连续型随机变量.ppt

引例 靶子是半径2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 求X的分布函数 解 若x 0 则 X x 是一个不可能事件 于是 若0 x 2 由题意得 若x 2 则有 所以 2 连续型随机变量 下页 易证 F x 是一个连续函数 可表示为 其中 引例中随机变量X具有下列特点 一是X可在某个区间内连续取值 二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示 具有这些特点的随机变量 即为连续型随机变量 引例 靶子是半径2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 求X的分布函数 下页 2 连续型随机变量 一 定义 设F x 为随机变量X的分布函数 若存在非负可积函数f x 使得 则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称为概率密度或密度函数或密度 二 性质 1 f x 0 下页 曲线下x轴上所围面积为1 二 性质 4 在f x 的连续点处有 5 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0 由性质 5 可得 2 连续型随机变量 下页 例1 设随机变量X的密度函数为 求 1 常数A 3 分布函数F x 解 1 由于f x 是一个密度函数 解得A 2 3 注 1 若概率密度中含有待定常数 可由确定 2 取值于某区间的概率等于其密度函数在对应区间的积分 2 连续型随机变量 下页 例1 设随机变量X的密度函数为 求 1 常数A 3 分布函数F x 当0 x 1时 当1 x 2时 当x 2时 说明 注意分布函数的自变量取值范围的划分 下页 当x 0时 例2 设连续型随机变量的分布函数为 求 1 X的密度函数f x 2 P 1 X 2 解 2 P 1 X 2 F 2 F 1 分布函数为 下页 一 均匀分布如果随机变量X的概率密度为 分布函数为 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 得 X落在 a b 内任一小区间 c d 内的概率与该小区间的长度成正比 而与该小区间的位置无关 三 常见连续型随机变量的分布 下页 例3 设随机变量X在 2 8 上服从均匀分布 求二次方程y2 2Xy 9 0有实根的概率 解 由于X服从均匀分布 故X的概率密度为 从而 P y2 2Xy 9 0有实根 P X 3 P X 3 1 P X 3 P X 3 下页 方程有实根等价于4X2 36 0 即X 3或X 3 二 指数分布 其中 0是常数 则称X服从参数为 的指数分布 X E 分布函数为 指数分布常用来作各种 寿命 分布的近似 如电子元件的寿命 动物的寿命 电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布 若随机变量X的密度函数为 2 连续型随机变量 下页 例4 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 单位 分 服从参数 1 5的指数分布 等待服务时间若超过10分钟 顾客就会离去 若其一个月到银行5次 以Y表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数 写出Y的分布律 并求P Y 1 解 p P X 10 1 P X 10 1 F 10 所以Y的分布律为 下页 三 正态分布 1 定义若X的概率密度为 分布函数 其中 0 为常数 则称X服从参数为 2的正态分布或高斯 Gauss 分布 记作X N 2 下页 2 正态分布的密度函数f x 的图形的性质 1 曲线关于x 对称 即P h X P X h 2 当x 时 函数f x 达到最大值 下页 3 拐点 f 水平渐近线 ox轴 4 固定 改变 值 曲线f x 形状不变 仅沿x轴平移 可见 确定曲线p x 的位置 5 固定 改变 值 则 愈小时 f x 图形的形状愈陡峭 X落在 附近的概率越大 下页 3 标准正态分布X N 0 1 当 0 1时 标准正态分布 标准正态分布的特点 下页 4 查标准正态分布函数表计算概率 例5 设X N 0 1 计算P X 2 35 P 1 64 X 0 82 P X 1 54 1 P X 2 35 2 35 0 9906 2 P 1 64 X 0 82 0 82 1 64 0 82 1 1 64 0 7434 3 P X 1 54 1 54 1 54 2 1 54 1 0 8764 下页 1 2 5 正态分布函数查表计算 下页 解 1 P X 2 1 P X 2 F 2 0 9332 1 1 5 1 5 0 9938 0 9332 0 0606 1 1 5 2 5 2 5 1 5 3 P X 4 1 P X 4 1 P 4 X 4 2 0 9772 0 6915 0 2857 下页 例6 设X N 1 4 求 1 P X 2 2 P 2 X 5 3 P X 4 解 1 所求概率为 1 0 84 0 16 2 设一周内迟到次数为Y 离散型随机变Y B 5 0 16 所求概率为 例7 某人上班所需的时间 单位 分 X N 50 100 已知上班时间为早晨8时 他每天7时出门 试求 1 某天迟到的概率 2 某周 以5天计 最多迟到一次的概率 下页 P X 60 1 P X 60 1 F 60 P Y 1 例8 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 解 设车门高度为hcm 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 因为X N 170 62 故P X h F h 查表得 2 33 0 9901 0 99 所以 2 33 即h 170 13 98 184 下页 作业 42 43页12 13 14 15 17 20 结束 随机变量函数的分布 一 离散型随机变量函数的分布 二 连续型随机变量函数的分布 下页 2 5随机变量函数的分布 一 离散型随机变量函数的分布 随机变量的函数设y g x 为x的函数 X为随机变量 则Y g X 也是一个随机变量 且当X取值x时 Y取值y g x 下页 如 二 连续型随机变量函数的分布 例1 已知X的概率分布为X 10125P0 30 10 20 150 25求 1 Y 2X 1 2 Y X2的概率分布 解 1 Y 113511P0 30 10 20 150 25 2 Y01425P0 10 3 0 20 150 25 一 离散型随机变量函数的分布 若X是离散型的 则Y g X 也是离散型随机变量 且它的取值为yk g xk 其分布可以直接由X的分布求得 下页 一般地 1 若yk的值全不相同 则P Y yk P X xk 则Yy1y2 yk Pp1p2 pk 即 若X的概率分布为Xx1x2 xk Pp1p2 pk 2 若yk中有相同的情形 则应把那些相同的值加以合并 再根据加法定理把对应的概率pk相加 下页 FY y P Y y P 2X 8 y 二 连续型随机变量函数的分布 例2 设随机变量X具有密度 所以 于是 Y的分布函数为FY y 解 设X的分布函数为FX x 求随机变量 的概率密度 Y的概率密度为fY y 下页 1 分布函数法 一般地 若已知X的概率密度为fX x 求其函数Y g X 的概率密度fY y 分两个步骤 10根据分布函数的定义求Y的分布函数FY y 20由fY y F y 求出fY y 例3 设随机变量X的概率密度为fX x 求线性函数Y aX b a b是常数 且a 0 的概率密度fY y 下页 解 下页 解 记Y的分布函数FY y 由y x2 知y 0 当y 0时 FY y 0 于是Y的概率密度为 下页 例4 设随机变量X具有概率密度fX x 求函数Y X2的概率密度 定理设连续型随机变量X具有概率密度fX x x 又设函数y g x 处处可导且恒有g x 0 或恒有g x 0 则Y g X 是连续型随机变量 其概率密度为 2 公式法 其中 Min g g Max g g h y 是g x 的反函数 下页 例5 设X U 2 2 求Y sinX的概率密度 解 X的概率密度为 由于y sinx在 2 2 内处处可导且sin x 0 则Y sinX是连续型随机变量 其概率密度为 下页 例6 设X N 2 求证Y aX b a 0 也服从正态分布 证 X的概率密度为 由y g x ax b解得x h y y