第一章矢量分析.ppt

本章知识结构 1 1矢量代数1 1 1矢量代数 1 矢量加法矢量之间可以进行加法 或减法 运算 两矢量相加 或相减 是一个矢量 即 矢量相加服从加法的交换律和结合律 即 2 矢量与标量之间可以进行乘法 或除法 运算 矢量A乘以标量s得矢量B 即 矢量B的大小变为矢量A的大小的s倍 其方向则与s的正负有关 若s 0 则B与A同向 若s 0 则B与A反向 3 点积两个矢量的点积是一个标量 其值为两个矢量的大小与它们之间夹角的余弦之积 表示为 式中称为方向A的单位矢量 在直角坐标系中 矢量A可以表示为 式中和的和分别为x y和z轴方向上的单位矢量 因此我们有 z 式中的是矢量A的方向余弦 分别是矢量A与坐标轴x y和z之间的夹角 如图1 1 2所示 图1 1 2 的图示 4 叉积 由两矢量的叉积定义可方便地得出直角坐标系各单位矢量的叉积为 直角坐标系中 两矢量的叉积为上式可用行列式简明地表示为 例1已知空间一点P x y z 处的矢量为 求解 1 1 2常用的坐标系 直角坐标系 和 符合右手螺旋关系 和都是常矢量 方向不随点p的位置改变而改变 圆柱坐标系三个坐标变量是 和 如图1 1 5所示 它的单位矢量是 三个单位矢量之间符合右手螺旋原则 其中除是常矢量 方向随点P的位置改变 微分面积元为 在圆柱坐标系中由于有两个单位矢量是变矢量故可得 球坐标系球坐标系的三个坐标变量是 和 如图1 1 7所示 坐标原点一并画在图中 球坐标系的三个坐标面分别是 在球坐标系下有 由于三个单位矢量都是变矢量 三种坐标系之间的转换由于处理不同问题的需要 如形状 边界条件不同 需要进行不同坐标系之间的变换 1 直角坐标系与圆柱坐标系的坐标变量之间的关系 直角坐标系与球坐标系的坐标变量之间的关系 圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的关系为 三种坐标系的单位矢量间的关系 可根据其中两对坐标系间共同的单位矢量关系导出 尤其重要的是用直角坐标系下的三个单位矢量去表示圆柱坐标系和球坐标系下的单位矢量 这在矢量微积分运算中有很重要的应用 两个表达式如下 标量场是某个变量在空间每个点上的单值函数 标量函数的梯度 1 等值面在标量场中 标量函数取得相同数值的点构成空间曲面 称为标量场的等值面 例如 在温度场中 由温度相等的点构成等温面 在电位场中 由电位相等的点构成等位面 在直角坐标系中 等值面方程为 式中的c为任意常数 2 方向导数在标量场中一点处沿单位矢量的方向导数表示标量场在空间一点处沿某一方向的空间变化率 若 则表示标量场沿该方向是增加的 若 则表示标量场沿该方向是减少的 若则表示标量场沿该方向无变化 方向导数的值既与点的位置有关 还与有关 根据方向导数的定义 应用复合函数求导法则可导出直角坐标系中的方向导数计算公式 其中 和是方向的方向余弦 图1 1 12梯度与方向导数的关系 3 梯度用于表征标量场的最大变化率和得到最大变化率的特定方向 定义 标量场在点处的梯度是一个矢量 其大小等于最大变化率 其方向是标量场变化率最大的方向 表示为 直角坐标系中的方向导数计算公式可变换为 引入矢量微分算符读作del算子 在直角坐标系中因此 标量u的梯度可表示为 从梯度的定义 我们可以归纳出标量场在某点的梯度的基本性质 a 标量场的梯度是一个矢量 因而有大小和方向两个要素 b 标量场在某给定点沿任意方向的方向导数 等于与该方向单位矢量的点积 即在该方向上的投影 c 标量场中每一点处的梯度 垂直于过该点的等值面 且指向标量函数增大的方向 例题 已知函数 求空间一点的梯度和沿方向的方向导数 解 在处 故方向的单位矢量为 故沿方向的方向导数为 例题 设 试证明这里的为 用R表示点P和点Q之间的距离 而 故 1 1 4面积分与矢量的散度 1 面积分假定在均匀矢量场A中放置一个面积为s的环 该面积的法线方向单位矢量n与A的夹角为如图13所示 A矢量穿过面积s的通量为 式中为面积元的单位矢量 对整个s面进行积分 得 即此矢量A的面积分 称为矢量A穿过面积s的通量 式中的积分符号意味着ds为无限小的面积元 式中可写为若s为限定某一体积的闭合面 则穿过该闭合面的总通量为 2 矢量的散度在矢量场A中 作包围任意点P的闭合曲面s 取s所限定的体积趋于零时 的极限 即定义为矢量场A在点P的散度 表示为 a divA表示矢量场中的点P处 穿出单位体积的净通量 故divA描述了矢量场A的通量源密度 b 在矢量场中的点P处 若divA 0 则表明该点有发出场矢量线的正通量源 若divA 0则表明该点有汇聚场矢量线的负通量源 若divA 0 则表明该点无源 c 矢量场的散度是一个标量场 在直角坐标系中 或 3 散度定理若矢量场A在闭合面s所限定的体积V的区域内是连续可微的 则散度的定义可延伸到整个体积 最终导出散度定理 表示为 例题1 求矢量场在空间一点处的散度 解 例2 设矢量 式中 求在处的解 式中 则 1 1 5线积分与矢量的旋度 1 线积分在力场F中 在曲线上某点P处 有 a 2 矢量的旋度矢量场F沿有向闭合路径的线积分 定义为该矢量沿此有向闭合曲线的环量 表示为 在矢量场F中的某一点M作一个面积元 取此面积元的正法线方向为n 它与的周界线c的绕行方向成右手螺旋关系 c M n 保持n的方向不变 使面积元以任意方式缩向点M 取极限此极限称为矢量场F在点处沿n方向的环量密度 从此定义看出 环量密度是一个标量函数 其数值与点M的坐标有关 还与面积元的正法线方向n有关 此定义表明 矢量场F中某点沿给定方向的环量密度 就等于rotF在该点沿给定方向上的投影 这与标量场中的梯度与方向导数的关系相似 标量场在某方向的方向导数 就等于梯度在该方向的投影 矢量的旋度定义与选取的坐标系无关 但在进行旋度计算时通常要选取适当的坐标系 在直角坐标系中 旋度的表示式为 引入矢量微分算符 