正交各向异性夹层板基本抗弯方程.doc

正交各向异性夹层板基本抗弯方程.txt23让我们挥起沉重的铁锤吧！每一下都砸在最稚嫩的部位，当青春逝去，那些部位将生出厚晒太阳的茧，最终成为坚实的石，支撑起我们不再年轻但一定美丽的生命。第31卷 第2期1998年4月哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报Journal of Harbin University of C.E. &ArchitectureVol.31 No.2Apr.1998正交各向异性夹层板基本抗弯方程刘 畅 钟善桐(哈尔滨建筑大学) 苗若愚(长春市市政府) 摘 要 正交各向异性夹层板具有较好的强度、刚度和稳定性,已在一些重要承力结构应用。本文建立的正交各向异性夹层板的基本方程,充分考虑了板层和芯层的正交各向异性,具有较强的应用性、普遍性。关键词 正交各向异性;夹层板;弯曲理论分类号 TU375.20 引言至今在工程中常用的夹层板线性理论,都是在夹层结构问世不久的四五十年代建立起来的1。常见的理论大致可以概括为三种类型2,即Reissner型理论、Hoff型理论和pycakoB-杜庆华型理论。其中Reissner型理论只计及夹心的横向剪切作用,最为简单实用,是工程分析与设计中最常见的理论;Hoff型理论考虑了夹心的横向剪切作用和表层的抗弯能力,在解决刚硬面板的夹层板中,比Reissner型理论更为合理,但这两种理论皆未考虑夹芯的弹性支撑作用,因而在分析夹层时误差较大。pycakoB-杜庆华型理论考虑了夹层抗剪切与弹性支撑作用及面层的抗弯能力,应该说还是比较完善的,但是未涉及正交各向异性夹层板的弯曲问题,考虑到在许多实际的夹层板中,其夹心有不少是各向异性的连续介质和非连续介质,例如蜂窝、波纹等;表层也可由各向异性材料组成,例如钢筋混凝土板等,对于这种结构用各向同性理论来描述,就不符合客观实际了,建立正交各向异性夹层板理论,解决工程实际当中的复合板材问题是很有必要的。1 基本假定两层平面刚度较大、厚度较小的正交各向异性表层和一层材料较硬、厚度较大的正交各向异性夹心所组成的三层板见图1。本文理论的基本假定与pycakoB-杜庆华型理论相同3,4,即:(1)平截面假定;(2)表层为单层薄板;(3)夹心中有cx=cy=cxy=0;(4)忽略反对称变形与对称变形之间的耦合作用,反对称变形形式见图2。本文只建立反对称变收稿日期:1997-10-08刘 畅 女 博士生/哈尔滨建筑大学建筑工程学院(150008)吉林省教委基金项目形的基本方程。图1 三层板 图2 反对称变形形式2 反对称变形的方程2.1 位移令x,y代表上、下表层中面上对应点的连线在变形后的转角,分别在xz和yz平面中,变形后的直线段一般不再垂直于中面。2.1.1 表层根据第一个假设,上下表层中各点的位移u,v,w可用表层中面的挠度w和平行于x、y轴的位移 12(h+t)x, 12(h+t)y来确定,即:u= 12(h+t)x-(z h+t2) w xv= 12(h+t)y-(z h+t2) w y w=w(1)2.1.2 夹心根据式(1),在表层与夹心的连接面(z=h2)上,各点的位移为: 12(h+t)xt2 w x; 12(h+t)yt2 w x;w又z=h2时,wc=w;z=0时,wc=w0,这里w0是夹心中面的挠度,则wc=w-(1-4z2h2)w,其中w=w-w0。于是,夹心中的位移可写作:uc=-z(h+thx-th w x)vc=-z(h+thy-th w y)wc=w-(1-4z22)w(2)21第2期刘 畅等:正交各向异性夹层板基本抗弯方程2.2 应力2.2.1 表层x=Mx(h+t)t6t3(z-h+t2)Mxy=My(h+t)t6t3(z-h+t2)Myxy=Mxy(h+t)t6t3(z-h+t2)Mxy(3)表层应力分量x,y,xy是坐标z的线性函数,其中Mx,My,Mxy表示沿表层厚度均匀分布的弯矩(整体弯矩);Mx,My,Mxy表示沿表层厚度不均匀分布的弯矩(局部弯矩)5。2.2.2 夹心因为cx=cy=cxy=0,则剪应力cxy,cyz与坐标z无关,即:xy=Qcxh,yz=Qcyh,cz=z2zh(4)其中Qcx,Qcy为夹心中横向剪力,z=+z-z2。