渐变折射率平板波导中 WKB方法(thesis-wkb).doc

渐变折射率平板波导中的WKB方法江西师范大学本科毕业生论文题目：渐变折射率平板波导中WKB方法Title: The WKB method in the Graded-Index optical waveguide姓 名 王贤平 学 院 理电学院 专 业 物理学（师范） 学 号 0307020046 完 成 时 间 2007.3.30 指 导 老 师 桑明煌（副教授）目 录 摘要、关键词1 Abstract、Keywords2 1.引言3 2 导波中WKB近似解3 3.一级近似解的适用条件5 4.转折点附近的近似解和连接条件6 5.光线近似法8 6.精确的分析矩阵方法10 7.数值分析和比较128.讨论 139.结论13 参考文献 13渐变折射率平板波导中的WKB方法摘要 WKB近似方法是量子力学中有效的近似方法之一。它适用于单变量方程。由于薛定谔方程与标量波动方程极为相似：介电常数分布相当于量子力学中的势函数，电磁场分量与波函数相对应。因此，可以把WKB方法直接用到非均匀波导中。只要把波函数按（，是普朗克常数）的幂级数展开，改为电磁场分量按的幂级数展开即可16。本文分析了渐变折射率平板波导中的WKB方法、光线近似法、精确的分析矩阵法三种的优、缺点。并提出从WKB法到光线近似法的过渡关系和电磁场分量按的幂级数展开的物理意义。认为WKB法是一种行之有效的方法。关键词 渐变折射率 平板波导 WKB方法 光线近似法 分析转移矩阵法 The WKB method in the Graded-Index optical waveguideAbstract The WKB approximate method is one of effective approximate methods in the quantum mechanics . It is suitable for the single variable equation.Because Schrdinger equation and scalar wave equation extremely similar：The distribution of dielectric constant is equal the potential function in the quantum mechanics, the component of electromagnetic field is similar to the wave mode correspondence. Therefore, the WKB method is useful in the non- even wave guide. So long as presses the wave (，,is planch constant) the power series launch, change the electromagnetic field component to launch according to the 1/k0 power series then. This article analyzed changed gradually in the refractive index plate waveguide WKB method, The light approximate method, the precise analysis matrix approximate method are superior, the shortcoming. And proposed from the WKB method to the light approximate method transition relations and the electromagnetic field component the physics significance which launches according to the 1/k0 power series. Thought the WKB method is one effective method.Keywords Graded-Index plate waveguide WKB method light approximate method analysis matrix method1.