信号分析与数据处理02.ppt

1 数字信号处理 多媒体教学课件 武汉大学计算机学院 数字信号处理 教学组 2 前言 数字信号处理 是一门技术基础课 主要介绍数字信号处理的基本原理和方法 通过本课程的学习掌握计算机应用系统中信号处理的基本原理和数学描述 以及数字信号的一些基本处理方法 本课程的知识为进一步学习计算机多媒体技术 计算机控制技术 计算机网络和通信技术等打下基础 教学内容安排 教材1 8章 第9章自学 第10章简介 学习方法要点 1 注意数学方法与物理意义的紧密结合 2 掌握离散问题的分析方法和数学工具 3 弄清时域分析与频域分析的关系 教材 金子一 周利清 门爱东编著 数字信号处理基础 北京邮电大学出版社2002 9 3 课程教学环节包括 授课 作业 考核 实验和考试 4 第1章引论 本章主要介绍关于数字信号处理的一些基本概念和术语 1 1前言1 1 1信号处理的作用和意义 所谓信号处理广义来说 就是人类在与自然界及人类社会接触时 从接收到的各种信号中获取信息的过程 直接或通过其他机器设备 如计算机 所谓信息广义来说 就是对外界能感知 并可以作出反应的实体 如人 动物 植物 机器人等 对外界的感觉 对所接收的信号的理解 信号处理初级技术 感受信号 从信号中获取有用信息 高级技术 从信号中获取更多 更深刻的信息 并且用信息去控制系统的工作 如机器人 人工视觉 语言识别等 5 1 1 2信号 6 3 信号形式的变换 7 2 系统特性 信号处理系统的系统特性用输入信号x t 和输出信号y t 的变换关系T说明 如果变换关系T不随信号的变化 主要指幅度和时间 而变化 则该系统的特性是线性时不变的 3 信号处理系统分类 模拟信号处理系统 输入信号和输出信号之间的变换由模拟电路完成 数字信号处理系统 输入信号和输出信号之间的变换 处理运算 由数字电路 或数字计算机软件 完成 1 1 3信号处理系统 8 1 2数字信号处理1 2 1数字信号处理的一般过程 9 1 2 2数字信号处理的优点 1 精度高 模拟系统中高精度模拟元件 电路精度只能达10 10 3数字系统精度可达10 3 10 5 甚至更高 2 可靠性高 模拟系统信号容易受干扰 产生失真 二进制的数字信号在传输 存储 处理中不容易丢失信息 3 灵活性强 模拟系统要改变系统特性一般要改变元件值 或改变电路连接 比较困难 数字系统中 特别是计算机数字信号处理系统可以通过修改信号处理软件参数 或运行不同的程序模块就可以进行不同的处理 可以很容易地实现多路信号的同时处理等要求 另外 数字电路容易实现大规模集成电路 数字信号容易加密等等优点也是数字信号处理系统获得广泛应用的原因 10 1 2 3数字信号处理的研究范围 数字信号处理系统由于数字计算机的应用而得到广泛地使用 数字信号处理技术已广泛地应用到数字通信 电子测量 遥感遥测 生物医学工程以及数字图象技术 震动分析等等领域 可以说数字信号处理技术在各个生产 科学 技术领域都有十分广泛的应用 本课程的研究范围 1 数字信号和数字系统的数学描述 第2章 2 数字信号的付氏变换及其快速算法 第3 4章 3 数字滤波器的设计和实现方法 第5 6 7章 数字信号处理的两个基本处理方法 1 信号形式变化 以便获取更多信息 2 滤除信号无用成分 突出有用成分 以便取得有用信息 11 1 3有关的数学知识 1 3 1付氏变换 12 若x t 是以T为周期的函数 则付氏变换可以用付立叶级数表示 13 x t 是以T为周期的矩形函数 则其付立叶级数表示为 14 对以T为周期的矩形波的正弦谐波叠加逐次逼近 1次谐波 1 3次谐波 1 3 5次谐波 1 3 5 19次谐波 1 3 5 39次谐波 1 3 5 199次谐波 1 3 5 1999次谐波 15 1 3 2特殊函数 