上式可写成 为便于记忆 将上式写成行列式形式在圆柱坐标系中在球坐标系中 3 斯托克斯定理从矢量的旋度定义出导出一个重要的关系式 称为斯托克斯定理 表示为 其意义是 任意矢量场F的旋度沿场中任一个以c为周界的非闭合曲面s的面积分 等于矢量场F沿此周界的闭合线积分 设 当 即与方向一致时 为最大 设一个标量函数 x y z 若函数 在点P可微 则 在点P沿任意方向的方向导数为 梯度 gradient 则有 式中 分别是与x y z轴的夹角 回顾标量场的梯度 例1三维高度场的梯度 例2电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直 数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直 指向电位增加的方向 数值等于该点的最大方向导数 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量 是空间坐标点的函数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 即与等值线 面 相垂直的方向 它指向函数的增加方向 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率 即该点最大方向导数 图1三维高度场的梯度 图2电位场的梯度 散度 如果包围点P的闭合面 S所围区域 V以任意方式缩小为点P时 通量与体积之比的极限存在 即 散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A 0 无源 A 0 负源 A 0 正源 在矢量场中 若 A 0 称之为有源场 称为 通量 源密度 若矢量场中处处 A 0 称之为无源场 矢量的散度是一个标量 是空间坐标点的函数 高斯公式 散度定理 高斯公式 该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系 矢量函数的面积分与体积分的互换 图0 3 3散度定理 由于是通量源密度 即穿过包围单位体积的闭合面的通量 对体积分后 为穿出闭合面S的通量 旋度 1 环量密度 过点P作一微小曲面 S 它的边界曲线记为 L 面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则 当 S 点P时 存在极限 环量密度 取不同的路径 其环量密度不同 2 旋度 旋度是一个矢量 模值等于环量密度的最大值 方向为最大环量密度的方向 旋度 curl 它与环量密度的关系为 在直角坐标系下 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量 是空间坐标点的函数 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值 在矢量场中 若 A J 0 称之为旋度场 或涡旋场 J称为旋度源 或涡旋源 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 四 斯托克斯 Stockes 定理 A是环量密度 即围绕单位面积环路上的环量 因此 其面积分后 环量为 Stocke s定理 在电磁场理论中 Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式 矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处 A 0 称之为无旋场 图3斯托克斯定理 4 旋度与散度的区别 a 一个矢量场的旋度是一个矢量场 而一个矢量场的散度是一个标量场 b 旋度所表示的是矢量场中各点的场量与漩涡源的关系 而散度所表示的是矢量场中各点的场量与通量源的关系 c 旋度所描述的是矢量场的各个分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律 而散度所描述的是矢量的各个分量沿着各自方向上的变化规律 例题 已知矢量场A的表示式为 试求 a 矢量A沿圆周的闭合线积分 b 对该圆面积的积分 解 a 应用图14所示的关系 得 故上式变为 b 本题的结论验证了斯托克斯定理 例题 已知矢量求 和解 应用球坐标系中的散度和旋度表示式分别得 1 1 6拉普拉斯运算入拉普拉斯算符 表示为 可用标量函数得梯度得散度来表示 即在直角坐标系中 对标量函数有 矢性拉普拉斯算符 定义为 在直角坐标系中有 1 1 7亥姆霍兹定理空间有限区域内的任一个矢量场F 由该矢量场的散度 旋度以及边界条件惟一地确定 并可表示为 式中如果g和G已知 则有 当g和G给定时 F就是确定的了 最多相差一个积分常量 而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量 亥姆霍茨定理 在有限区域内 矢量场由它的散度 旋度及边界条件唯一地确定 例 判断矢量场的性质 0 0 0 0 0 0 三种特殊形式的场 1 平行平面场 如果在经过某一轴线 设为Z轴 的一族平行平面上 场F的分布都相同 即F f x y 则称这个场为平行平面场 2 轴对称场 如果在经过某一轴线 设为Z轴 的一族子午面上 场F的分布都相同 即F f r 则称这个场为轴对称场 3 球面对称场 如果在一族同心球面上 设球心在原点 场F的分布都相同 即F f r 则称这个场为球面对称场 此定理提供了研究无源场的一种途径 如对磁场而言 而在很多情况下 由于电流分布的复杂性 无法求出的分布 此时可利用此性质 引入磁场的矢量位 通过类比性求出 再求出 注意1 旋度的散度等于零 如 2 梯度的旋度等于零 3 一个处处旋度为零的矢量场称为无旋场 用表示 但的散度却不能处处为零 否则将不存在场 令 发散源函数 为发散场 因为