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小学数学教学中渗透数学思想方法的实证研究广西桂林市育才小学 莫玉霜 摘要 数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓。“小学数学思想方法”是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。研究在小学数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系；有利于提高学生的数学素质；有利于对学生进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育；有利于教师以较高的观点分析处理小学教材。本论文从分析教材上研究小学数学教材中数学思想方法的分布情况，研究小学数学中几种常用的数学思想方法及教学策略，例如数学模型、统计思想、符号化思想等；从个案研究的实例证明数学思想方法可以通过教师有目的的渗透从而让学生接受并能自觉运用；从对比班和实验班的不同程度的渗透数学思想方法的教学中证明：有目的、有计划的渗透数学思想方法可以让不同程度的学生从中受益，从而提高数学学习的效率及教学质量。 关键词：数学思想方法 渗透 一、问题的提出1、创新人才培养的需要。当今世界，科技发展突飞猛进，知识经济初见端倪，国际竞争日趋激烈，人的素质的提高和“人才高地”的构筑，越来越成为经济增长和社会发展的决定性因素。素质教育的重要性被凸现出来。数学教学也应实施素质教育，我国全日制义务教育数学课程标准明确指出：义务教育阶段的数学课程致力于学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题；形成勇于探索，勇于创新的科学精神；获得对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，（包括数学知识，数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。创新人才需要高素质的人，高素质的人必须具备优秀的思维品质，而数学是思维的科学，思维能力是数学能力的核心。在数学教学中渗透数学思想方法是培养学生的创新意识最根本的途径。2、数学教学改革的需要。根据有关调查发现，在数学教学中数学思想方法的教学不受重视。相当一部份教师根本没有把数学思想方法纳入教学目标。而加强数学思想方法的教学是进一步提高数学教学质量的需要。从数学教材体系看，整个小学数学教材中贯穿着两条主线，一是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，一贯很受重视，必须切实保证学生学好。另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有直接写进教材，但对小学生的成长却十分重要，也越来越引起人们的重视。在教学中不能只注重数学知识的教学，忽视数学思想方法的教学。两条线应在课堂教学中并进，无形的数学思想将有形的数学知识贯穿始终。重视数学思想方法的教学有利于教师从整体上把握数学教学目的，将数学的本质、知识形成的过程，解决问题的过程展示给学生，教学达到事半功倍。现在教学中存在重知识结论的教学，轻知识发生过程的教学；重知识达标评价，轻数学思想形成的评价；重学生眼前的分数利益，轻学生的长远素质发展等的现状。一些教师对数学思想方法的理解不深透，数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。因此，在小学数学教学中，数学思想方法的教学难以规范有序的实施，成为被人遗忘、冷落的“角落”。数学教学若坚持是“数学知识的教学”则远远不能培养数学的思维能力，而数学思维能力的培养需要数学思想方法的教学与渗透。基于以上现状，数学思想方法的教学在小学数学教学法中有必要进行实践与探索。 二、研究的目的与意义1、有利于提高学生的素质。通过本课题的研究，改变当前只重视数学知识的传授，忽视渗透数学思想方法的教育现状，其根本目标是立足于学生的长远发展，提高教学质量与课堂效益。让学生在知识层面、创造能力层面和思维品质层面全面提高，让学生学到有价值的数学。培养有较强实践能力，创新能力的数学人才，实现人人获得不同的数学，不同的人在数学中得到不同的发展，学生学习的重点将由现在学习知识内容而转向学会学习的方式。数学教学中要把过程教学放在首位，充分揭示知识的发生过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的抽象概括过程。使学生学会正确的思维方法，促使他们数学素质的提高与数学能力的发展，并且有利于深刻理解数学的内容和知识体系，有利于对学生进行美育的渗透和辩证唯物主义的启蒙教育。2、有利于教师以较高的观点分析处理小学教材。