3.3.4两条平行直线间的距离

疱丁巧解牛知识巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1C2),则这两条平行直线间的距离为d=.2.公式的得出：已知两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1C2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的形式.在l1上任取一点P(0，)，点P到l2的距离经化简为d=，发现这个距离只与x、y的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式. 即：一般地，已知两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1C2).设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0+By0+C2=0，即Ax0+By0=-C2.于是，点P(x0，y0)到直线l1：Ax+By+C1=0的距离d=就是两平行直线l1与l2之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，那么两平行线间的距离d=.误区警示 两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式d=，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线方程化为一般形式之外，还要使x、y的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题探究问题1 对于一个三角形ABC，如果已知点A(0,)、B(,0)，点C在已知直线l：3x+4y+3=0上滑动，那么三角形ABC的面积是否随着点C的变化而变化呢？探究:由A、B两点的坐标可以得出三角形ABC中边AB所在直线的方程为3x+4y-2=0，显然与直线3x+4y+3=0平行.而三角形ABC的面积等于AB线段长与AB边上的高的乘积的一半.而|AB|=，AB边上的高即为C点到直线AB的距离，而C在直线3x+4y+3=0上滑动，所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论C点如何变化，高恒为定值h=，所以SABC=|AB|d=.所以三角形ABC的面积不随点C的变化而变化.问题2 什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1C2),距离为d=.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x、y的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题热题例1 与两平行直线l1:3x-4y-5=0和l2:3x-4y+7=0距离之比为12的直线方程为( )A.3x-4y-1=0或3x-4y+19=0 B.3x-4y+3=0或3x-4y-1=0C.3x-4y-1=0或3x-4y-17=0 D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在l1、l2的内侧，另一条在l1、l2所夹带形区域的外侧，且靠近l1的部分，3x-4y+19=0在靠近l2的外侧部分，不合题意，故舍去A、D.又B中两条均在l1、l2的内侧，不成立，故选C. 方法二：(应用平行线间距离公式) 由题意，设所求方程为3x-4y+c=0，由， 即2|c+5|=|c-7|，解得c=-17或c=-1.故选C.答案：C深化升华 从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为Ax+By+.例2 直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求l1、l2的斜率，根据条件l1、l2的距离为5，可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时要考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k. 由斜截式得l1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0. 由点斜式得l2的方程y=k(x-5)，即kx-y-5k=0. 在直线l1上取点A(0，1)，点A到直线l2的距离d=，25k2+10k+1=25k2+25.k=.l1的方程为12x-5y+5=0，l2的方程为12x-5y-60=0. 若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0，l2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：和误区警示 在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x、y对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算.第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3 两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3，-1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两平行线间的距离为d，(1)求d的取值范围；(2)求当d取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出与k之间的函数关系式，不难求出的范围.可由范围发现取最大值时的对应直线方程.解：(1)设两平行线的斜率为k，则两直线方程分别为y-2=k(x-6)，y+1=k(x+3)，即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-1=0. 所以d=.由此得(81-d2)k2-54k+9-d2=0.kR，=542-4(81-d2)(9-d2)0.d4-90d20,得0d.(2)当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=-3，则d=9， 因为dmax=,此时k=.两直线方程为3x+y-16=0,3x+y+