵的秩 2 1矩阵的基本运算 一 矩阵的线性运算 定义2 1设矩阵A aij m n B bij m n l为给定的数 1 加法 C aij bij 为矩阵A与B相加的和 记作A B 2 数乘 C l aij 为数l与矩阵A相乘的积 记作lA 称为数量矩阵 2 1矩阵的基本运算 称矩阵 1 A aij 为矩阵A的负矩阵 记为 A 矩阵的减法 A B A B aij bij 矩阵的线性运算 2 1矩阵的基本运算 运算规律 设为A B C同型矩阵 k s l为给定的数 1 A B B A 交换律 2 A B C A B C ks A k sA s kA 结合律 k A B kA kB k s A kA sA 分配律 A O AA A O1 A A 0 A O l O 0 2 1矩阵的基本运算 例2 1 2 1矩阵的基本运算 二 矩阵的乘法 1 矩阵乘法的定义 2 1矩阵的基本运算 引例某文化用品商店售圆珠笔 钢笔和铅笔三种 每种商品的进货单价和数量如下表 每种商品进货单价和销售单价 元 如下表 2 1矩阵的基本运算 2 1矩阵的基本运算 求每个月的总进货额和总销售额 矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和 2 1矩阵的基本运算 矩阵C与A B之间有什么关系 定义2 2设A aij m s B bij s n 那么称C AB cij m n为矩阵A与B的乘积 其中 2 1矩阵的基本运算 由这个定义可知 1 矩阵A B相乘的条件 矩阵A的列数 矩阵B的行数 3 矩阵乘法法则 乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和 2 1矩阵的基本运算 2 矩阵C的行数等于矩阵A的行数 矩阵C的列数等于矩阵B的列数 例2 1 2 1矩阵的基本运算 注 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 若对A B有AB BA 则称A与B是可交换的 2 1矩阵的基本运算 注 由AB 0一般不能得到A 0或B 0 注 若AB AC 且A 0 则一般不能得到B C 矩阵乘法满足的运算律 2 1矩阵的基本运算 1 AB C A BC 结律合 k AB kA B A kB 2 A B C AB AC 分配律 B C A BA CA3 设Am n 则ImA AIn A 方阵的幂 其中k l为正整数 设A是n阶方阵 k是正整数 k个A连乘称为A的k次幂 记作Ak 即 相关结论 2 1矩阵的基本运算 一般地 矩阵的多项式 2 1矩阵的基本运算 例2 5 为n阶方阵A的m次多项式 用数学归纳法证 2 1矩阵的基本运算 例2 6 n为任意自然数 线性方程组的矩阵表示 系数矩阵 2 1矩阵的基本运算 2 1矩阵的基本运算 2 矩阵与初等矩阵的乘积 例如 计算下列矩阵与初等阵的乘积 2 1矩阵的基本运算 上述过程也可以等同于 2 1矩阵的基本运算 2 1矩阵的基本运算 上述过程也可以等同于 2 1矩阵的基本运算 即 E i j A 相当于交换A的第i行与第j行 E i k A 相当于用非零数k乘矩阵A的第i行 E i j k A 相当于A的第j行乘k加到第i行上 2 1矩阵的基本运算 定理2 1设Am n aij m n 则 1 对A施行某种行初等变换 相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵 即 AE i j 相当于交换A的第i列与第j列 AE i k 相当于用非零数k乘矩阵A的第i列 AE i j k 相当于A的第i列乘k加到第j列上 2 1矩阵的基本运算 同理 2 对A施行某种初等列变换 相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵 推论 若m n矩阵A与B等价 则存在若干个m m初等矩阵Pi i 1 2 s 和若干个n n初等矩阵Qj j 1 2 t 使得 2 1矩阵的基本运算 三 矩阵的转置 2 1矩阵的基本运算 定义2 3 把m n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n m矩阵 称为A的转置 记作AT或A 2 1矩阵的基本运算 相关性质 3 kA T kAT k为常数 2 A B T AT BT 1 AT T A 4 AB T BTAT 2 1矩阵的基本运算 定义2 4设A是n阶方阵 如果AT A 则称A是对称矩阵 如果AT A 则称A是反对称矩阵 A aij n n为对称阵的充要条件是aij aji i j 1 2 n 2 1矩阵的基本运算 结论 A aij n n为反对称阵的充要条件是aij aji i j 1 2 n 反对称阵的主对角线上的元素aii 0 i 1 2 n 2 1矩阵的基本运算 例2 8设A B均是n阶对称矩阵 求证AB是对称矩阵的充要条件是A B可交换 例2 9设A是n阶对称矩阵 