高考理科数学椭圆复习资料.ppt

1 第八章圆锥曲线方程 椭圆 第讲 1 第一课时 2 3 4 1 平面内与两个定点F F2的 等于常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的 2 椭圆也可看成是平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l 点F在直线l外 的距离的点的轨迹 其中这个常数就是椭圆的 其取值范围是 这个定点F是椭圆的一个 这条定直线l是椭圆的一条 距离之和 F1F2 焦点 之比为常数 离心率 0 1 焦点 准线 5 3 设椭圆的半长轴长为a 半短轴长为b 半焦距为c 则a b c三者的关系是 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 a2 b2 c2 6 4 对于椭圆 1 x的取值范围是 y的取值范围是 2 椭圆既关于成轴对称图形 又关于成中心对称图形 3 椭圆的四个顶点坐标是 两个焦点坐标是 两条准线方程是 a a b b x y轴 原点 a 0 0 b c 0 7 4 椭圆的离心率e 一个焦点到相应准线的距离 焦准距 是 5 设P x0 y0 为椭圆上一点 F F 分别为椭圆的左 右焦点 则 PF1 PF2 6 对于点P x0 y0 若点P在椭圆内 则 若点P在椭圆外则 7 椭圆的参数方程是 a ex0 a ex0 1 1 8 1 过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P F2为右焦点 若 F1PF2 60 则椭圆的离心率为 A B C D 解 因为P c 再由 F1PF2 60 得 从而 解得 故选B B 9 2 已知椭圆C 的右焦点为F 右准线为l 点A l 线段AF交C于点B 若 则 AF A B 2C D 3 解 过点B作BM l于M 并设右准线l与x轴的交点为N 易知FN 1 由题意 故 BM 又由椭圆的第二定义 得 所以 AF 故选A A 10 3 已知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12 则椭圆G的方程为 解 因为e 2a 12 所以a 6 c 从而b 3 则所求椭圆G的方程为 11 题型一求椭圆的标准方程 1 根据下列条件求椭圆的标准方程 1 两准线间的距离为 焦距为 2 和椭圆共准线 且离心率为 3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点P到两焦点的距离分别为和 过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 12 解 1 设椭圆长轴为2a 短轴为2b 焦距为2c 则 解得所以所求椭圆的方程为或 13 2 设椭圆的方程为 则其准线方程为x 12 所以 解得 所以所求椭圆的方程为 14 3 因为2a PF1 PF2 所以a 5 由 得 所以所求椭圆的方程为或 点评求椭圆的标准方程 一般是先定位 即确定焦点在哪条坐标轴上 然后定量 即求得a b的值 求a b的值可用方程组法 即通过解含a b的方程组 定义法 如第 3 小题用定义求2a 15 16 17 18 19 题型二求椭圆离心率的值或取值范围 2 设F1 F2是椭圆的两个焦点 P为椭圆上一点 已知点P到椭圆的一条准线的距离是 PF1 和 PF2 的等差中项 求椭圆离心率e的取值范围 解 当椭圆的焦点在x轴上时 设P x y 是椭圆上任一点 是椭圆的右准线 20 又 PF1 PF2 2a 故 PF1 和 PF2 的等差中项为a 所以 即 又 a x a 所以 a a a 即 1 1 1 所以 e 1 同理可得 当椭圆的焦点在y轴上时 e 1 故椭圆的离心率e的取值范围是 1 21 点评 椭圆的离心率 已知一个条件求离心率的值或取值范围 其策略一般是先把这个条件转化为关于a c的式子 再转化为的式子 最后通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 值得注意的是隐含条件e 0 1 22 过椭圆的右焦点F作斜率为1的直线l 交椭圆于A B两点 M为线段AB的中点 射线OM交椭圆于点C 若OA OB OC O为原点 求椭圆的离心率 解 设点F c 0 则直线l的方程为y x c 代入椭圆的方程 得 a2 b2 x2 2a2cx a2 c2 b2 0 设点A x1 y1 B x2 y2 则 23 因为OC OA OB x1 x2 y1 y2 所以点因为点C在椭圆上 24 所以可得即4c2 a2 b2 因为b2 a2 c2 所以4c2 a2 a2 c2 可得2a2 5c2 所以 所以 故椭圆的离心率为 25 1 椭圆的标准方程有两种形式 尤其在解题时要防止遗漏 确定椭圆的标准方程需要三个条件 要确定焦点在哪个坐标轴上 