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让孩子的手动起来“三角形面积”教学思考与设计 义乌市香山小学 沈永平教学内容：北师大版义务教育课程标准实验教科书五年级上册学情分析与相关思考：三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容,学生学习三角形面积的知识基础是：三角形底和高的认识以及长方形、正方形和平行四边形面积计算公式。知识的增长点是三角形面积公式。这一知识是后面学生学习梯形面积计算以及今后学习的重要基础。其探究的过程与方法的基础是在学生学习了割补法、增补法，以及平行四边形面积推导过程中蕴含的“根据一定的条件和方法将未知转化为已知”的数学思想和方法。能力的增长点在于利用旋转将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，以及根据一定的条件(平分高或边)利用分割与旋转的方法将一个三角形转化成平行四边形，进一步体验“转化”的思想和方法。教学目标：1.通过剪、拼的操作，经历三角形面积的推导过程； 2.理解多种三角形面积公式推导的过程，会计算三角形的面积； 3.渗透化归思想，培养分析综合能力。教学重点：通过图形变化，推导三角形的面积公式。教学难点：理解图形变化前后的底和高之间的关系，并结合这种关系来推导三角形面积公式。教学用具：信封（内含有方格背景的三角形若干个）、剪刀、练习纸、课件。教学过程：一、开门见山、揭示课题1.今天这节课我们要一起来研究三角形的面积（板书课题）请同学们先来回忆三角形可以分哪几类？想想哪一类三角形的面积最容易研究？ 预设：（1）按角分可以分成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）按边分可以分成等腰三角形、等边三角形、不等边三角形。（设计意图：直奔主题为了能使后边更多的方法得到充分的探究和理解，本节课的重点是理解多种方法）预设：（1）直角三角形；（2）等边三角形或者等腰三角形。师：既然多数同学认为是直角三角形，那么就先来研究直角三角形，然后再来研究其它的三角形。（设计意图：直角三角形切口较小，更容易想到倍拼的方法，而且由简入难，循序渐进是教学的一般规律）二、动手操作、探究公式1.出示带有方格图背景的直角三角形（注意：直角三角形在格子上的位置要有利于学生看出用割补的方法，即容易想到把直角三角形转化成长方形或者平行四边形）师：现在规定每一个小方格表示1平方厘米，那么图中的直角三角形的面积是多少？说一说你是怎样想的？ 预设：（1）数格子数出来；（4个半格的学生自己会想办法估计成2格，因为有了前面学习平行四边形面积时的经验） （设计意图：这里数格子方法的很可能是差生的方法，所以仍然要肯定这种数格子的方法，并表扬还使用了估算的方法。差生要多鼓励表扬，促进其对下面内容的学习和思考。）（2）用铅笔画，补成一个长方形或平行四边形预设：可以看出三角形面积是长方形面积或者平行四边形面积的一半。直角三角形面积=所拼成长方形面积的一半=长宽2而长方形的长就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高所以可以推导出直角三角形的面积=底高2。（设计意图：这个环节中直角三角形面积公式相对容易推导出来，学生初步感知补成长方形或者平行四边形等方法，为学习其它三角形面积计算方法做好了铺垫）2. 动手实践，探究规律师：我们知道直角三角形的面积=底高2，那么锐角三角形和钝角三角形的面积呢？操作要求：选择自己感兴趣的一类三角形，一个两个都可以，可以数一数、剪一剪、拼一拼，自主探究相应三角形的面积，然后再小组中交流。注意：部分学生会发现数格子方法很麻烦，因为半格的太多，而且半格的大小比之前直角三角形的半格更不规则，估算起来麻烦。师：现在信封里的锐角三角形和钝角三角形都可以拿出来研究了。师：数格子在这里好像真的很麻烦，那么怎么办呢？预设：转化成平行四边形。引导学生剪、拼成已学过面积的图形，探究其中的规律，从而来找到三角形面积的计算方法。（设计意图：让学生发生认知冲突，明白数格子方法的局限性，然后必然会想到转化成其它已学过面积计算的图形，通过“转化”的思想，用旧知识来解决新知识，在教学中自然而然地给学生渗透“转化”这一数学思维方法。）（注意：以下环节中，先让学生把剪拼过程投影演示，并让学生一边拼，一边说。，后将课件中相应的方法显示在屏幕上）预设：（1）两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形；师：拼成的平行四边形与原三角形有什么关系？ 预设：三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。 还有什么关系？（引导学生观察它们的底和高有之间的关系）预设：底相同，高相同。师：你能结合它们的底和高之间的关系，推导出三角形面积公式吗？学生活动：进行小组讨论，最后通过比较分析，导出公式：三角形面积=平行四边形面积的一半=底高2（板书）师：底高表示什么？为什么要除以2？