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数列求和问题 求数列前n项和的常用方法 1 公式法 3 分组求和法 5 错位相减法 2 倒序相加法 4 裂项相消法 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 1 公式法 即直接用求和公式 求前n项和Sn 分析 通过观察 看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a 公比为ab 因此由题设求出a b 再用等比数列前n项和公式求和 例1 若实数a b满足 求 例2求和 1 1 a 1 a2 1 an 解 1 1 a 1 a2 1 an是首项为1 公比为1 a的等比数列 原式 原因 上述解法错误在于 当公比1 a 1即a 1时 前n项和公式不再成立 例2求和 1 1 a 1 a2 1 an 在求等比数列前n项和时 要特别注意公比q是否为1 当q不确定时要对q分q 1和q 1两种情况讨论求解 对策 倒序相加法在教材中是推导等差数列前n项和的方法 2 倒序相加法 3 分组求和法 若数列的通项可转化为的形式 且数列可求出前n项和与则 解 1 该数列的通项公式为 例4 求下列数列的前n项和 当a 0且a 1时 Sn 4 裂项相消法 或裂项法 若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式 评 裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项 进而达到求和的目的 常见的拆项公式有 5 错位相减法 设数列是公差为d的等差数列 d不等于零 数列是公比为q的等比数列 q不等于1 数列满足 例7 求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1 x 0 1 这是一个等差数列 n 与一个等比数列 xn 1 的对应相乘构成的新数列 这样的数列求和该如何求呢 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 xSn x 2x2 n 1 xn 1 nxn 1 x Sn 1 x x2 xn 1 nxn n项 这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和 这样我们就可以化简求值 错位相减法 分析 例7 求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1 x 0 1 解 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 xSn x 2x2 n 1 xn 1 nxn 得 1 x Sn 1 x x2 xn 1 nxn 直接求和 公式法 等差 或等比数列用求和公式 常数列直接运算 倒序相加 等差数列的求和方法 错位相减 数列 anbn 的求和 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 裂项法 分组求和法 把通项分解成几项 从而出现几个等差数列
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