通过对本课题的研究，整理现行小学数学教材中的数学思想方法的知识分布情况。教师只有具备了数学思想方法知识，了解它们在教材中是如何渗透的，才能明确教材为会什么要这样编写，才能从整体上，本质上去理解和把握教材，较高的观点分析处理教材。在教学中更自觉、更有序地运用数学思想方法，展开知识的形成过程，科学灵活的设计教学方法，以提高课堂教学效率。3、通过本课题的研究，摸索出小学数学教学中数学思想方法教学的有效途径，构建小学数学思想方法训练序列，通过实践研究，对数学思想方法与素质教育的研究提供借鉴与参考。4、为新课改目标的实现提出重要参考。 三、研究现状分析1、重视数学思想方法教学已成为国际教育改革的一种共同趋势。早在1989年NCTM（全美数学教师协会）发表了中小学数学课程与评估标准在这个文件中论述了数学教育改革的目标是：应当培养出有数学素养的社会成员，并提了作为“有数学素养”标志的五项条件：（1）懂得数学标准；（2）对自己的数学能力有信心；（3）有解决数学课题的能力；（4）学会数学交流；（5）学会数学的思想方法。美国将“学会数学思想方法”作为“有数学素养”的标志，俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三大基本功任务之一。在我国全面实施素质教育的今天，培养创新型人才已达成共识。根据张奠宙教授在数学素质教育设计（草案）中的论述，将数学素质概括为四个方面：知识观念层面，创造能力层面，思维品质层面，科学语言层面。而前三个层面都与数学思想方法有着非常密切的联系。再如山东省曲阜师大的李正银教师的数学创造教育的基本策略中指出，重视数学思想方法教学是创造教育的策略之一，由此看来，重视数学思想教学已成为国际数学教育改革的一种共同趋向。2、小学数学思想方法的教学不受重视，针对性研究欠缺。朱成杰从1989年开始，历经八年，致力于中学数学思想方法及其教学的研究，出版了数学思想方法的研究与导论等有关著作。在初中、高中的数学教学中进行数学思想方法的教学已有深入的研究，并且成果显著。张德勤，发表10余篇关于小学数学教学中渗透数学思想方法的论文。各教育教学参考杂志中时有此类论文刊登。而在小学数学教学中，许多教师属于无意识，无序地在教学中体现一些数学思想方法的渗透，一部分学生只能通过零碎的思想方法训练，通过较长时间的摸索才能体会，这无疑让学生走了弯路。目前，全国中小学也逐渐有一些教师开始着手研究关于数学思想方法与小学数学教育，但如何在教学中有意识有序的进行渗透与教学，目前缺乏全面的探讨与实践。 四、本研究的理论依据。1、 从数学与文化发展关系上看 M克莱因（美）关于数学与文化发展的关系的观点；怀特海（英）曾经这样展望人类思想的未来：在今后的两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新的情况是数学的理解问题占统治地位的观点；华罗庚（中）对数学的广泛应用的观点等都从不同的角度阐述数学思想方法在人类生存与发展中的重要地位。2、从数学学习的角度看我国的数学从算术到代数，从常量数学到变量数学，从“明晰”数学到“模糊”数学，以及从手工证明到机器证明等，上述这些重大转折，首先是数学思想方法的转变。如果说历史上数学思想方法推进了数学科学，那么在数学教学中，就是数学思想方法在传导着数学的精神，在塑造着人的灵魂，在对一代人的数学素质实施着深刻、稳定而持久的影响。它给予学生的不只是数学知识，更重要的在于使学生通过学习数学，受到数学思维与数学思想方法的训练。 随着时代的发展和科学技术的日新月异，数学不仅渗透到各个领域空间，而且已成为人们认识和适应信息社会的一种强有力工具，数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，是智能发展的重要因素，如果学生掌握了一定的数学思想方法，就能更深刻地理解数学，从整体上认识数学，灵活地运用数学。因此，数学思想方法是学生应掌握的重要内容。3、从教学方法考虑孙子兵法云：“授人鱼，供一餐之用；授人渔，则享用不尽”这里的“渔”就是规律，就是方法。在课堂教学中，我们在传授知识，训练能力的同时，还应帮助学生总结规律，让他们掌握方法。众所周知，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。数学思想方法是从数学的各个分支学科中提炼和总结出来的研究方法，是形成数学概念，探讨数学规律，解决数学问题的方法。因此，数学教学不能只满足于知识教学，结论教学，更重要的是数学思想方法的教学。把过程的教学放在主要的位置上，充分展现概念的形成过程，结论的发现过程和解题思路的探索过程，以提高学生发现和发明的能力，经受探索的锻炼和体验发现的喜悦。研究小学数学思想方法，就是对小学数学的知识结构有着本质性的认识，从方法论的角度来研究小学数学中分析问题，思考问题的方法。所以说数学思想方法是数学的精髓，是教学方法论中的一个重要分支。