16 17 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 18 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 第1章结束 19 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 第2章离散时间信号与离散时间系统 数字信号处理 20 第2章离散时间信号与离散时间系统 2 1连续信号的采样与恢复 2 1 1 连续信号的采样1 采样电路 21 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 22 2 1 2 采样信号的频域表示采样脉冲是以T为周期 可以用付立叶级数表示 两边作付立叶变换 得 代入得 23 连续信号采样分析图 24 声音1 采样频率22 05KHz 数字化16Bit 双声道录音 离散信号的信息与采样频率的关系 示例 声音1 采样频率1 38KHz 数字化16Bit 双声道录音 声音1 采样频率689Hz 数字化16Bit 双声道录音 声音2 采样频率5 51KHz 数字化8Bit 单声道录音 声音2 采样频率689Hz 数字化8Bit 单声道录音 声音2 采样频率2 526KHz 数字化8Bit 单声道录音 25 2 1 3 采样定理 如连续时间信号 模拟信号 是有限带宽信号 当采样频率fs大于信号的最高频率成分fmax的两倍 fs 2fmax 则从采样信号 离散时间信号 可以完全恢复原信号 模拟信号 当fs 2fmax时fs为临界采样频率 也称为Laiquest采样频率 说明 1 对实际信号直接进行采样一般是不能满足采样定理条件的 因为实际信号中往往都包括了很高的频率成分 所以在对实际模拟信号采样之前需要进行抗混叠滤波 通过抗混叠滤波器滤除信号中高于临界采样频率1 2的高频成分 再进行采样 2 以上从理想采样脉冲序列得出的采样定理 对于有一定宽度的实际采样脉冲仍然是正确的 用实际采样脉冲得到的采样信号的频谱在周期频移时要多乘一个系数Cm C0 1 见P12图2 5 具体数学证明 见参考资料 3 因为在采样信号的恢复时 仅仅截取主周期频谱 所以用实际采样脉冲得到的采样信号与理想采样脉冲序列得出的采样信号在恢复时是一样的 26 2 1 4 采样信号的恢复 1 滤波器处理 使用低通滤波器对x n 进行处理 截取采样信号的主周期频谱 具体滤波处理运算第5章再介绍 滤波器频域特性为 27 2 插值公式处理 上述滤波器的输出x t 为 通过采样值x n 可以计算任意时刻t的模拟信号值 当然包括非采样时刻的信号值 插值恢复公式可以计算出原来信号 A 28 3 电子D A器件恢复 电子D A器件硬件恢复方法具有实时特性 在声卡 视频卡 CD播放机等数字电子设备中广泛使用 29 2 2离散时间信号序列 2 2 1离散时间信号的序列表示 30 2 2 2序列的运算规则 同一时间的值相运算 31 2 2 3几种常用序列 32 4 正弦序列 思考题 正弦序列不一定是周期序列 在满足上述条件时 它才是周期序列 在什么情况下 正弦序列不具有周期性 正弦序列的周期性与哪些参数有关 33 说明 复指数序列是正弦序列的组合 是为了方便数学演算而引入的一种表示方式 从物理意义上来说 复指数序列也可以看作是正弦信号的采样序列 说明 任意离散序列可以表示为单位取样延时的幅度加权之和 这种序列的表示方式有利于对序列的一些数学运算 34 2 3离散系统及其特性 2 3 1离散系统 离散信号处理系统 的定义 能反映输入信号序列x n 和输出信号y n 的因果关系的设备或运算称为离散系统 记为 35 36 2 系统的时不变特性 系统的时不变特性 