第一节 函数及函数关系的建立.ppt

第一章函数的极限与连续 极限的概念是微积分学一个最基本 最重要的概念 一方面 它是建立微积分学的基础 另一方面 极限的思想和分析方法将贯穿微积分学的始终 函数的连续性 导数和积分等都将借助于极限方法来描述 本章主要讨论函数的极限与连续的基本概念 性质和运算 并介绍它们的实际应用 背景 第一节函数及函数关系的建立 一 常量与变量 常量 在某一过程中始终保持一定数值的量称为常量 常用a b c等符号表示 某间教室的长 宽 高 变量 在过程进行中可以取不同数值的量称为变量 常用x y z等符号表示 人的身高 运动速度 例如 一封闭容器在加热过程中 容器内气体的体 积和质量都是常量 而其温度与压力则是变量 在某一时期内 一种商品的价格保持不变 它是一 个常量 而这种商品每天的销售数量却不同 它是 一个变量 注 常量和变量依赖于所研究的过程 同一个量 在某一过程中是常量 而在另一过程中 则可能是变量 二 函数的概念与表示 一 案例二 概念和公式的引出三 进一步的练习 案例 圆面积公式 圆的面积A与半径r的关系为 函数 设x和y是两个变量 D是一个给定的数集 如果对于每一个数x 变量y按照一定的法则f 总有唯一确定的数值与之对应 则称y是x的函数 记 y f x 其中x称为自变量 y称为因变量 数集D称为定义域 即自变量的取值范围 称y0为y f x 在x0处的函数值 记作f x0 或y x x0 为函数的值域 函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素 注意 才能认为这两个函数是相同的函数 至于变量本身 例1下列函数是否相同 为什么 解 1 不同 因为定义域不同 4 相同 与 与 与 2 不同 因为定义域不同 3 不同 因为对应法则不同 求函数定义域举例 高等数学的主要研究对象是函数 确定函数的定义域是一件十分重要的事情 通常依据 分式的分母不能为零 负数不能开偶次方 已知的一些函数的定义域 物理意义 几何意义等来确定函数的定义域 例2 求下列函数的定义域 解 1 因为x 2 0时 即x 2时 分式 无意义 所以此函数的定义域是 2 因为3x 2 0时 即x 2 3时 根式 无意义 所以此函数的定义域是 3 要使函数有意义 则应满足 所以此函数的定义域是 1 解析法 如函数的定义域为 值域为 解析法的优点是便于数学上的分析和计算 2 列表法 列表法的优点是直观 精确 内气温 单位 oC 的变化规律 下表列出了在上午10 00到中午12 00每隔 20min测得的气温数据 由此可以观察出这段时间 3 图形法 通过心电图的比较 医生可以诊断出该人 健康人的心电图 病人的心电图 图形法的优点是直观 通俗 容易比较 是否患有心脏病 练习1 自由落体运动方程 在自由落体运动中 物体下落的距离随下落 时间的变化而变化 下落距离s与时间t之间的 其中g为重力加速度 函数关系为 练习2 波形函数 在电子科学中 有大量波形函数 如下图为 周期为T的一锯齿形波的图象 此函数在一个 同期上可用解析法表示为 练习3 股票曲线 股票在某天的价格随时间的变化关系常用图形 表示 如下图所示为某一股票在某天的走势图 从股票曲线 我们可以看出这只股票 在当天的价格和成交量波动情况 练习4 物理实验 三 基本初等函数 基本初等函数为以下五类函数 是常数 基本初等函数 1 幂函数 2 指数函数 3 对数函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 4 三角函数 正割函数 余割函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 5 反三角函数 设给定y是x的函数y f x 如果把y当自变量 x当 作函数 则由关系式y f x 所确定的函数x y 称为函数y f x 的反函数 记作 反函数 2 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 指数函数 则其反函数 减 减 1 若y f x 单调递增 且也单调递增 性质 3 反函数的定义域等于直接函数的值域 反函数的值域等于直接函数的定义域 求反函数的步骤 1 从y f x 中解出 2 交换字母x与y的位置 并注意反函数的定义域等于 直接函数的值域 例3 求下列函数的反函数 解 1 将x换成y y换成x 得所求函数的反函数为 2 将x换成y y换成x 得所求函数的反函数为 四 复合函数和初等函数 一 案例二 概念和公式的引出三 进一步练习 若y是u的函数y f u u是x的函数 复合函数 得到一个以x为自变量 y为因变量的函数 这个 复合函数 u称为中间变量 记作 解 1 3 4 不是基本初等函数 说明 它是由若干个基本初等函数经过有限次四则运算 后得到的 这样的函数称为简单函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 初等函数 函数 称为初等函数 而不是初等函数 某工厂生产计算机的日生产能力为0到100台 工厂维持生产的日固定费用为4万元 生产一台计算机的直接费用 含材料费和劳务费 是4250元 试建立该厂日生产台计算机的总费用函数 并指出其定义域 练习1 生产费用 解 设该厂日生产x台计算机的总费用为y 单位 元 则y为日固定费用和生产x台计算机所需总费用之和 即 由于该厂每天最多能生产100台计算机 所以定义域为 一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为 每天的基本租金200元 另外每公里收费为15元 km 1 试建立每天的租车费与行车路程公里之间 2 若某人某天付了400元租车费 问他开了 练习2 汽车租赁 的函数关系 多少公里 解 1 设每天租车费为x 则y为每天的基本租金 2 把400代入 1 中的函数得 400 200 15 200和当天开车x公里所收费用15x之和 即 km 五 分段函数 一 案例二 概念和公式的引出三 进一步练习 如图为一个矩形波在一个周期内的图形 用解析式表示为 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 练习1 绝对值函数 练习2 符号函数 额 表中仅保留了原表中前2级的税率 纳税金额之间的函数关系 练习3 个人所得税 我国于1993年10月31日发布的 中华人民共和国 个人所得税法 规定月收入超过800元为应纳税所得 个人所得税一般在工资中直接扣发 若某单位 所有人的月收入都不超