关于整除的证明及判别法.doc

学院学 术 论 文题 目: 学号： 学校： 专业： 班级： 姓名： 指导老师： 时间： 【摘 要】 文中给出了整除的相关定理及其证明，以及一个整数可以被零一个整数整除的判别法。【关键字】 整除 素数 带余除法 Abstract: the paper gives division, and related theorem and an integer can be divided exactly by an integer zero method.Key words: division division transformation primes 一 整除的证明 定义 设a b是任意两个整数，其中，如果存在一个整数q使得等式 （1）成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作，此时我们把b叫做a的因数，把a叫作b的倍数。 由整除的定义，不难得出整数的如下性质：（1） 若，,则。（2） 若 ，则，其中，=1，2， ,n。（3） 若，则。反之，亦成立。（4） 若，则。因此，若，又，则。（5） a b互质，若，则。（6）为质数，若，则必能整除，中的某一个。特别地，若为质数，|，则|.(7) 如在等式中除开某一项外，其余各项都是c的倍数，则这一项也是c的倍数。（8） n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。例1：求一对整数，满足：（1）不能被7整除：（2）能被整除。 （第25届IMO试题）解 = =。根据题设要求（1）（2）知，即。令，即，即。则。故可令即合要求。 定理1 （带余数除法）1 若a,b是两个整数，其中b0，则存在着两个整数q及r，使得 ， （1）成立，而且q及r是唯一的。证 作整数序列 , -3b , -2b , -b , 0 ,b , 2b , 3b , 则a必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q使得 成立。令，则，而。 下面我们证明的唯一性：设，是满足（2）的两个整数，则 ，因而 ，于是 ，故 。由于及都是小于的正数，所以上式右边是小于的。如果，则上式左边。这是不可能的。因此而。 证完 例2： 设和均为自然数，使得 。 证明：可被1979整除。 （第21届IMO试题）证 -2 =- =+ = 两端同乘以 得=。此式说明。由于为质数，且不整除，故。 证完 【评述】把换成形如的质数，换成。命题仍成立。牛顿二项式定理和（n为偶数），（n为奇数）在整除问题中经常用到。例3： 对于整数n与k，定义，求证：可整除。 （1996加拿大数学竞赛试题） 证 当时，。 = = 由于能被整除，所以能被整除，另一方面，上式中能被整除，所以也能被m整除，因与互质，所以能被整除。类似可证当时，能被整除，故能被整除。 二 整除的判别法定理3 2 设、（素数）为正整数，若 （1） （2）可以被整除：则可以被整除的充要条件是：可以被整除。证 若可以被整除，记=，则+代人 得：=+=由条件（2）可知：可以被整除。 若可以被整除，记=，则，代入得= -,由条件（2）易知可以被整除。 证完 要判断一个正整数可以被素数、整除，由上述令=（、满足条件（1）与（2）；再由条件（2）有，则只要取最小的，使。重复运用上命题即可。因此，判断一个整数是否能被素数 、整除，可用如下差别法：1. 先取最小的，使它与的个位数之积的个位为1，再求出或取 等于 去掉个位1的数。2. 将数的个位数和十位数以上的数分开成两部分；从十位数以上的数中减去个位数乘以的积。3. 重复上述运算，直至出现结果是0或一个易判别是否可以被整除的数为止。4. 若最后得出结果是0或是可以被整除的数，则也可以被整除；否则不能被整除。例4： 判别16508388能否被13整除。 解 因为37=21，且137=91，故取C=9。 最后得一个数是-13，易知-13可以被13整除，所以16508388能被13整除。三 小结整除是数论中的基本概念，其在中，小学的学科中占据着重要地位，尤其是往年的数学竞赛中，难度很大，但相关的知识点却是易被接受！在这方面，需要多拓展相关的知识面！例如，我们在证明整除时也可以借助带余数除法来进行，即求得其余数为0，类似的问题还有很多，但有一点就是学会灵活运用！参考文献1 闵嗣鹤,严士健初等数论(第三版) M1 北京:高等教育出版社,20031.2 刘长安离散数学教程 M 西北：西北工业大学出版社，2007 .3 段瑞卿整除的一个简单判别法J 成都教育学报，2003，(06). References1 YanShiJian elementary theory, MinSiHe (third edition) M. Beijing: higher education from JanuaryVersion of the club, 20031.2 LiuChangAn, discrete mathematics course northwest: M. Cambridge university press,