又称为非移变 非时变 是指系统的特性不随时间变化 对于实际的离散信号系统 在一定的使用条件下可以看成线性非时变系统 LTI系统 主要是信号幅度要限制在系统的线性工作区域 系统工作时间内特性不变 37 2 LTI系统对任意输入信号的响应 38 3 离散序列的线性卷积 4 离散卷积的性质 39 40 41 卷积运算的说明 在LTI系统中 单位冲击响应h n 唯一地确定了一个系统特性 通过卷积运算可以得到任意输入信号x n 的响应y n 2 3 4线性卷积的计算 1 直接计算式计算 对于不同的n值逐点计算所有k的乘积 叠加求和 42 2 作图法计算 按 43 2 3 5LTI系统的稳定性和因果性LTI系统特性可以由单位冲击响应h n 来说明 包括它的稳定性和因果性 1 LTI系统的稳定性 一个离散系统 当输入信号有界 其输出信号也有界 则此系统是稳定系统 离散LTI系统稳定的条件是 44 2 LTI系统的因果性 一个离散系统 当输出信号变化不会发生在输入信号变化之前 则此系统是因果系统 离散LTI系统因果性的充要条件是 45 2 3 6LTI系统的差分方程描述LTI系统特性可以由单位冲击响应h n 来说明 也可以用差分方程来描述 1 差分运算 一个离散时序信号的变化可以用差分运算来描述 描述离散时序信号的变化的差分运算可以表示成不同时间序列分量的线性组合 K阶差分可以表示成K个时间的序列值的线性组合 所以 离散差分运算可以分解成有限长序列的代数运算 46 2 LTI系统的差分方程表示 一个离散LTI系统的工作情况可以用其输入信号和输出信号的变化关系 差分方程 来描述 说明 1 差分方程说明在LTI系统中 某一时间的输出信号值取决于前M个时间的输入信号值和前N个时间的输出信号值的线性组合 2 系数和为常数 取决于系统特性 3 差分方程中输出信号的有效时延N称为此方程的阶数 N阶差分方程 4 一般差分方程为递归型 有反馈系统 如果差分方程系数满足 差分方程为非递归型 无反馈系统 47 3 LTI系统的差分方程的解 一个离散LTI系统的工作情况可以用差分方程来描述 与微分方程类似 要唯一确定一个系统的输入信号与输出信号的关系 还必须有附加约束条件 如系统初始状态 48 2 4离散信号与离散系统的频域表示 付氏变换 2 4 1问题的提出 49 2 4 2离散序列的傅氏 Fourier 变换 50 2 4 3离散序列的傅氏 Fourier 变换的性质 51 52 53 2 4 4离散LTI系统的频域表示 54 2 5离散信号的Z变换为了将离散系统的差分方程的解法 转换成代数解法引入Z变换 2 5 1Z变换的定义及其收敛域 55 上例说明序列的Z变换可能在某个区域内收敛 在收敛域中其Z变换可以表示成一个解析函数 根据级数收敛的条件 X z 收敛的条件是级数绝对可和 可见 同一个解析函数在不同的收敛域可能表示不同的序列的Z变换 所以 在说明某解析函数是某个序列的Z变换时 要同时给出收敛域 56 2 收敛域定义及特性 不同特点的序列和其收敛域的关系 1 有限长序列 定义 使序列x n 的Z变换X z 收敛的复平面上所有Z的集合 称为该Z变换的收敛域 记为ROC RegionofConvergence 57 2 右边序列 3 左边序列 58 4 双边序列 结论 双边序列的Z变换收敛域一般是Z平面上的圆环 单边序列的情况下 内环可能为原点 外环可能为无穷远点 也可能是整个Z平面 也可能没有收敛域 59 序列Z变换的收敛域ROC 60 2 5 2Z变换的性质 相关的证明见教材P31 33 2 时移特性 3 频移特性 1 线性性 61 4 卷积特性 5 序列乘积的Z变换 6 初值特性 62 其余特性见P37表1 3 7 的导数 8 帕斯瓦尔定理 63 2 5 3Z反变换根据X z 