中考数学总复习 专题六 位置变换（以不变应万变）课件

专题六位置变换 以不变应万变 几何变换压轴题多以三角形 四边形为主 结合平移 旋转 翻折 类比等变换 而四边形的问题常要转化成三角形的问题来解决 通过证明三角形的全等或相似得到相等的角 相等的边或成比例的边 通过勾股定理计算边长 要熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理 灵活选择解题方法 注意区分各种四边形之间的关系 正确 认识特殊与一般的关系 注意方程思想 对称思想以及转化思想的相互渗透 淄博市近几年的中考题中 2017年的第7 22 23 24题考查了图形的位置变换 它们考查内容覆盖平移 旋转 对折 中心对称等 这些内容丢分较多 暴露出对位置变换综合应用不灵活 今后复习过程应予以重视 一 图形的平移旋转变换几何图形的平移旋转变换多与三角形 四边形结合 平移较易理解 而解决旋转变换问题 首先要明确旋转中心 旋转方向和旋转角 平移与旋转都要找出变换前后的对应点 利用变换前后的两图形全等解题 例1 2017 潍坊 边长为6的等边 ABC中 点D E分别在AC BC边上 DE AB EC 2 1 如图1 将 DEC沿射线EC方向平移 得到 D E C 边D E 与AC的交点为M 边C D 与 ACC 的角平分线交于点N 当CC 多大时 四边形MCND 为菱形 并说明理由 2 如图2 将 DEC绕点C旋转 0 360 得到 D E C 连接AD BE 边D E 的中点为P 在旋转过程中 AD 和BE 有怎样的数量关系 并说明理由 连接AP 当AP最大时 求AD 的值 结果保留根号 分析 1 先判断出四边形MCND 为平行四边形 再由菱形的性质得出CN CM 即可求出CC 2 分两种情况 利用旋转的性质 即可判断出 ACD BCE 即可得出结论 先判断出点A C P三点共线 先求出CP AP 最后用勾股定理即可得出结论 自主解答 1 当CC 时 四边形MCND 为菱形 理由 由平移的性质得CD C D DE D E ABC为等边三角形 B ACB 60 ACC 180 60 120 CN是 ACC 的角平分线 NCC 60 AB DE DE D E AB D E D E C B 60 D E C NCC D E CN 四边形MCND 为平行四边形 ME C MCE 60 NCC NC C 60 MCE 和 NCC 为等边三角形 故MC CE NC CC 又E C 2 CC CE CC MC CN 四边形MCND 为菱形 2 AD BE 理由 当 180 时 由旋转的性质得 ACD BCE 由 1 知AC BC CD CE ACD BCE AD BE 当 180 时 AD AC CD BE BC CE 即AD BE 综上可知 AD BE 连接CP 在 ACP中 由三角形三边关系得 AP AC CP 当A C P三点共线时AP最大 如图所示 此时 AP AC CP 此时 AP AC CP 在 D CE 中 由P为D E 中点 得AP D E PD CP 3 AP 6 3 9 在Rt APD 中 由勾股定理得 归纳总结 此类题目在图形位置变换的同时 不变的是对应的边 对应的角 形成的相等关系 这样的题目考查学生综合的推理能力 1 2017 宿迁 如图 矩形ABOC的顶点O在坐标原点 顶点B C分别在x y轴的正半轴上 顶点A在反比例函数y k为常数 k 0 x 0 的图象上 将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90 得到矩形AB O C 若点O的对应点O 恰好落在此反比例函数图象上 则的值是 2 2017 枣庄 如图 在平面直角坐标系中 已知 ABC三个顶点的坐标分别是A 2 2 B 4 0 C 4 4 1 请在图1中画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 A1B1C1 2 以点O为位似中心 将 ABC缩小为原来的 得到 A2B2C2 请在图2中y轴右侧 画出 A2B2C2 并求出 A2C2B2的正弦值 解 1 如图1所示 2 如图2所示 由图形可知 A2C2B2 ACB 过点A作AD BC交BC的延长线于D 由A 2 2 C 4 4 B 4 0 易得D 4 2 二 图形的翻折变换几何图形的翻折变换多与三角形 四边形相结合 翻折变换的实质是对称 翻折部分的两图形全等 找出对应边 对应角 再结合勾股定理 相似的性质与判定解题 例2 2017 淄博 如图 