（设计意图：强化学生对公式推导的理解）（2）师：平行四边形的底是原三角形的什么？平行四边形的高呢？预设：平行四边形的底是原三角形的底，平行四边形的高是原三角形的高的一半。师：你能结合它们的底和高之间的关系，推导出三角形面积公式吗？学生活动：进行小组讨论，最后通过比较分析，导出公式：三角形面积=平行四边形面积=底高的一半（板书）（3）师：长方形的长是原三角形的什么？长方形的宽呢？预设：长方形的长是原三角形的底，长方形的宽是原三角形的高的一半，师：你能结合它们的长、宽和底、高之间的关系，推导出三角形面积公式吗？学生活动：进行小组讨论， 最后通过比较分析，导出公式：三角形面积=长方形面积=长宽=底高的一半（板书）（4）师：长方形的长与原三角形的底有什么关系？长方形的宽呢？预设：长方形的长是原三角形的高，长方形的宽是原三角形的底的一半。（设计意图：这种方法可能对大部分学生来说比较难以理解，尤其是长方形的宽是原三角形的底的一半，但幸好有方格背景的帮助，正因为有了方格背景，所以就有了数据，就可以计算，从而来发现长方形的宽是原三角形的底的一半。所以在方格背景下，这些关系相对显得直观，有利于学生发现规律）师：你能结合它们的长、宽和底、高之间的关系，推导出三角形面积公式吗？学生活动：进行小组讨论， 最后通过比较分析，导出公式：三角形面积=长方形面积=长宽=底的一半高（板书）（设计意图：先让每种方法都停留在底和高的关系层面上，不一下子推导出公式，是考虑到中下学生可能还来不及接受这些新思路新方法，无法及时消化，不理解这种前后的关系，这些学生只停留在“了解”的层面，而非“理解”，难以再现。所以要进行小组讨论，给予他们一定的时间去观察和思考。然后巡视的时候，去引导部分学生观察这种前后的关系，再结合关系去尝试推导，也许中下学生可以自主发现规律，从而有利于达到教学目标，或许就能突破教学重点和难点） 师：现在同学们已经有了那么多的方法求出了三角形的面积，你能再仔细观察一下这些公式，看看还有什么问题？预设：每个公式有点不一样？或者到底是哪一个才好？师：什么叫做有点不一样？你能给大家说一说吗？预设：都有底高和一半，但有些一半在前面，有些一半在后面，有些后面是2。师：那怎么办？（设计意图：最后应该去引导帮助学生从底高的一半，底的一半高，底高2等公式中去观察思考、分析比较，最终转化成同一种三角形面积计算公式，简而言之，就是说将三角形面积公式进行统一是必要的）3.阅读课本，巩固所学知识 学生自学字母公式，并让学生说说字母表示的意思。（设计意图：教学方式要看教材版本的，如果是人教版和浙教版，自学即可，因为教材上全部写好了，如果是北师大版和苏教版，字母有说明，但是公式要自己填写，当然自学也没什么困难，最后汇报一下答案即可。如果是西师版和青岛版就需要你加以详细说明，因为没有任何字母说明。总而言之，字母公式一定要理解掌握的）三、组织练习、巩固提高1.计算下面三角形的面积。（单位：厘米） 2.求涂色三角形的面积。（单位：分米） （设计意图：让学生明确计算三角形面积时，底和高是必须相对应的）3.思考题：（课后作业，不作要求）你能比一比下面3个大三角形的大小吗？为什么？你能在图中再画出一个这样大小的三角形吗？（设计意图：此题在练习纸上，让学生课后去完成，但不作硬性规定，主要是让感兴趣的学生去主动思考、探究“等底等高的三角形面积相等”，为后面的练习课打下基础）四、全课小结 师：说说今天这节课你有什么收获？ 教学反思：三角形面积的计算，对于十岁左右的儿童来说，空间观念是从经验活动的过程中逐步建立起来的。鉴于此，这节课我采用了通过实践操作组织教学，通过大胆放手，让学生在猜、剪、拼、想、议中学习数学，在学生动口、动手、动脑中研究数学，在自主、自由中“发展”数学。1.重视学生的实践活动实践活动是一个动态过程，它既顺应小学生好奇好动的心理特点，又可集中注意，激发兴趣，发现新知，体验创新，使学生在“亲自创造事物”中快乐地获得“真正的理解”。让同学们找出平行四边形的底与高与三角形的底、高之间的对应关系，唤起了似曾相识的亲切感，消除了思维上的心理障碍，从而推导出了三角形的面积计算公式。在整个实践活动中，学生充分动口、动手、动脑，亲身经历观察、操作、推理、交流等过程，在自主探索与合作交流中，感受到了成功的喜悦，体验深刻，掌握牢固，应用灵活，同时，创新意识得到了培养，实践能力得到了提高。2.重视学生间的合作与交流学生学会合作与交流有利于形成良好的人际关系，促进其人格的健全发展。新课程强调学习方式的转变，因此在课堂教学中，教师要依据教学目标，变换传统的教学方式，给学生提供更多的合作与交流的机会，使每个学生都积极参与到学习中来，每个学生都有自由表达自己观点、意见的机会，都能在合作交流中找到自己的位置，体验自身的价值。在探索三角形面积计算公式的过程中，我让学生小组合作活动，充分利用自己手中的学具，通过拼一拼、比一比来探索三角形的面积公式。接着我组织他们交流，学生上台讲解演示，台下学生不时地加以补充、提问，学生在交流中学到了知识，在交流中看到了可以用许多方法解决同一个问题，但许多问题在有限的时间内不可能靠一个人的力量完成，必须靠大家的力量，培养了彼此间的合作与协作精神，同时深切地感受到集体合作的重要性。3