和ROC求x n 1 幂级数法 64 2 部分分式法 65 66 67 3 反演公式法 公式证明见P37 反演公式的留数计算方法 68 69 2 6单变Z变换 2 6 1定义 说明 对于因果序列单变Z变换与双边Z变换相同 所以可以用单Z变换来解给定初始条件的LTI因果系统问题 当然 也可以直接使用双边Z变换来解 我们可使用单边Z变换来解给定初始条件的LTI因果系统问题 但如果把单变Z变换靠成双边Z变换一种特殊情况 所有的问题都可以直接使用双边Z变换 在以后的使用中 如果不做特别说明 则Z变换就是指的双边Z变换 70 离散信号 2 7几种变换之间的关系 71 2 8用Z变换分析LTI系统 2 8 1系统函数的Z域形式 2 8 2系统函数与差分方程 72 2 8 3系统函数的收敛域与系统特性 1 系统稳定性 2 系统因果特性 73 2 8 4系统函数的另 极点位置对系统特性的影响 74 单位圆 零 极点矢量图 75 讨论 1 幅频特性 2 相位特性 76 77 78 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 第3章离散傅氏变换DFT 数字信号处理 79 傅氏变换的几种形式 80 讨论 1 在四种傅立叶变换中 只有第四种适合于在计算机上演算 2 第四变换对 称为周期序列的离散傅氏级数 DFS 3 周期序列取其主值区间 n 0 N 1 可以得到有限长序列 有限长序列也可以通过周期延拓得到周期序列 根据以上的讨论 我们首先研究离散周期序列的傅氏变换 81 3 1离散傅氏级数 DFS 和离散傅氏变换 DFT 的导出 3 1 1周期序列的离散傅氏级数 DFS 82 定义周期序列的傅氏变换 83 84 说明 1 有限长序列的DFT为N点有限长离散频谱 2 有限长序列DFT与周期与N点的周期序列的DFS主值序列相同 3 如果把有限长序列x n 通过补另加长为N1 N点 则可以得到N1点离散频谱 3 1 2离散傅氏变换DFT的定义及用途 1 离散傅氏变换DFT的定义 85 2 一般模拟信号的DFT处理过程 离散傅氏变换虽然适合于在计算机上计算实现 但它是针对有限长离散信号 或离散周期信号 定义的 对于一般的连续非周期信号x t 如何使用DFT计算频谱 解决了这一问题DFT才具有实际意义 说明 如果信号不满足采样定理可能产生混叠误差 在采样前要进行抗混叠滤波 使它成为满足采样定理的有限带宽信号 86 1 采样 时域离散化 频域周期化 87 2 截断 时间序列x n 被截断为有限长 周期频谱产生折积波纹 此过程会产生泄漏误差 可以采取窗函数修正减小泄漏误差 88 3 时域周期化 时间序列周期化 周期频谱离散化 DFS 频域采样 栅栏效应 频率分辨率F 89 4 取主值区域计算 有限长时间序列 N点 有限长离散频谱 N点 计算DFT 90 结论 对于一般连续信号通过采样 截断 周期化和主值计算的处理 可以使用DFT计算其频谱 处理过程中 可能产生混叠误差 泄漏误差和频谱采样栅栏效应 但只要采取适当的方法 可以在满足一定的精度要求之下 用DFT计算结果作为原连续信号频谱 混叠误差处理 抗混叠滤波 提高采样频率 泄漏误差处理 截断窗函数的修正 频谱采样栅栏效应 使频谱的频率分辨率满足分析要求 频率分辨率F 1 NT 截断数据长度N的选定 即连续信号分析时间为tp NT 91 3 2DFT的性质 1 对称性 定义 旋转因子的性质 92 1 当x n 为实序列 93 当x n 为偶对称实序列x n x N n 2 当x n 为复数序列 3 反变换第二形式 94 2 线性特性 3 平移特性 4 调制特性 95 5 序列加长后的频谱 结论 频谱不变 但分辨率提高r倍 频谱rN点 如果序列作周期性延长r倍 频谱会如何变化 课后练习 