2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：平行线截割定理与直角三角形的射影定理.ppt

第一节平行线截割定理与直角三角形的射影定理 1 平行线等分线段定理 1 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段也 2 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 第三边 3 推论2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 另一腰 相等 相等 平分 平分 2 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的 成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 3 相似三角形的判定定理1 两角对应 两三角形相似 定理2 两边对应 且夹角 两三角形相似 定理3 三边对应 两三角形相似 对应线段 成比例 相等 成比例 相等 成比例 4 直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是 在斜边上的射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与 的比例中项 两直角边 斜边 相似三角形内切圆的半径比等于相似比的平方吗 图11 人教A版教材习题改编 如图1所示 F为 ABCD的边AD延长线上的一点 DF AD BF分别交DC AC于点G E EF 16 则BE的长为 答案 8 图33 如图3所示 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于点D CD 2 BD 3 则AC 图44 如图4 B D AE BC ACD 90 且AB 6 AC 4 AD 12 则AE 答案 2 思路点拨 由平行四边形 得DC AE BF AD 运用平行线分线段成比例定理及推论 经中间值代换求值 平行线分线段成比例定理及推论一方面可以判定线段成比例 另一方面 当不能直接证明要证的比例成立时 常用这个定理及推论将两条线段的比转化为另外两条线段的比 答案 1 思路点拨 根据相似三角形的判定定理和性质定理 答案 3 1 本题用到了 同弧所对的圆周角相等 这一性质 2 相似三角形的判定及性质的运用 是几何证明的基础 应用三角形相似既可推理证明 又可计算线段的比例与长度 如图9 在 ABC中 AD BC于D DE AB于E DF AC于F 若AE AB 5 则AF AC 思路点拨 由垂直条件 联想射影定理 进行线段的计算与证明 尝试解答 AD BC ADB为直角三角形 又 DE AB 由射影定理知 AD2 AE AB 同理在Rt ADC中 AD2 AF AC 又AE AB 5 AF AC AE AB 5 答案 5 1 应用射影定理有两个前提条件 1 是直角三角形 2 是斜边上的高线 2 直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用 在直角三角形中 灵活利用射影定理 可简化某些命题的证明和线段的计算 研究相关的相似与比例式问题 2013 惠州调研 如图10 在 ABC中 AD是BC边上的中线 AE是BC边上的高 DAB DBA AB 18 BE 12 则CE 解析 DAB DBA AD BD 又AD是中线 BD DC C DAC 从而 BAC 90 又AE BC 由射影定理得AB2 BE BC BC 27 因此CE BC BE 15 答案 15 平行线分线段成比例定理 射影定理是通过三角形相似证明的 故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键 1 防止写三角形相似时 两个三角形的顶点不对应 2 防止应用射影定理时 线段的位置记错 判定三角形相似有三种常用的方法 1 两组对应角分别相等 两三角形相似 2 一组对应角相等 且角的两边对应成比例 两三角形相似 3 三边对应成比例 两三角形相似 从近两年新课标选考内容来看 射影定理 三角形相似的判定与性质是高考的常考内容 常与圆的有关知识结合命题 难度中等偏低 在应用三角形相似的性质时 应注意对应线段的选择 防止出错 易错辨析之二十忽视相似三角形中对应边成比例致误图11 2013 湛江调研 如图11 在等腰三角形ABC中 AB AC 底边BC上的高AD 10cm 腰AC上的高BE 12cm 则AB BD 2 在求比值时 一般要根据所求把已知进行合理转化 根据线段相等进行转化是常用的方法 图121 2013 肇庆质检 如图12 ABC中 D E分别在边AB AC上 CD平分 ACB DE BC 如果AC 10 AE 4 那么BC