以下推导表层中的剪力Qx,Qy,表层的平衡方程: xy x+ xy y+ xy z=0 xy x+ y y+ yz z=0将此方程两边乘zh+t2,然后对z积分,并注意到在z=h2处,xz=cxz,yz,cyz;在z=(h2+t)处,xz=yz=0,并将式(3)代入后,算出积分得:Qx=t2hQcx+12( Mx x+ Mxy y)Qy=t2hQcy+12( My x+ My y)(5)2.3 应力-应变关系2.3.1 表层Mx=-D1( x x+f2 y y)My=-D2( y y+f1 x x)Mxy=-Dk( x y+ y x)(6)22哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报第31卷Mx=-2Df1( 2w x2+f2 2w y2)My=-2Df2( 2w y2+f1 2w x2) Mxy=-4Dfk 2w x y (7)其中: D1=Ef1(h+t)2t2(1-f1f2),D2=Ef2(h+t)2t2(1-f1f2),Dk=G(h+t)22t, Df1=Ef1t312(1-f1f2),Df2=Ef2t312(1-f1f2),Dfk=Gt312。2.3.2 夹心在夹心中有:cxz= uc z+ wc x=h+th( w x-x)-(1-4z2h2) w xcyz= vc z+ wc y=h+th( w y-y)-(1-4z2h2) w y cz= wC z=8zh2w(8)又 Qcx=h2-h2cxzGcdz Qcy=h2-h2cyzGcdzz=czh2则 Qcx=Gc1(h+t)( w x-x)-2h3 w xQcy=Gc2(h+t)( w y-y)-2h3 w y z=4Echw(9)2.3.3 夹层板总剪力和总力矩总剪力:Qx=Qcx+Q+x+Q-xQy=Qcy+Q+y+Q-y(10)将式(5)代入式(10),则:Qx=h+thQcx+ Mx x+ Mxy y,Qy=h+thQcy+ My y+ Mxy x将式(7)和式(9)代入上式,得:23第2期刘 畅等:正交各向异性夹层板基本抗弯方程Qx=C1 w x-x-2h3(h+t) w x-2Df1 3w x3-(2Df1f2+4Dfk) 3w x y2Qy=C2 w y-y-2h3(h+t) w y-2Df2 3w y3-(2Df2f1+4Dfk) 3w x2 y(11)其中 C1=Gc1(h+t)2h,C2=Gc2(h+t)2h总力矩Mx=Mx+Mx;My=My+My;Mxy=Mxy+Mxy(12)将式(6)和式(7)代入式(12),得:Mx=-D1( x x+f2 y y)-2Df1( 2w x2+f2 2w y2)My=-D2( y y+f1 x x)-2Df2( 2w y2+f1 2w x2) Mxy=-Dk( x y+ y x)-4Dfk 2w x y(13)2.4 平衡微分方程对应反对称变形问题中的四个广义位移x,y,w,w,将有四个平衡方程: Mx x+ Mxy y-Qx=0 Mxy x+ My y-Qy=0 Qx x+ Qy y+Nx 2w x2+2Nxy 2w x y+Ny 2w y2+q=0 Qcx x+ Qcy y+2z=0(14) 将式(9),式(11),式(13)代入式(14),则可得以广义位移表示的平衡方程组:D1 2x x2+Dk 2x y2+(D1f2+Dk) 2y x y+C1 w x-x-2h3(h+t) w x=0(D2f1+Dk) 2x x y+Dk 2y x2+Dk 2y y2+C2 w y-y-2h3(h+t) w y=0 -C1 x x-C2 y y+C1 2w x2+C2 2w y2-2Df1 4w x4-2Df2 4w y4 -2h3(h+t)(C1 2w x2+C2 2w y2)-(2Df1f2+2Df2f1+8Dfk) 4w x2 y2 +Nx 2w x2+2Nxy 2W x y+Ny 2w y2+q=0(15)24哈 尔 滨 建 筑 大 学 学 报第31卷(h+t)(Gc1 2w x2+Gc2 2w y2-Gc1 x x-Gc2 y y)-23h(Gc1 2w x2+Gc2 2w y2)+8Ecwh=03 小结本文充分考虑了夹层板的表层和夹心材料的正交各向异性,在工程应用中很有普遍性,而且对于一般工程实际问题,利用上述基本方程可得到一定精度的解。不足的是求解析解相当困难,可利用差分法求数值解。参 考 文 献1 赵渠森.复合材料.北京:国防工业出版社,19792 中科院力学所.夹层板壳的弯曲稳定和振动.北京:科学出版社,19773 蔡四维.复合材料结构力学.北京:人民交通出版社,19874 程华等.复合材料夹层板弯曲修正的Reissner理论.复合材料学报,1990(4):17215 徐芝纶.弹性力学.北京:高等教育出版社,1988The Basic Bending Equations of OrthotropicSandwich PlateLiu Chang Zhong Shantong Miao RuoyuAbstract The orthotropic sandwich plate has larger strength,rigidity and stabil-ity.It has been adopted in some loading structures.In this paper the basic equations ofthis plate have