96 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 3 3序列Z变换和DFT的关系 3 3 1Z变换在单位圆上的取样 结论 有限长序列x n n 0 N 1的DFTX k 等于序列的Z变换X z 在单位圆上的等距离取样值 相邻点相位角间隔为 97 3 3 2Z变换的内插表示 结论 有限长序列x n n 0 N 1的Z变换X z 在任意z点的值可以由其DFTX k 通过以上插值公式求得 98 3 4线性卷积的DFT计算 定义周期序列的卷积 称为圆周卷积 3 4 1圆周卷积 周期序列的圆周表示 当序列x n 为周期序列时 可以将序列元素按反时针方向顺序排列在N等分的圆周上 序列时移m 是将序列在圆周上顺时针旋转m个位置 1 圆周卷积定义 99 2 圆周卷积与DFT 根据DFS定义可以证明 在主周期可以用DFT计算DFS 100 3 4 2循环卷积 1 定义 101 2 循环卷积的性质 102 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 103 3 循环卷积的矩阵计算方法 循环卷积的计算方法除了前面介绍的同心圆周图型法外 还可以用解析式的矩阵计算方法 104 3 4 2线性卷积与循环卷积 3 4 3DFT与线性卷积 105 数字信号处理多媒体教学系统版权所有 yuning2003 3第2版 106 3 5线性卷积的分段计算方法 107 3 5 1重叠相加法 108 重叠相加法计算步骤 109 这里采用DFT方法计算各段线性卷积可以减少计算量 这个问题将在下一章中具体讨论 110 111 3 5 2重叠保留法 112 重叠保留法计算步骤 113 114 115 3 6相关运算 滞后乘积 116 快速傅立叶变换FFT是DFT计算的高效 快速算法 1 问题的提出 直接计算DFT的计算量 所以直接计算的计算量为N2数量级 需要改进算法提高计算效率 1965年库利 图基发表DFT的快速算法FFT 使计算量降到 N 2 log2N 计算量比较表 117 2 FFT算法的引入 1 把长序列分解成短序列计算 然后再组合出结果 3 根据这两点提高计算效率的方法 提出了多种不同的算法 如库利 图基算法 时间抽取基2FFT算法 桑德 图基算法 频率抽取基2FFT算法 WFTA算法 小N素数组合算法 CZT算法 线性调频Z变换算法 ZFFT算法 局部频谱细化算法 等等 118 4 1库利 图基算法 时间抽取基2FFT算法 119 120 121 N 8基2时间抽取 可得出如下计算流程图 122 4 1 2计算量和算法特点 1 以碟形运算为基础进行组合计算 计算因子WK的指数K与运算所在的级数和组内位置有关 2 中间数据的存储 可采用原位存储法 即每次碟形运算的结果可以存储在原数据的同一个存储单元 这样在高速硬件实现时 可节省存储器 3 输入序列的混序 因为DFT输入序列是顺序采样的 所以在计算FFT之前需要进行序列按混序要求排序 排序算法很多 较常用的计算混序号的方法有二进制序号反转算法 如 序号n和混序号用3位二进制数表示 它们互为反转 123 4 2桑德 图基算法 频率抽取基2FFT算法 124 125 N 8基2频率抽取 可得出如下计算流程图 126 4 2 2计算量和算法特点 1 以蝶形运算为基础进行组合计算 计算因子WK的指数K与运算所在的级数和组内位置有关 2 中间数据的存储 可采用原位存储法 即每次蝶形运算的结果可以存储在原数据的同一个存储单元 这样在高速硬件实现时 可节省存储器 3 输出序列为混序 因为DFT输出序列要求是顺序的 所以在计算FFT之后需要进行序列按混序要求排序 输出序列混序与时间抽取方法的输入序列混序相同 所以排序算法相同 