4、从现代儿童发展的心理学的角度看学生在解决问题的过程中，学生的数学思维逐步得到发展，也会逐步体验到一些数学思维策略。在良好的学习情境下，学生面对数学问题时，会产生关于如何去解决这个问题的“假设”和“设想”，然后进行尝试和推理验证。这便是一个“策略创新”的过程。小学生在解决问题的思考过程中，会体会多种重要的思考策略，并逐步体验数学的一些重要的思想，在这一过程中发展数学的思维。学生只有在丰富的活动中才能体验这些思想和策略，逐步建立对数学思想的认识，死记硬背解题方法是不足取的。 五、研究的具体内容及过程 （一）现行小学数学教材中主要数学思想方法的知识分布及其教学策略。 现行的小学数学无论是新教材还是旧教材从教材内容看，小学数学解题常用到数学模型、符号化思想以及统计思想等。这些数学思想方法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。1、 符号化思想。英国著名哲学家、数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。小学教材中大致出现如下几类符号：（1）个体符号：表示数的符号，如：1、2、3、4，0；a,b,c,，以及表示小数、分数、百分数的符号。（2）数的运算符号：+，-，（），（/，:）。（3）关系符号：=，3.27，45.1645.1，学生在方框里填上一个数很容易，但教师要明白，若将方框里填上就变成一元一次不等式。因此，教师应引导学生继续思考：方框内最多可以填几个数？这种思考能是学生初步了解变元思想。在字母表示数中渗透符号化思想。在小学教材中，用字母表示数有表示运算定律，表示数量关系，面积体积公式等。例如：加法交换律a+b=b+a,路程=速度时间用字母表示s=vt，等。教师在教学用字母表示数时要循序渐进，从学生的生活中、原有的认知结构结合起来自然的建构。 2、 数学模型方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可做广义和狭义理解。按广义的理解，凡一切数学概念、数学公式、数学理论体系、方程式和算法系统都可以叫做数学模型。数学模型可以分为三类：概念型数学模型，如实数、函数、集合、向量等。方法型模型，如各种方程、公式等。结构型模型，如群、环、域、向量空间等。数学模型在解题中的基本构造如下： 实际问题 数学抽象 数学模型 还原说明 演算 推理 数学模型的解 由于数学模型的直观性能将概念的本质属性变得明显，学生掌握较容易，因此，在小学数学教学中恰当地渗透数学模型方法，有助于小学生掌握数学知识，增强解题能力，提高数学教学的效果。小学数学教学一般运用的是概念型数学模型和方法型的数学模型。集合模型在教学中的渗透。三角形按角分类可以用下图表示： 三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形学生弄懂集合图的含义后，在今后的学习中会尝试用集合图来表示概念间的联系。如： 平行四边形 长方形 正方形 在应用题的解题中，教师也可以启发学生用集合图来帮助分析题意探寻解题方法。如：工程队计划修一条长250千米公路，第一天修了全长的20%，第二天修了全长的40%，剩下的第三天修完，第三天修了多少千米？ 250千米（“1”） 第一天 第二天 第三天 20% 40% ？从图中可以看出，第三天修的路长是全长250千米的（1-20%-40%） ，此题迎刃而解：250（1-20%-40%）=100（千米）。方程模型在教学中的渗透。列方程解应用题的关键是用数学模型来模拟数量关系，即根据条件用两种不同的方式表示同一量，列出已知数与未知量之间的关系式。在小学中高年级已逐步用方程来解答文字题与应用题。例如：一个工厂原来每天制造机器零件1800个，比现在少10%，现在每天制造机器零件多少个？解：设现在每天制造机器零件个。 现在每天制造 原来每天制造 原来每天制造机 机器零件 比现在少10%， = 器零件1800个 10% 1800于是列出方程：-10%=1800。也就是原来每天制造机器零件1800个相当于现在的（1-10%）。还可列出方程（1-10%）=1800。几何模型在教学中的渗透。解应用题时，若能将难题的数学问题化为与之相关的图形，通过作图来构造几何模型，再根据图形的性质和特点解题，将会使问题的解答简易直观。例如：一台压路机轮宽6米，如果它一分钟行驶200米，照这样计算，一小时它压过路面是多少平方米？ 200米 轮宽6米 从图中可以看出，这题实际就是求60个长200米、宽6米的长方形的面积。620060=32000（平方米）。 公式模型在教学中的渗透。数学公式既是反映客观世界数学关系的符号，又是现实世界抽象出来的数学模型，因为它摒弃了各个事物的个别属性，因此它更具有典型的意义。例如：工作总量=工作效率工作时间，路程=速度时间，总产量=单产量公顷数等。利用这些抽象出来的数学模型可以解决许多相关的题。例题“一件工作，甲单独做要6小时，乙单独做要用4小时，甲做完1/3后，两人合作，还要几小时做完？”