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文档简介

常微分方程（组）Cauchy问题竞争排斥原理问题的提出考虑在同一个小生态环境中，生存着两种在习性、食物和生活繁殖方式相似的生物，是这两种生物在该生态环境中最大可能的存活个数，分别是两种生物在时刻的数量，那么这两种生物在该生态环境中构成了一个系统，该系统满足下面的数学模型：（）其中是生物占据生物的位置的数量，是生物占据生物的位置的数量，且有，这样模型（）成为（）系统的平衡状态该系统的平衡状态是下面方程组的根:（）解得如下；，当时，系统的平衡状态还有。系统的一次近似系统的Jacobian矩阵是 （）利用函数的Taylor展式（）其中，可得到在点附近的一次近似系统为：（）b、在点附近，令，则一次近似系统为：（）c、在点附近，令，则一次近似系统为：（）d、在点附近，令，、则一次近似系统为：（）模型（）（）是线性微分方程组，是对系统（）做近似描述（取一次项）的线性系统。非线性系统与其一次近似线性系统在平衡状态渐近性质方面的关系设是非线性系统（1）的孤立平衡点（状态），系统（）是非线性系统（1）在处的一次近似线性系统，其中，则）当时，是非线性系统（1）局部渐近稳定的平衡点（状态）（Locally Asymptotical Stable Equilibrium State）；）当存在时，是非线性系统（1）局部不稳定的平衡点（状态）。在这里，局部的含意是指存在的邻域，对属于该邻域内的任何初始非平衡状态，都有（1）非线性系统（）平衡状态的渐近性质及其初步的实验与分析）由于在点附近非线性系统（）的一次近似系统由模型（）给出，其中，根据前面的结论，平衡点是非线性系统（）的不稳定的平衡点，这一事实可由下面的实验结果明显地看出：% k1 = 1, k2 = 1, a1 = 0.1, a2 = 0.1,N1 = 100, N2 = 150ODEfun201.m:ODESolve201.m:图1% k1 = 1, k2 = 1.5, a1 = 0.1, a2 = 0.1,N1 = 100, N2 = 150ODESolve202.m:图2ODESolve203.m:图3图4b、在点附近，令，则一次近似系统为： （1）当时，是局部渐近稳定的平衡点，当时，是不稳定的平衡点：ODESolve204.m:的情形图5、的情形图6c、在点附近，令，则一次近似系统为： （1）当时，是局部渐近稳定的平衡点，当时，是不稳定的平衡点。d、 当时，在点附近，令，、则一次近似系统为： （1）根据问题的实际意义，平衡点应位于平面的第一象限（不包含原点），即同号，容易验证，二阶线性系统（）的平衡点是渐近
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