两种FFT算法的计算量相同 计算过程也类似 所以 在实际应用中两种算法可以任意选用 FFT算法大大地减少了DFT的计算量 使计算机数字信号处理得以广泛应用 127 128 1 软件实现 用于各种多媒体系统 2 单片信号处理微机 DSP 实现 如著名的TMS320系列信号处理机 具有固化的FFT程序 计算1024点浮点数据只需2mS 128阶FIR数字滤波器可处理10MHz的信号 用于实时多媒体系统 如可视电话 语言识别系统等 4 3 1FFT的实现方法 3 阵列处理机实现 如信号处理阵列机 并行处理机等 用于大型图象信号处理 如气象卫星云图处理等 4 3 2FFT的应用 1 信号的频谱分析 主要误差的处理 混叠误差 抗混叠滤波 提高采样频率 泄漏误差 窗口函数的修正 栅栏效应 采样点数N的选定 延长采样时间t NT A D变换器的精度要求要根据实际情况 使频谱X k 满足分析要求 4 3FFT的实现方法与应用 129 例 某FFT信号分析处理器采样频率为5 12KHz 为了便于计算 取信号数据点数N是2的整数次方 问该处理器信号分析的频率范围是多少 若信号分析要求频谱的分辨率达10Hz 求信号采样持续时间至少为多长 信号数据点数应为多少 130 2 快速卷积 FFT计算 快速算法 131 4 4线性调频Z变换算法 DFT频谱是序列的Z变换在单位圆上的等间隔取样 但在一些应用中 需要计算某一段范围的较密集取样点的频谱 或非等间隔取样点的频谱 甚至可能要求频谱的取样点不在单位圆上 而在某一条螺旋线上 对于这样一些频谱计算要求 DFT计算无法满足 在这些情况下 采用线性调频Z变换算法 ChirpZTrasnationCZT 是很有效的 4 4 1CZT算法的基本原理 132 133 4 4 2CZT算法的快速算法 134 4 4 2CZT算法的快速算法计算步骤 135 4 4 3CZT算法的计算量 136 4 5实数序列的FFT高效算法和高效卷积 FFT计算为复数运算 所以输入序列x n 在运算时可以为复数数据 如果是实序列一般是把虚部置另 如果利用虚部数据可以提高计算效率 所以 通过组合后计算一次N点FFT可以得出2个N点实数序列的DFT频谱 4 5 1实数序列的FFT高效算法 137 如果希望计算2N点实数序列的FFT 也可以采用组合方法提高计算效率 138 高效卷积可用于 一次快速卷积可计算两个信号分别输入一个LTI系统的两个输出 或一个信号分别输入两个LTI系统的输出 用于分段卷积可以一次计算两个分段 4 5 2实数序列的FFT高效卷积算法 139 4 5实数序列的FFT高效算法和高效卷积 FFT计算为复数运算 所以输入序列x n 在运算时可以为复数数据 如果是实序列一般是把虚部置另 如果利用虚部数据可以提高计算效率 所以 通过组合后计算一次N点FFT可以得出2个N点实数序列的DFT频谱 4 5 1实数序列的FFT高效算法 140 如果希望计算2N点实数序列的FFT 也可以采用组合方法提高计算效率 141 高效卷积可用于 一次快速卷积可计算两个信号分别输入一个LTI系统的两个输出 或一个信号分别输入两个LTI系统的输出 用于分段卷积可以一次计算两个分段 4 5 2实数序列的FFT高效卷积算法 142 数字信号处理 第五章 数字滤波器的结构 143 第五章数字滤波器的结构 滤波的定义 对输入信号通过一定的处理得输出信号 这个处理通常是滤除输入信号的某些频率成分 保留信号中某些频率范围内的有用信号成分 所以把这种处理的过程称为滤波 5 1引言 滤波器的定义 实现滤波处理的运算电路 或设备称为滤波器 一般情况下 数字滤波器是完成滤波处理的一个LTI线性时不变系统 数字滤波的定义 对数字信号序列通过一定的算法进行处理 提取信号中某频率范围内的信号成分的过程称为数字滤波 