B是n阶反对称矩阵 证明AB BA是反对称矩阵 2 2分块矩阵 一 分块矩阵的概念 矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵 每一小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵 1 分块矩阵相加 减 二 分块矩阵的运算 设A B是两个用相同方法分块的同型矩阵 2 数与分块矩阵相乘 3 分块矩阵相乘 设A aij m s B bij s n 并作如下分块 分块矩阵相乘的条件 1 A分出的列子块数 B分出的行子块数 2 A中每一个子块的列数 B中相应的子块的行数 分块对角阵乘法 4 分块矩阵的转置 例2 10 2 3可逆矩阵 引例 电报的发送 比如 原文是 十七时进攻 的明码是 这组数字构成的矩阵为 借助于一个加密矩阵 2 3可逆矩阵 一 可逆矩阵的概念 定义2 5设A是一个n阶方阵 如果存在n阶方阵B 使得AB BA I 则称B是A的逆矩阵 记作A 1 这时称A为可逆矩阵 简称为可逆阵 注 1 若矩阵A可逆 则其逆矩阵唯一 2 A与B的地位是平等 即当B是A的逆矩阵时 则A也是B的逆矩阵 或称互逆 3 并非每个方阵都可逆 另外 若方程组AX B的系数矩阵A为方阵且可逆 则X A 1B 由逆矩阵的唯一性可知 X A 1B为方程组的唯一解 任何初等矩阵都是可逆的 并且其逆矩阵仍是初等矩阵 逆矩阵的性质 定理2 2设A B都是n阶可逆矩阵 则AB可逆 且 AB 1 B 1A 1 推论1若A和B是等价的方阵 则它们的可逆性相同 例2 11设A B C为同阶方阵 且A可逆 则 1 AB AC能否推出B C 2 AB CB能否推出A C 3 AB 0能否推出B 0 4 BC 0能否推出B 0 例2 12设方阵A满足A2 3A 10I 0 证明A和A 4I均可逆 并求其逆 例2 13设方阵B是幂等阵 Bn B 且A I B 证明A可逆 且A 1 1 2 3I A 二 可逆矩阵与初等矩阵的关系 引理任意一个矩阵A aij m n 都与形如 的矩阵等价 即存在若干个m阶初等矩阵Pi i 1 2 s 和n阶初等矩阵Qj j 1 2 t 使得P1P2 PSAQ1Q2 Qt Er 定理2 3n阶方阵A可逆的充要条件是A与单位阵等价 即 存在若干个初等矩阵P1 P2 Pl 使得A P1P2 Pl 推论m n矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q 使得PAQ B 推导求逆矩阵的方法 设A可逆 T1T2 TsA IT1T2 TsI A 1 T1T2 Ts AI IA 1 强调 变换中只能用行变换 不能用列变换 2 4矩阵的秩 定理2 4对任意矩阵A aij m n都有唯一确定的矩阵 一 矩阵的标准形 与矩阵A等价 以后称Er为A的标准形 二 矩阵的秩 定义2 6非零矩阵A的标准形中非零行的行数称为矩阵A的秩 记为R A 或秩 A 另外约定 零矩阵的秩为0 当R Am n m时 称矩阵Am n行满秩矩阵 当R Am n n时 称矩阵Am n列满秩矩阵 当R An n n时 称矩阵An n满秩矩阵 推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵 推论2设P Q都是满秩矩阵 则R A R PA R AQ R PAQ 例2 16求证 对任意的矩阵A 都有R AT R A 例2 15 2 5齐次线性方程组解的讨论 推论若齐次线性方程组的方程个数小于未知量的个数 则该方程组必有无穷多个解 从而有非零解 定理2 6对于本节齐次线性方程组 有以下结论 1 若R A r n 则方程组有n r个自由未知量 从而有无穷多个解 因此有非零解 2 若R A r n 则方程组只有零解 例2 17求如下齐次线性方程组的解 由于r 3 n 5 所以有无穷多解 2 6应用举例 一 密码问题某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字 比如 原文是 十七时进攻 的明码是 作业 P40页1 2 4 8 P41页5 7 P41页9 10 13 P41页15 17 2 3 19 2 选择题 1 已知A B为n阶方阵 则下列性质正确的是 A AB BA B A B T AT BT C A B 1 A 1 B 1 D A2 B2 A B A B B 2 设A B C为n阶方阵 且满足关系式ABC I 则必有 A ACB I B CBA IC BAC I D BCA I D 3 设n阶方阵A 如果与所有的n阶方阵B都可以交换 即AB BA 那么A必定是 A 可逆矩阵 B 数量矩阵 C 单位矩阵 D 反对称矩阵 B 4 两个n阶初等矩阵的乘积为 A 初等矩阵 B 单位矩阵 C 可逆矩阵 D 不可逆矩阵 C 5 设A B均为n阶方阵 下列情况下能推出A是单位矩阵的是 A AB B B AB BA C