将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠 顶点B恰好与CD边上的动点P重合 点P不与点C D重合 折痕为MN 点M N分别在边AD BC上 连接MB MP BP BP与MN相交于点F 1 求证 BFN BCP 2 在图2中 作出经过M D P三点的 O 要求保留作图痕迹 不写作法 设AB 4 随着点P在CD上的运动 若 中的 O恰好与BM BC同时相切 求此时DP的长 分析 1 根据折叠的性质可知 MN垂直平分线段BP 由矩形的性质可得出 C 90 BFN 即可证出 BFN BCP 2 在图2中 作MD DP的垂直平分线 交于点O 以OD为半径作圆即可 设 O与BC的交点为E 连接OB OE 由 MDP为直角三角形 可得出AP为 O的直径 根据BM与 O相切 可得出MP BM 进而可得出 BMP为等腰直角三角形 根据同角的余角相等可得出 PMD MBA 结合 A PMD 90 BM MP 即可证出 ABM DMP 根据全等三角形的性质可得出DM AB 4 DP AM 设DP 2a 根据勾股定理结合半径为直径的一半 即可得出关于a的方程 解之即可得出a值 再将a代入OP 2a中求出DP的长 自主解答 1 证明 将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠 顶点B恰好与CD边上的动点P重合 MN垂直平分线段BP BFN 90 四边形ABCD为矩形 C 90 BFN C 又 FBN CBP BFN BCP 2 解 如图所示 如图 设 O与BC的交点为E 连接OB OE MDP为直角三角形 MP为 O的直径 BM与 O相切 MP BM MB MP BMP为等腰直角三角形 AMB PMD 180 BMP 90 MBA AMB 90 PMD MBA 在 ABM和 DMP中 ABM DMP DM AB 4 DP AM 设DP 2a 则AM 2a OE 4 a 归纳总结 本题通过变换借助图形找出等量关系 转化为方程 既体现了数形结合的思想 又体现了数学模型的作用 同时展现了以不变应万变的数学思想 3 如图 在矩形ABCD中 点E在边CD上 将矩形沿AE折叠 使点D落在边BC上的点F处 过点F作FG CD 交AE于点G 连接DG 1 求证 四边形DEFG为菱形 2 若CD 8 CF 4 求的值 解 1 由折叠的性质知 DG FG ED EF AED AEF FG CD FGE AED FGE AEF FG FE DG GF EF DE 四边形DEFG为菱形 2 设DE x 根据折叠的性质 EF DE x EC 8 x 在Rt EFC中 FC2 EC2 EF2 即42 8 x 2 x2 解得x 5 CE 8 x 3 三 图形的类比变换图形的类比变换常以三角形 四边形为背景 与翻折 旋转相结合 考查三角形全等或相似的性质与判定 难度较大 此类题目第一问相对简单 后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答 例3如图 已知 ABC 90 D是直线AB上的点 AD BC 1 如图1 过点A作AF AB 并截取AF BD 连接DC DF CF 判断 CDF的形状并证明 2 如图2 E是直线BC上的一点 且CE BD 直线AE CD相交于点P APD的度数是一个固定的值吗 若是 请求出它的度数 若不是 请说明理由 分析 1 利用SAS证明 AFD和 BDC全等 进而得FD DC 即可判断 CDF的形状 2 类比第 1 问 作AF AB于点A 使AF BD 连接DF CF 证明 AFD和 BDC全等 进而得FD DC FDC 90 即可求得 APD的度数 自主解答 1 CDF是等腰直角三角形 如图1 ABC 90 AF AB FAD DBC AD BC AF BD AFD BDC FD DC 1 2 1 3 90 2 3 90 即 CDF 90 CDF是等腰直角三角形 2 如图2 过点A作AF AB 并截取AF BD 连接DF CF ABC 90 AF AB AF CE 又 BD CE AF BD AF CE 四边形AFCE是平行四边形 FC AE APD FCD 由 1 知 FCD 45 APD 45 4 如图1 四边形ABCD中 ABC 2 ADC 2 点E F分别在CB CD的延长线上 且EB AB AD AEB FAD 1 猜想线段AE AF的数量关系 并证明你的猜想 2 若将 EB AB AD 改为 EB AB kAD k为常数 且k 0 其他条件不变 如图2 求的值 用含k 的式子表示 解