144 5 1 1数字滤波器的表示 145 5 1 2数字滤波器的分类及特性 1 按信号通过系统时的特性 主要是幅频特性 来分类 可以有低通 高通 带通和带阻四种基本类型 146 147 2 按系统冲击响应 或差分方程 分类 其他较复杂的特性滤波器可以由基本滤波器组合而成 可以分成无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类 这两种滤波器都可以现实各种基本滤波器频率特性要求 但它们在计算流程 具体特性逼近等方面是有差别的 148 FIR滤波器 非递归型 149 5 2LTI系统的信号流图 1 方框图法方框图法简明且直观 其三种基本运算如下图所示 150 例如 已知差分方程如下 151 2 信号流图法信号流图表示系统运算过程的信号流通 对于较复杂的计算过程可以得到比较简洁的表示 其三种基本运算如下图所示 说明 对于同一个传递函数可以有不同形式的信号流图来实现 一般应选择结构简单 系数变化灵敏度低的实现流图 算法结构的选择对于系统的实现是很重要的 152 例如 已知差分方程如下 153 5 3IIR滤波器的结构 154 IIR滤波器的直接实现 I型 计算信号流图 5 3 1IIR滤波器直接实现 155 5 3 2IIR滤波器直接实现II型 将系统函数变形为2级运算 156 得IIR滤波器直接实现II型信号流图 在直接实现II型信号流图中一部分时延单元的输入相同 可以合并简化 得正准型实现流图 157 IIR滤波器正准型信号流图 正准型流图是对直接II型的简化 因为M个时延单元具有相同的输入 x n 所以可以合并M个基本时延单元 节省了时延单元 158 5 3 3IIR滤波器的级联实现 因为IIR滤波器是递归运算 所以对高阶系统有误差积累和容易不稳定的缺点 可以采取使用低阶系统来级联或并联的方法实现 1 级联实现 先将系统函数按零 极点进行因式分解 其中 pk为实零点 ck为实极点 qk qk 表示复共轭零点 dk dk 表示复共轭极点 M M1 2M2 N N1 2N2 再将共轭因子展开 构成实系数二阶因子 则得 159 为了方便 分子取正号 分母取负号 这样 流图上的系数均为正 最后 将两个一阶因子组合成二阶因子 或将一阶因子看成是二阶因子的退化形式 则有 其中 160 特点 仅影响第k对零点 同样仅影响第k对极点 子网络的零 极点也是整个系统的零 极点 便于调节滤波器的频率特性 161 2 并联型 将H Z 展成部分分式形式 162 其结构图如下 163 164 5 4FIR数字滤波器的结构 特点 无反馈系统 系统只有一个极点Z 0 为M阶极点 ROC Z 0 无论差分方程的系数取任何有效的值 系统都是因果稳定的 冲击响应等于差分方程系数 h n bnn 0 1 M 设计时选定阶数M和系数bn使系统特性满足设计指标 165 5 4 1FIR数字滤波器计算直接实现流程图 1 直接实现方框图 2 直接实现信号流图 横截型 166 5 4 2FIR数字滤波器计算级联实现流程图 系统函数可以表示成二阶因式的乘积 特点 便于灵活调整零点位置 但设计时系数的计算量增大 167 5 4 3FIR数字滤波器的快速算法实现流程图 因为FIR数字滤波器的冲击响应h n 为有限长度 所以可以采用FFT方法 快速算法 计算DFT 当M N时 可以采用分段卷积方法提高计算效率 减少计算量 168 169 数字信号处理 170 6 1IIR滤波器的设计概述 6 1 1 数字滤波器的设计 数字滤波器的设计就是按照给定的滤波处理系统的性能要求 设计一个因果 稳定的数字系统去逼近这个性能要求 并且用一个有限精度的运算去实现这个系统 171 IIR滤波器的设计方法 1 以模拟滤波器函数为基础的变换法 2 