兰大08年09年数分考研试题及解答.doc

兰州大学2008年数学分析考研试题及解答1 计算.1. 求.解 .2. 设，求证（1）单调递减；（2） ；（3） 求.证明 （1）因为，所以，于是是单调递减的；（2） 由，得 ，（3） 由（2）知，所以.3求.解 .4. 求解 ,所以 .5. 求.解， ，故.6. 求，其中是不过原点的简单闭曲线.解 记，则，而由Green公式若原点在所围区域的内部，则取充分小，使得包含在所围区域的内部. .2 设在处可导，且，.证明 存在，使得时，有.证明 由题设条件，知，于是存在，使得当时，有，从而当时，有.3 试证明在上不一致连续，但是对任何，在上一致连续.证明（1）取，尽管，但，所有在上不一致连续；（2） ，当时，即在上有界，故在上一致连续.对任意， ，由此，即得在上一致连续.4 设，为实参数，记.证明 存在，使得对任何都存在，满足.证明 由于当，对，有，存在，使得当时，取，则对任何,当，取，对，都有.5 设，讨论级数的敛散性.解 设，当时，显然级数收敛，当时，由于,所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，当时，由收敛，当，时，原级数条件收敛，当，时原级数绝对收敛，当，原级数发散，当，原级数绝对收敛.6 设在上有界，记，证明 在上可积的充分必要条件是，在上均可积，并且.证明 必要性 设在上可积，我们知道上可积，由，得 ，在上均可积，显然，所以；充分性 设，在上均可积，由，知在上可积，且.7 设二元函数对连续，对连续且关于其中一个变元单调，证明 它关于两个变元是混合连续的.证明 不妨设关于单增，对于任意固定的，由于关于连续，对任意，存在，使得当时，有，（1）由于，关于连续，对于上述，存在，使得当时，有，现对任意的满足， ，当时， ，同理当时，于是得在处连续，结论得证.8 设连续函数满足，记，证明 .证明 ，.9 称是凸函数，如果对任意的，,均有，（1） 试着给出凸函数的几何解释；（2） 若是区间上的凸函数，试讨论在上的连续性质；（3） 若有下界，即存在常数,使得对任何，都有，问是否有最小值？证明你的结论.解（1）联结图像上两点直线段总在这两点间图像的上方.（2） 对任意,满足，记，而， ，,由此可得，进而;（3）对任意固定，任取则有 ，则 ，关于单调递增，且有下界，于是存在右极限，即存在，同理可证存在，由极限的保不等式性，可得 。于是在内右导数存在，在内左导数存在，且 。 (4)对任意 , ,，从而有于是有，即得在上是Lipschitz连续的,从而在上是连续,故可得知在内连续.当有端点时，在断点处未必连续.(5)未必有最小值，例1 设，显然此函数在上是凸函数,但是在上无最小值，在处不连续.例2 设，在上是凸函数，且有下界，但是在上无最小值.兰州大学2009年数学分析考研试题及解答1 计算题1. 求.解 原式 注：，2. 求.解 原式 .3. 计算.解 原式 .4. 求抛物线与它在处的法线所围成的有限区域的面积.解 在处，法线的斜率为，设法线方程为，法线与抛物线交于，于是所求的面积 .5. 求幂级数的收敛域与和函数.解 设，当时，由于,当时，原幂级数绝对收敛，当时，为条件收敛，当时，为条件收敛，当时，原幂级数发散， ，.6. 计算曲线积分，其中是从沿着曲线到点的一段.解 记,则，于是，曲线，即，由Green公式原曲线积分 .二证明：不存在.证明 由于区间，长度为，而存在整数；同理存在，假若存在，则有，由于，从而，这是矛盾的，所以不存在.3 设函数，满足，任意其中,为正常数.证明 （1）当时，恒为常数；（2） 当,存在唯一的，使得.证明 （1）当时，由，知，于是恒为常数；（2） 显然连续，又，存在，使得，下证唯一性.设，也满足，则,由于，所以，故存在唯一的，使得.4 设是区间上的有界函数，证明在区间上一致连续的充分必要条件是对任给的，总存在正数，使得当，且时，就有.证明 充分性 用反证法.假若在区间上不一致连续，则存在，存在，使得，但，即有，由假设条件，对，只需要充分大，就有，矛盾所以在区间上一致连续；必要性 设在区间上一致连续，用反证法若结论不成立，则存在，对任意正整数，存在，使得，但.即有，这与一致连续矛盾.注：对函数，或者，显然在上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的，不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.5 设是连续映射，若对中任何有界闭集，均是有界的，证明是闭集.证明 设是的任意一个极限点，则存在，使得，而集合，作为中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一）其原像是有界的，现因，所以是有界的，由Weierstrass聚点定理，存在子列及，使得，由得连续性，所以，故是闭集.6 证明二元函数在点处连续，存在但在点处不可微.证明（1）显然，所以在点处连续，由，知， ，当时，不存在极限，所以在处不可微.7