解决这道题将工作总量看作单位“1”，甲的工作效率看作1/6，乙的效率看作1/4，根据工作总量=工作效率工作时间这个公式模型，列式得出：（1-1/3）（1/6+1/4）=1.6（小时）。 3、统计思想在教学中的渗透。统计的基本思想是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态，或判断某一论断以多大的概率来保证其正确性，或者算出发生错误判断的概率。统计方法是由“局部到整体”、“由特殊到一般”的科学方法。小学数学中统计思想体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现一些相关的问题，得出一些结论。在教材的编排上，在低中年级让学生领悟略朴素的统计思想后，在中年级学习数据整理的方法上到高年级进一步按数据的大小分组统计的整理方法和复式条形统计图以及折线统计图。除了按课本的安排教学外，教师也可在平时的教学中有机的渗透统计的思想。例如：在课前布置学生收集有关的资料。如亿以内数的读写一课，可让学生收集生活中有关亿以内数的相关数据，通过课前收集、课上的交流与整理不仅学生学会了读写这些数，而且在接受国情教育中体会了统计的思想。在有些课上也可当堂收集资料统计数据，为教学内容服务。如三步应用题一课，课上调查同学们的定报情况，包括人数，单价，数量，报刊的种类等。通过图表等形式，提出问题，围绕着三步应用题的解题思路进行教学。这样的教学，教师有意识的渗透统计思想，学生学到生活中的数学，学习的有效性大大提高。当然，在小学数学中统计思想的渗透只能是初步的，仅仅涉及到整理样本数据的一些最简单的方法。至于总体推测，只是引导学生作些初步的想象和估算，以逐步接受统计思想的熏陶，同时也为今后的进一步学习打下基础。 4、在实际的教学中由于执教者对教材的理解不同，对同一教学内容会用不同的思想方法进行教学。有的教学内容往往通过几种数学思想方法去分析与解答。因此，教师在教学中要充分教材的教育功能，挖掘其隐藏的数学思想方法，在导出结论、寻找方法、揭示规律的过程中，使学生掌握其来龙去脉，培养学生自觉运用数学思想方法的意识。除以上例举的三种思想方法外，化归思想、组合思想、联想思想、极限思想、对应思想、归纳猜想方法、演绎法等在小学数学教学中也时常应用，教师也应注意有意识地在教学中渗透。 （二）个案研究。在我所执教的四年级两个教学班中，共抽取数学素质强、中、弱的学生20名，每周三节课每课40分钟的数学思想方法训练。选择的训练题型为一些数学竞赛题和三、四年级的奥数题以及一些开放题。在教学中突出一种思想方法指导一个阶段的教学，在一个学期的训练中学生能掌握几种常用的数学思想方法，并能自觉的运用各种思想方法进行解题。例： 数学模型方法训练序列 训练内容 数学思想方法训练 例1： 1!=1，2!=12， 3!=123， 那么， （4!+8!5!）=？ 例2： 四年级二班有学生42人，参加美术小组的有38人，参加音乐小组的有24人，两个小组都未参加的有5人，问两个小组都参加的有多少人？ 例1： 甲、乙、丙、丁四个人现在年龄的和是128岁，甲42岁时，乙34岁，甲36岁时，丙的年龄是乙的3倍。丁现在多少岁？ 例2： 一人到就饭店喝酒，共买10瓶啤酒，三个空瓶可以换一瓶啤酒，问他最多可以喝到几瓶酒？ 检测题：（1）198719861986-198619871987检测：（2）请你把1-7这七个自然数,分别填在图中的圆圈内,使每条直线上的三个数之和都相等。一、 数学模型方法的孕育通过观察可以发现，此题表示从1开始若干个连续自然数的乘积。因此，（4!+8!5!）先从1开始的连续4个自然数的乘积与从1开始的8个自然数的积的和，在用其结果除以从1开始的5个自然数的积。列式为：（1234+12345678）（12345）解此题，学生一般按运算顺序计算，花的时间长，计算结果还不一定正确。如果将（1234）用数学模型A表示，运算过程如下：（A+A5678） = A（1+1680） = 1681 =336.2 A5 A5 5此题用集合图帮助分析： 音乐 美术 24人 38人 5人从图可见38+24=62中，两个小组都参加的人重复计算了一次，即在美术与音乐小组各算一次，因此，两个小组都参加的人数就方便求了。（38+24+5）-42=25（人）小结： 学生从认识具体的数到用字母表示数，是学习上的一个飞跃。在此阶段应使学生学会用代数式表示一些数量或一些数量之间的关系。教学中加强将日常语言文字翻译成数字、符号、字母组成的表达式的训练。二、 数学模型方法的初步形成利用数学模型解决问题的一般方法就是数学模型方法。 解：设当甲36岁时，丁岁，则丙3岁，又过y年，他们的年龄之和为128岁。 36+ y + 28+ y + y + 3+ y =128 甲 乙 丁 丙 4（+ y）=64 （+ y）=16丁的年龄 所以，丁现在的年龄是16岁。