即定位 还要确定a b之值 即定量 若定位条件不足 应分类讨论 当椭圆的焦点在哪一个坐标轴上不明确而无法确定标准方程的形式时 可设方程为Ax2 By2 1 A 0 B 0 这样可避免讨论和繁杂的计算 26 2 求椭圆的方程的方法除了直接根据定义外 常用待定系数法 先定性 后定型 再定参 3 椭圆的离心率能反映椭圆的扁平程度 因为a c 0 所以0 e 1 且 当e越接近 时椭圆越 扁 当e越接近 时椭圆越 圆 27 第八章圆锥曲线方程 椭圆 第讲 1 第二课时 28 题型3椭圆背景下的求值问题 1 已知F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 若点P是该椭圆在第一象限内的一点 且求点P的坐标 29 解 由条件知a 2 b 1 所以c 所以F1 0 F2 0 设P x y x 0 y 0 则又联立解得又x 0 y 0 所以故P 1 30 点评 椭圆的性质是解决求值问题的关键 求值一般先转化为求参数 而求参数问题 主要根据条件得出关于参数的方程 组 再解得方程 组 即可 31 32 33 34 2 设F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 P为椭圆上一动点 点P到椭圆右准线的距离为d 若m PF1 PF2 d成等比数列 求m的取值范围 解法1 由已知得 PF2 2 m PF1 d 又所以 PF2 2m PF1 据椭圆的定义 有 PF1 PF2 4 所以 2m 1 PF1 4 所以 题型4在椭圆背景下求参变量的取值范围 35 设点P x0 y0 则 PF1 a ex0 2 所以解得因为 x0 所以所以 2 4m 2m 1 即 2 4m 2 2m 1 2 得 6m 1 2m 3 0 所以m 解法2 由已知可得 PF2 2m PF1 设点P x0 y0 则 36 因为 2 x0 2 函数在 2 2 上是减函数 且当x0 2时 m 当x0 2时 m 所以m 解法3 由已知可得 PF2 2m PF1 所以由椭圆的几何性质知 a c PF1 a c 即1 PF1 3 所以所以m 37 点评 求椭圆中的参数的取值范围问题 一般是根据条件得到参数的不等式 组 注意一些隐含条件的转化 如椭圆上的点的坐标范围 离心率的范围等 38 已知椭圆C的中心在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形 记为Q 1 求椭圆C的方程 2 设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点 过点P的直线l与椭圆C相交于M N两点 当线段MN的中点落在正方形Q内 包括边界 时 求直线l的斜率k的取值范围 解 1 依题意 设椭圆C的方程为 a b 0 焦距为2c 39 由题设条件知 2bc 8 b c 所以b2 4 故椭圆C的方程为 2 由 1 知 椭圆C的左准线方程为x 4 所以点P的坐标为 4 0 显然直线l的斜率k存在 所以直线l的方程为y k x 4 如图 设点M N的坐标分别为M x1 y1 N x2 y2 线段MN的中点为G x0 y0 40 由得 1 2k2 x2 16k2x 32k2 8 0 由 16k2 2 4 1 2k2 32k2 8 0 解得 因为x1 x2是方程 的两根 所以于是因为所以点G不可能在y轴的右边 又直线F1B2 F1B1的方程分别为y x 2 y x 2 41 所以点G在正方形Q内 包括边界 的充要条件为 即亦即解得此时 也成立 故直线l的斜率k的取值范围是 42 1 设椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 A是椭圆上的一点 AF2 F1F2 原点O到直线AF1的距离为试推断ab是否为定值 并说明理由 解法1 由题设AF2 F1F2及F1 c 0 F2 c 0 不妨设点A c y 其中y 0 由于点A在椭圆上 故有 43 即解得从而得到直线AF1的方程为整理得b2x 2acy b2c 0 由题设 原点O到直线AF1的距离为 OF1 即将c2 a2 b2代入上式 并化简得a2 2b2 即a b 故为定值 44 解法2 过点O作OB AF1 垂足为B 易知 F1BO F1F2A 故由椭圆的定义得 AF1 AF2 2a 又所以由此解得 F2A 由已知可得点A的坐标为所以即故为定值 45 2 如图 已知椭圆中心在原点 焦点F1 F2在x轴上 长轴A1A2的长为4 左准线l与x轴的交点为M 且 1 求椭圆的方程 2 若点P在直线l上运动 求当 F1PF2最大时点P的坐标 解 1 据题意可设椭圆的方程为 46 则 MA1 2 A1F1 2 c 其中c 由已知 2 2 2 c 可得c2 3c 2 0 因为0 c 2 所以c 1 从而b2 4 c2 3 故椭圆的方程为 2 设点P 4 t 则所