引言近几十年来，以导波光学为理论为基础的光纤技术、平面型光波导技术、集成光电回路及集成光电技术获得了迅速的发展。人类从20世纪向21世纪过渡的同时，也正在实现从电子学时代向光子时代的飞跃。从光线光学的观点看，在这种由一个高折射率的平板夹在两个或多个低折射率的平板之间组成的波导中，光束在分界面上反复地作内部全反射而传播。但随着分界面不规则程度的增加，光线在界面上的每次反射都将引起散射，从而使波导的传输损耗急剧增加。这种存在于阶梯状折射率分布波导的缺陷，它严格地限制了低损耗波导的制作容差。基于以上缺陷的考虑，一种有效的方法是使这种阶梯状折射率分布波导改变为渐变折射率波导，在这种渐变折射率波导中，传播的光线不再是锯齿形的，而将变为连续的“弧形光线”，从而避免了因界面不规则引起的散射损耗。现在，已经有多种成熟的工艺过程，比如扩散、离子交换和离子注入技术，可使介质波导具有渐变折射率分布，这种渐变折射率分布波导也叫非均匀波导。利用光的电磁理论严格求解渐变折射率波导是非常困难的，到目前为止，除了几种折射率分布，如平方律分布、线性分布、指数分布和爱因斯坦分布，具有严格的精确解之外，其它的都是采用近似方法。数值法可得到精度极高的结果，但无法导出解析公式，看不清问题的物理意义。而光线近似法和WKB近似法具有物理图象清晰、分析简单的特点。但WKB近似法比光线近似法的精度更高。2 .导波中WKB近似解考虑标量波动方程7 (2.1)式中，是TE波的任一电磁场分量，是光在真空中的传播常数。是光在介质中的传播常数。代试探解为 (2.2)S（x）为复函数，代入式(2.1)，得到满足的方程 (2.3) (2.4)显然，当时，上式趋于 (2.5)式中，令称为有效折射率，这是一常数。所以上式化为 (2.6)其形式与经典力学中Jacobi-Hamilton方程相同，S相应于经典力学中的作用量。把S(x)按的幂级数作渐近展开： (2.7)将式（2.7）代入（2.3）式，得 (2.8)比较同幂次项，依次得 (2.9) (2.10) (2.11)式(2.9)与式(2.6)形式相同。从式(2.9)可求出零级近似解 (2.12)令则式(2.12)可化为 (2.13)将式(2.12)代入式(2.10)得 (2.14)式中C为积分常数。以下分两种情况给出标量方程的准确到一级近似下的解： (2.15) (2.16)式中， ，为一角度。满足导波物理性质的解由式(2.15)和式(2.16)的适当组合给出。在区域，导波场具有振荡行为，而在区域，导波场是衰减的。转折点由条件 (2.17)确定。3.一级近似解的适用条件 由式(2.8)可以看出，一级近似解(2.15)与(2.16)成立的条件为 (3.1) (3.2)利用式(2.13)与(2.14)，式(3.1)化为，式(3.2)化为。概括起来可表示为 (3.3)式(3.3)也表示为 (3.4)(a)一级近似解成立的条件要求，折射率的变化比较缓慢。(b)显然，在转折点（）附近，近似条件(3.4)不成立，因而一级近似解(2.15)和(2.16)不适用。要求这区域标量方程的解需用另法求之。4.转折点附近的近似解和连接条件现在来求在转折点邻域的标量方程的严格解。设在转折点的邻域的变化比较缓慢(图1)，因此可作Taylor展开，只保留一次项 (4.1)其中， 所以在邻域，标量方程可表示为 (4.2)引入无量纲变量 (4.3)则 (4.4)在区域内(即或),令 (4.5)则式(4.4)化为 (4.6)此乃1/3阶Bessel方程。它的一般解可表示为和的线性叠加。在区域内(即或)，式(4.4)化为 (4.7)令 (4.8)则 (4.9)这是虚宗量Bessel方程，其一般解为和的线性叠加，但是只能取因，是发散的，利用 (4.10)式(4.9)的解可表示为 (4.11)应当提出，不仅在区域内作了限制，考虑到点的函数及其导数的连续性，它将对区域的函数也有所限制。为此要利用数学公式 (4.12)上式右边是左侧函数在区域中的解析延拓。下面讨论式(4.12)两边的渐近行为，利用式(4.10)，当时， (4.13)利用时， (4.14)可得 (4.15)所以，当时，式(4.12)右边化为 (4.16)因此，用渐近行为来表示时，式(4.12)就化为下列连接公式： (4.17)这是讨论WKB函数连接公式的基本数学公式。5.