随机过程衍生产品的定价偏微分方程 (PDE）.ppt

第十章衍生产品的定价 偏微分方程 PDE 第一节无风险组合与偏微分方程 第二节衍生产品期权的定价 第一节无风险组合与偏微分方程 一 无风险组合 衍生产品是以其它证券为基础签订的合同 此合同有一定的期限 用T来表示到期日 则衍生工具的价格只取决于基础证券的价值和时间T 即有 即在到期日 能确切的知道函数的形式 首页 如果知道基础证券的价值的运动规律 那么我们就可以用Ito定理来确定衍生产品的价格的变化 这意味和都与基础证券的不确定性 即扰动项有关 则这就使得在连续时间下构造无风险组合成为可能 其中分别是购买的衍生工具和基础证券的数量 其代表组合的权重 当其为常数时 则有 具体方法 首页 假定基础资产遵循随机方程模型 用Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程 首先 由市场参与者来决定组合的权重 再连同和一起代入 则有 若取 上式没有扰动项 完全可预见 在任意时刻都是一个确定的增量 这也就意味着组合无风险 表明 首页 由于无风险 为了避免套利 在相同的时间间隔里 增量一定等于无风险投资的收益 假定无风险收益为常数r 则 以不支付红利的情况为例 则 当不支付红利时 预期的资本收益一定等于 当每单位时间支付红利时 预期的资本收益一定等于 即 又 故 偏微分方程 首页 由于以S作为基础产品的衍生产品有许多种 因而该方程就有许多不同解 要想解出某种特定的衍生产品 必须用到其边界条件 即一旦给出S和t的边界值 则衍生产品的价值也就随之确定 边界条件 衍生产品的到期日是T 基础证券的价格与衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明确确定的 即在到期日衍生产品的价格可由下式给出 又因为 则称此式为偏微分方程的边界条件 首页 如 欧式看涨期权 若执行价格为K 则边界条件为 即表示 若到期时股票价格低于执行价格 即 则此看涨期权就不被执行 期权就是无价值的 否则期权价值等于股票价格与执行价格之差 当时 同样 对欧式看跌期权 则边界条件为 当时 首页 二 偏微分方程的一般形式 形如 边界条件为 即为衍生产品的偏微分方程的一般形式 说明1 为得出衍生工具的无套利价格 需构造无风险组合 由此方法导出偏微分方程 另外 边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的影响 其中 一般变量为S G 是一个已知函数 首页 说明2 这种方法的核心即解一个偏微分方程 即求函数 对其求不同的偏导数 代入方程使其成立 同样 当 函数F一定等于已知函数G 必需满足的边界条件 在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约束条款 从现有的金融产品和问题来看 边界条件是变化的 最明显的边界价值是衍生合同最初和最终的价值 通常 由金融理论得出一些衍生合同的价格是基础证券到期日价值的函数 它可作为必须满足的边界条件 首页 三 二阶偏微分方程的类型 对二阶偏微分方程 若 则称其为椭圆型偏微分方程 若 则称其为抛物线型偏微分方程 若 则称其为双曲线型偏微分方程 首页 例 衍生产品的偏微分方程 由于 满足 因此它是抛物线型的偏微分方程 返回 首页 第二节衍生产品期权的定价 补充内容 若假设基础资产为股票 即股票的价格变化遵循微分方程 此式即为著名的 则在第一节推出的偏微分方程 将变成 布莱克 斯科尔斯方程 一 布莱克 斯科尔斯方程 首页 例1 设有某种不支付股息的股票的远期合约 其价值F与股票S的关系为 则价值F满足布莱克 斯科尔斯方程 解 K为交割价格 因为 则有 即满足布莱克 斯科尔斯方程 首页 函数即为布莱克 斯科尔斯方程的解 说明 因此 可用偏微分方程来求出衍生产品的价格 二 定价公式 在风险中立化条件下 欧式看涨期权的期望价值为 布莱克 斯科尔斯微分方程 解决了欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价问题 其中表示远期合约到期时间T时的股票价格 K表示交割价格 首页 根据风险中立化原理 欧式看涨期权的价格c就是将此期望值按无风险利率进行贴现后的值 即 又在风险中立化条件下 的概率分布满足 利用期望的积分定义 可估算出c的值为 其中 首页 表示变量的期望值 表示期权被执行的概率 N X 是均值为0 标准差为1的累积正态分布函数 注 价格c的公式可改写为 其中 表示期权协定价格与协定价格将会被执行的概率的积 为 为0 当 首页 同样 欧式看跌期权的价格公式为 说明 当股票价格S变得非常大 和都会随之增大 和都趋于1 则欧式看涨期权的价值 当股票价格S变得非常大 和都趋于0 则看跌期权的价值0 首页 三 累积正态分布函数 利用定价公式 需要计算累积正态分布函数 下面给出多项式的近似计算方法 其中 首页 按此公式可以求出累积正态分布函数的值 并且通常可以精确到小数点四位数 其误差也总是在0 0002的范围之内 例2 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月 此时股票价格为42美元 股票期权的协定价格是40美元 无风险利率是10 每年的易变性是20 求欧式看涨期权和看跌期权的价值 解 由于 因此 首页 故欧式看涨期权的价值为 欧式看跌期权的价值为 首页 利用多项式近似计算法 求得 因此 表示 对看涨期权的购买者而言 股票价格必须上涨2 76美元才能达到盈亏平衡 对看跌期权的购买者而言 股票价格必须下跌2 81美元才能形成盈亏平衡 返回 首页 第六章鞅和鞅表示 第一节离散鞅 第二节连续时间鞅 第三节鞅轨迹的特征 第四节鞅举例 第五节鞅表示 第一节离散鞅 一 离散鞅的定义及性质 定义1 1 2 离散鞅序列 简称为鞅 首页 注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中 他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本的条件下 第n 1年的平均赌本 而鞅 则表示这种赌博使第n 1年的平均赌本仍为第n年的赌本 这种赌博称为公平赌博 首页 定义2 1 2 简称为鞅 3 首页 定理1 充分性显然 证 必要性用归纳法来证 由假设知 1 则有 首页 性质1 常数序列为鞅 证 性质2 即 证 依次递推 可得 首页 例1 令 且对任意有 证 由条件期望的性质可得 且 所以 首页 例2 令 证 1 2 所以 首页 定义3 1 2 简称为上鞅 3 二 上 下鞅的定义及性质 类似 下鞅 首页 关于上 下鞅的的直观解释 上鞅表示第n 1年的平均赌本不多于第n年的赌本 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博 下鞅表示第n 1年的平均赌本不少于第n年的赌本 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博 性质3 为鞅的充分必要条件是 既为上鞅也为下鞅 性质4 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅 首页 性质5 上鞅 下鞅 证明 同定理1类似 用数学归纳法 首页 性质6 上鞅 下鞅 证 由性质5得 上鞅 首页 上鞅 性质7 上鞅 下鞅 下鞅 证 上鞅 首页 上鞅 性质8 上鞅下鞅 证 下鞅 下鞅上鞅 由性质4及性质7立即可得结果 首页 性质9 鞅 下鞅 证明 例3 设 是在直线上整数点上的贝努利随机游动 即它是一个以为状态空间的时齐的马尔可夫链 它的转移矩阵满足 首页 其中 则 1 2 3 首页 证 设 其中 所以 故 下鞅 0 0 0 上鞅 鞅 首页 三 停时 定义5 也即 简称为停时 首页 停时的直观背景解释 设想赌徒在前n 1次