直接设计法 根据另 极点对系统特性的影响 调整另极点位置满足系统特性 然后由另 极点值求得得H z 3 最优化设计法 计算机辅助设计 在某种最小化误差准则下 建立差分方程系数ak bi对理想特性的逼近方程 使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统 由于此方法计算量大 需要借助于计算机进行设计 本章主要讨论第1种方法 6 1 2IIR数字滤波器的设计方法 这些特性经常被特定地说明为特征频率点的性能指标 如截止频率 3dB损耗频率点 最小阻带衰耗 通带波动范围等 172 6 1 3利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器的方法 173 6 2理想滤波器的特性及逼近方法 6 2 1理想滤波器特性 1 理想滤波器的特性 174 175 结论 理想滤波器的幅度频率特性在通带内是矩形特性 阻带内为零 理想滤波器的相位频率特性在通带内与频率成线性关系 阻带内可以不作要求 理想滤波器的冲击响应为非因果 无穷延伸的 理想滤波器的群延时为常数 即所有正弦波分量都有相同的相位延时 输出波形不变 理想低通滤波器特性 176 理想滤波器具有非因果无穷的冲击响应和不连续的频率特性 要用稳定的LTI系统来实现这样的特性是不可能的 工程上是用有限冲击响应的因果LTI系统或具有连续频率特性的LTI系统来逼近理想特性 在满足一定的误差要求的情况下用可实现函数来逼近理想滤波特性 对相位特性的逼近在一般的应用中可以不作要求 2 理想滤波器特性的逼近方法 实际低通滤波器特性 177 3 逼近函数的平方幅度响应表示 所以在工程设计中 使用连续频率函数来逼近理想滤波器特性时 通常用平方幅度响应来表示逼近函数 然后再求出相应的系统传递函数H s 可以通过设计表格来得到H s 在数字滤波器的设计中 可以利用成熟的模拟滤波器设计技术 先设计出符合性能指标的模拟滤波器 原型滤波器 用传递函数H s 表示 然后将H s 进行转换得到数字滤波器 178 6 3模拟滤波器设计 一般模拟滤波器的设计是要找到一个比较简单的连续函数来逼近理想滤波器特性 通常是幅度频率特性 逼近误差满足所要求的指标 说明 为了方便给出设计公式或设计表格 只讨论低通滤波器的设计 其他类型的滤波器可以由原型低通滤波器变换而得到 为了使设计中的数据标准化 对频率坐标进行归一化处理 即采用为设计曲线频率坐标 归一化的低通滤波器截止频率为1 这样设计数据与实际频率无关 为了达到既满足设计指标 又使逼近函数尽量简单便于实现的目的 通常给出一组带参数的设计函数 设计中可以调整参数来满足设计要求 6 3 1问题的提出 逼近函数的表达式一般采用平方幅度函数 通过计算式或设计表格可求得系统函数H s 179 6 3 2巴特沃斯 Butterworth 滤波器 B型 1 Butterworth滤波器幅度频率特性 180 2 Batterworth低通滤波器的特点 181 3 Butterworth滤波器的设计 根据逼近要求通过查特性曲线或计算求取阶数k 再查表求得H s 182 183 184 6 3 3切比雪夫 Chebyshev 滤波器 C型 1 切比雪夫函数特性 185 186 2 切比雪夫 Chebyshev 滤波器幅度频率特性 187 3 Chebyshev低通滤波器的特点 188 189 190 191 4 Chebyshev滤波器的设计 根据逼近要求查特性曲线或计算求取阶数k和波动系数 再查表求得H s 192 193 使用对数坐标可扩展阻带特性 0 3493为通带波动0 5dB的 值 194 195 196 197 6 3 4两类滤波器特性比较 1 对理想特性的逼近 同样阶次k C型滤波器优于B型滤波器 特