光线近似法112 考虑如图1所示的非均匀平板波导，它的折射分布由下式给出： (5.1)式中，和分别是波导覆盖层和衬底的折射率；为波导表面的折射率，为折射变化函数，它的取值范围为，为扩散深度。如图1所示，在处取最大值，而在的区域从逐渐递减，直到等于衬底折射率。在这种非对称渐变折射率波导中，如图2所示，光线在界面上发生全反射，而在转折点处发生弯曲，光线按弧形光路沿方向传播。若把弧形光线分成若个线段，与各个线段对应的横向坐标和间隔分别记作和，当很小时，其范围内的折射率可近似为。于是，光线上任意一点的波矢量可表示为： (5.2) (5.3) (5.4)式中，是第i个小区域的波矢量与x的夹角，和分别是波矢量x的分量和z分量，如图3所示。传播常数是与x无关的常量。另外，由于波矢量在转折点处没有x分量，所以有 (5.5)有效折射率 (5.6) 为了建立渐变折射率波导的模式本征方程，采用类似阶梯形折射率平板波导的方法。观察光波的横向运动所经历的位相变化，光线横越间隔所经历的相移 (5.7)欲求光线从波导表面行进到转折点处的相移，可令，并对式(5.7)求和，于是有： (5.8) 此外，还应考虑在界面处的全反射相移和转折点的弯曲相移。容易知道，半全反射相移 (5.9)式中，；。为了分析弯曲相移，把坐标原点选在光线的转折点（如图4所示），并且画出和两直线。当很小时，和区域可近似看成是折射率分别为和两个均匀介质区域，从而可把弯曲的光线看作是界面上发生全反射。对于TE波，半全反射相移 (5.10)式中，和分别近似为 (5.11) (5.12)由于转折点为，于是得到 (5.13)将式(5.11)、(5.12)和代入式(5.13)，并取，从而可得 (5.14)同样，对于TM波，也有 (5.15)以上证明了光线在非均匀介质中发生弯曲时，转折点的全反射相移为。由以上分析可知，非对称渐变折射率波导的模式本征方程可写为 (5.16)式中 (5.17)6.精确的分析矩阵方法1考虑如图5所示的渐变折射率平波导，折射率分布由下式确定： (6.1)为了用转移矩阵求解，首先在远离转折点的处截断，在处假设场足够小，在处假设有。然后将区域和分别分割为和等份，每层的厚度均为，即有和。对于TE波，相应每一小层的转移矩阵分别为 (6.2)和 (6.3)式中 (6.4)由转移矩阵理论可得矩阵方程： (6.5)容易知道，在和区域是指数衰减场，即有 (6.6)式中 (6.7)利用式(6.6)，方程(6.5)可写成 (6.8)经过简单的代数运算，方程(6.8)变成 (6.9)式中 (6.10)而 (6.11)由式(6.9) (6.11)的推导，可知转折点外的场可用一衰减系数为的指数场等效，即有 (6.12)对的区域，采用多层波导的推导方法，可得到方程 (6.13)式中 (6.14) (6.15)而 (6.16)显然，当时，式(6.13)转变为相位积分的简单形式 (6.17)7.数值分析和比较为检验WKB方法的可靠性，考虑以下一种典型的折射率分布：指数分布： (7.1)定义归一化参数 (7.2)并选取和作为变化的参数。由WKB方法得到的b值与精确计算、转移矩阵法的比较由表1给出。表1. 指数分布2v精确值WKB转移矩阵bb*10-3b*10-3 1.50.0350070.03783381.00.0352306.42.00.1049540.10861334.90.1053533.82.50.1714420.17531123.20.1717862.03.00.2291880.23307616.80.2293940.93.50.2786500.28248613.70.2786780.14.00.3211790.32492711.80.3209860.65.00.3902920.3938459.10.3898221.26.00.4440750.4474367.60.4434531.47.00.4872440.4904296.60.4864541.68.00.5227760.5258035.80.5218951.7从表中可以看出，转移矩阵法较WKB法精确些，但计算复杂。WKB在精度不高的要求下，是适用的。8.讨论(a) WKB方法中场函数按的幂级数展开，因为是光在真空中的波数，按照光量子理论有5，所以高阶项的忽略在物理上的意义与量子力学中WKB准经典意义一致，所不同的是忽略项中多了这一项。(b) 解方程（2.6）可得WKB中的零级近似解式(2.12)一样的解，再将解积分可得光线从波导表面行进到转折点处的相移为这与光线近似解所得结果一