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第二十一章重积分 二重积分的概念直角坐标系下重积分的计算格林 Green 公式重积分的变量变换三重积分重积分的应用 20 1二重积分的概念 一平面图形的面积 1 内 外面积 约当 黎曼外内测度 的概念 2 3 于是由 3 可得 使得 2 式成立 但 所以 定理21 2平面有界图形P可求面积的充要条件是 P的边界K的面积为零 证由定理21 1 P可求面积的充要条件是 由于 还可证明得到 特点 平顶 柱体体积 特点 曲顶 曲顶柱体 曲顶柱体的体积 二二重积分的定义及其存在性 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 解 对区域D进行网状分割 如图 曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面底面为平面区域D 求此曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 3 求和 所有小区域对应小曲顶柱体体积之和为 4 取极限 2 近似 则每个小曲顶柱体的体积近似为 其中 2平面薄片的质量 2 取点 3 作和 4 取极限 3 二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 3 二重积分的几何意义 其中xoy面上方柱体的体积取正 xoy面下方柱体的体积取负 例 用定义计算二重积分 解 用直线网 分割该正方形 在每个正方形上取其右上顶点为介点 4 可积条件 可积的必要条件 上和与下和 令 定理21 6有界闭区域D上的连续函数必可积 又记 性质 当为常数时 性质 二重积分与定积分有类似的性质 三 二重积分的性质 性质 对区域具有可加性 性质 若为D的面积 性质 若在D上 特殊地 则有 解 在区域D内 显然有 故在D内 解 BC的方程x y 2 D内 所以 证明 因为 由性质5 所以 例2 解 在D内的最大值为4 最小值为1 区域D的面积为2 所以由性质6得 性质7 中值定理 D连续 之面积 则在D上至少存在一 使得 证明 由性质6得 点 在闭区域 根据据闭区域上连续函数的介值定理 在D上至少存在一点 即 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 和式的极限 四 小结 作业 P217 1 2 3 4 5 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较 找出它们的相同之处与不同之处 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值 且此值只与被积函数及积分区域有关 不同的是定积分的积分区域为区间
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