用图分析： 酒 0空瓶 借一个 0 0 0 空瓶 0 喝完后，还空瓶他最多可以喝15瓶酒。 小结： 在这一阶段中，让学生掌握用数学模型方法解决实际问题的基本步骤：1、 从实际问题中概括出数学模型（方程等）。2、 在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解。3、 将研究数学模型所得到的结论，返回到实际问题中去，求得实际问题的解答。 三、数学模型方法的应用 1987看作A，1986看作B原式=AB（10 +1）-B（10 +1） =AB-AB =0在圈内标上字母,如图: B C F E 设A+B+C=A+C+F=A+D+G=K则(A+B+C)+(A+C+F)+(A+D+G)=3K即3A+B+C+D+E+F+G=3K 2A+(A+B+C+D+E+F+G)=3K 2A+(1+2+3+4+5+6+7)=3K 2A+28=3K 由此可知,A乘2的积加上28应是3的倍数,尝试后可知A为1,4或7。若A为1,K则为10,直线上另两个数的和为9。依次类推。 在序列训练的前、后进行了测试，测试的题量相当，难易程度相当。前测与后测情况对比抽样统计情况如下:前测学生（部分）情况姓名性别 年龄 运用数学思想方法解题情况正确率解题时间谭之谦 男 10岁在解题中偶尔不自觉运用数学思想方法，基础知识掌握好。30% 60分钟刘天和 男 10岁运用推理，算术法解题，基础知识掌握好。40% 60分钟游汉坤 男 10岁运用数学模型方法解题，受过短期无序列的解题训练，基础知识掌握较好。55% 60分钟李少博女 10岁 基础知识掌握好，但解题思路不活。10% 60分钟李 亨男 10岁基础知识掌握一般，解题能力差。5% 60分钟后测学生（部分）情况姓名性别 年龄 运用数学思想方法解题情况正确率解题时间谭之谦 男 10岁运用数学模型方法,数形结合、分析等90% 60分钟刘天和 男 10岁运用数学模型方法、类比、推理等95% 55分钟游汉坤 男 10岁运用数学模型方法、类比、推理等95% 55分钟李少博 女 10岁 运用数学模型方法、分析法、推理等80% 60分钟李 亨 男 10岁运用推理、分析、对应等40% 60分钟从统计中可以看出，在经过有目的、有计划、有序列的渗透数学思想方法的教学后，学生能够接受并能自觉的运用，解题的正确率大大提高，也提高了解题的效率，学生的思维能力得以拓宽。 （三）在日常教学中渗透数学思想方法。新一轮基础教育课程改革制定的新课程标准特别关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三个维度。课程标准中提到：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学到有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求我们教师在教学中不能只关注知识与技能，更要关注技能与方法。1、 渗透数学思想方法教学的原则 （1）过程性原则。 在教学中渗透数学思想方法时，不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识的引导学生潜移默化地领会蕴含其中的数学思想和方法。例如：在教学加法交换律时，通过一个猜球的小游戏，让学生用日常生活语言叙述游戏中：“变与不变的道理”。然后，进一步让学生用图形或数学符号表示，进而抽象出数学模型A+B=B+A。 （2）反复性原则。 数学方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认知过程。那么，教师在教学中应作到渗透与反复相结合。例如：在教学运算定律的应用、典型应用题及解决一些实际问题时，反复渗透集合模型、方程模型、集合模型、公式模型等各种数学模型方法。 （3）系统性原则。 数学思想方法的渗透要由浅入深，不能随意性太强，对一种数学思想方法挖掘到什么程度，学生能理解到什么程度，教师要心中有数。所以，教师在制定教学计划时，要充分了解这一册教材中可以结合哪些内容进行什么数学思想方法的渗透，再结合后续的教学整理出数学思想方法教学的系统。 （3）明确性原则。 数学思想方法如果长期、反复、不明确的渗透，学生就不会有意识的领会与使用。所以，在一个教学阶段，教师就要有意识的总结我们解题时所应用到的思想方法，使得学生对数学思想方法的规律、运用方法适度明确化，利于今后的学习。2、 渗透数学思想方法的有效途径（1） 在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法。 在教学中教师不要简单的给出定义，不要过早的下结论，不要死板的找关联，这利于培养学生的分析、观察、比较、抽象、概括的逻辑思维加工的能力。例如：在教学“小数的性质”一课，教师不是简单地告诉学生什么是小数的性质，而是通过比较0.10与0.100的大小，由学生自己揭示小数的性质。学生分小组讨论0.10与0.1