1.3.1 单调性与最大(小)值第二课时 课件(人教A版必修1).ppt

第2课时函数的最大值 最小值 1 通过对一些熟悉函数图象的观察 分析 理解函数最大值 最小值的定义 2 会利用函数的单调性求函数的最值 课前自主学习 1 最大值的概念 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有 2 存在x0 I 使得 那么 称M是函数y f x 的最大值 2 最小值的概念 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有 2 存在x0 I 使得 那么 称M是函数y f x 的最小值 自学导引 f x M f x0 M f x M f x0 M 1 函数最大值或最小值的几何意义是什么 答 函数最大值或最小值是函数的整体性质 从图象上看 函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标 自主探究 注意 1 在给定的区间内 当某个代数式的符号无法确定时 如本题中x1x2 a 可取极端情况 如x1 x2 入手分析 以此为界分类讨论 1 函数f x 在 2 2 上的图象如图所示 则此函数的最小值 最大值分别是 A f 2 0B 0 2C f 2 2D f 2 2 预习测评 解析 由函数最值的几何意义知 当x 2时 有最小值f 2 当x 1时 有最大值2 答案 C 2 函数y ax 1 a 0 在区间 0 2 上的最大值与最小值分别为 A 1 2a 1B 2a 1 1C 1 a 1D 1 1 a解析 a 0 所以一次函数在区间 0 2 上是减函数 当x 0时 函数取得最大值为1 当x 2时 函数取得最小值为2a 1 答案 A3 函数y 2x2 1 x N 的最小值为 解析 x N y 2x2 1 3 答案 3 答案 20 课堂讲练互动 一 函数的最大 小 值的理解1 定义中M首先是一个函数值 它是值域的一个元素 如f x x2 x R 的最大值为0 有f 0 0 注意对 2 中 存在 一词的理解 2 对于定义域内全部元素 都有f x M 或f x M 成立 任意 是说对每一个值都必须满足不等式 要点阐释 3 这两个条件缺一不可 若只有 1 M不是最大 小 值 如f x x2 x R 对任意x R 都有f x 1成立 但1不是最大值 否则大于0的任意实数都是最大值了 最大 小 值的核心就是不等式f x M 或f x M 故也不能只有 2 二 求函数最值的方法1 求函数最大 小 值的常用方法有 1 值域 求出函数f x 的值域 即可求其最值 注意必须确保存在函数值里的最值 2 单调性法 通过研究函数的单调性来求函数的最值 2 当一般的求最值方法难以奏效时 不妨研究函数的单调性试一试 单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法 1 一般地 若y f x 与y g x 有相同的定义域 且在定义域内有相同的单调性 则函数y f x g x 与它们也有相同的单调性 2 函数y f x 的最大值和最小值也可用下列符号表示 用y大或ymax表示y f x 的最大值 用y小或ymin表示y f x 的最小值 而用f x x x0表示当x x0时y f x 的函数值 题型一利用图象求函数最值 例1 如图为函数y f x x 4 7 的图象 指出它的最大值 最小值及单调区间 典例剖析 解 观察函数图象可以知道 图象上位置最高的点是 3 3 最低的点是 1 5 2 所以函数y f x 当x 3时取得最大值 最大值是3 当x 1 5时取得最小值 最小值是 2 函数的单调增区间为 1 5 3 5 6 单调减区间为 4 1 5 3 5 6 7 点评 利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法 这种方法以函数最值的几何意义为依据 对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用 题型二利用单调性求函数最值 1 求f x 的最小值 2 若f x a恒成立 求a的取值范围 点评 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法 特别是当函数图象不好作或作不出来时 单调性几乎成为首选方法 另外f x a恒成立 等价于f x min a f x a恒成立 等价于f x max a 题型三二次函数在给定区间上的最值 例3 求函数f x x2 2ax 2在 1 1 上的最小值 解 函数f x 图象的对称轴方程为x a 且函数图象开口向上 如图所示 当a 1时 f x 在 1 1 上单调递减 故f x min f 1 3 2a 当 1 a 1时 f x 在 1 1 上先减后增 故f x min f a 2 a2 当a 1时 f x 在 1 1 上单调递增 故f x min f 1 3 2a 综上可知f x 的最小值为 点评 探求二次函数在给定区间上的最值问题 一般要先作出y f x 的草图 然后根据图象的增减性进行研究 特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系 它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系 定义域区间在对称轴右侧 定义域区间在对称轴左侧 定义域区间在对称轴的两侧 3 已知函数f x ax2 2ax 2 b a 0 在 2 3 上有最大值5和最小值2 求a b的值 解 f x ax2 2ax 2 b a x 1 2 2 b a的对称轴方程是x 1 1 当a 0时 f x 在 2 3 上是增函数 误区解密因忽略函数的定义域而出错 例4 求函数y x2 2x x 1 2 的值域 错解 y x2 2x x 1 2 1 因为 x 1 2 0 所以y x 1 2 1 1 从而知 函数y x2 2x的值域为 1 错因分析 这里函数的定义域有限制 即 1 x 2 上述解法只对二次函数y ax2 bx c a 0 在定义域为实数集时适用 正解 y x2 2x x 1 2 1 x 1 2 由图象知 当 1 x 1时 y随x的增大而减小 当1 x 2时 y随x的增大而增大 并且当x 1时 y取最大值3 当x 1时 y取最小值 1 从而知 1 y 3 即函数y x2 2x x 1 2 的值域是 1 3 纠错心得 函数的定义域是函数的灵魂 求函数的值域时 首先注意函数的定义域 1 求函数的最值 若能作出函数的图象 由最值的几何意义不难得出 2 运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法 特别是函数图象作不出来