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文档简介
1 第三讲初等矩阵 一 一 初等矩阵的定义和性质 二 初等矩阵的逆矩阵 及与初等矩阵相关的应用定理 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2 一 初等矩阵的定义和性质 称为初等矩阵 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 1 初等矩阵的定义 3 1 交换两行 或两列 10 01 将E的第i行 列 与第j行 列 交换 4 2 以数乘某行 或列 以数乘E第i行 或第i列 5 3 将某行 列 的k倍加到另一行 列 上 将E的第j行的k倍加到第i行 或是将E的第i列的k倍加到第j列 6 将E的第i行与第j行交换 将E的第i列与第j列交换 以数乘E第i行 以数乘E第i列 将E的第j行的k倍加到第i行 将E的第i列的k倍加到第j列 7 2 初等矩阵的性质 例1计算 用左乘矩阵A 相当于对矩阵A施行一次初等行变换 将A的第2行乘k 8 用右乘矩阵A 相当于对矩阵A施行一次初等列变换 将A的第2 3两列交换 用左乘矩阵A 相当于对矩阵A施行一次初等行变换 将A的第3行乘k加到第1行 9 定理1设A是一个矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 左行右列 规则 10 一般记法 11 二 初等矩阵的逆矩阵及与其相关的定理 逆矩阵也具相同类型 即 因为初等变换对应初等矩阵 而初等变换 可逆 所以初等矩阵也可逆 又因为初等变换 的逆变换仍为同类初等变换 所以 其对应的 1 初等矩阵的逆矩阵 12 2 与初等矩阵相关的应用定理 存在有限个初等矩阵 使 定理2 方阵A可逆 方阵A可逆 推论 经有限次行初等变换而得 即 13 初
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