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第五章 相似原理和量纲分析 传热学有相似理论 流体力学也有相似理论 都是指导模型试验的理论 试验研究是流体力学研究的一个重要方法 流体力学理论的检验和发展都依赖于试验 以相似理论为基础的模型试验方法在流体力学中有着广泛的应用 如风洞 水池 水洞等 在这一章里 将扼要地讨论 流体力学中的相似原理 模型试验方法以及量纲分析法 第一节流动的力学相似第二节动力相似准则第三节流动相似条件第四节近似的模型试验第五节量纲分析法作业 第一节流动的力学相似 相似 指两个流场的力学相似 即在流动空间的各对应点上和各对应时刻 表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例 表征流场几何形状的表征流体微团运动状态的表征流体微团动力性质的 物理量 三类 一 几何相似指模型与原型的全部对应线性长度的比例相等 即 几何相似运动相似动力相似 流体的力学相似 线性长度也称特征长度 可以是翼型的翼弦长b 圆柱的直径d 管道的长度l 管壁绝对粗糙度 等 式中kl为长度比例尺 图5 1几何相似 只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等 则它们的夹角必相等 图5 1几何相似 由于几何相似 模型与原型的对应面积 对应体积也必分别互成一定比例 即面积比例尺体积比例尺 二 运动相似 指模型与原型的流场所有对应点上 对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等 即它们的速度场相似 图5 2速度场相似 速度比例尺 由于流场的几何相似是运动相似的前提条件 因此甚易证明 模型与原型流场中流体微团经过对应路程所需要的时间也必互成一定比例 即时间比例尺 由几何相似和运动相似还可导出用kl kv表示的有关运动学量的比例尺如下 加速度比例尺 体积流量比例尺 运动黏度比例尺 角速度比例尺 可见 只要确定了模型与原型的长度比例尺和速度比例尺 便可由它们确定所有运动学量的比例尺 三 动力相似 指模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同 而它们大小的比例相等 即它们的动力场相似 图5 3动力相似 Fp 总压力 F 切向力 Fg 重力 Fi 惯性力 kF 力的比例尺 由于两个流场的密度比例尺常常是已知或者是已经选定的 故做流体力学的模型试验时 经常选取k kl kv作基本比例尺 即选取 l v作为独立的基本变量 流场的几何相似流场的运动相似流场的动力相似 密度成比例 力的比例尺 力矩 功 能 比例尺 压强 应力 比例尺 功率比例尺 动力粘度比例尺 有了以上关于几何学量 运动学量和动力学量的三组比例尺 又称相似倍数 模型与原型流场之间各物理量的相似换算就很方便了 流场的几何相似是流动力学相似的前提条件 动力相似是决定运动相似的主导因素 而运动相似则是几何相似和动力相似的表现 模型与原型流场的几何相似 运动相似和动力相似是两个流程完全相似的重要表现 第二节动力相似准则 任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 密度比例尺 牛顿数 模型与原型的流场动力相似 它们的牛顿数必定相等 即Ne Ne 反之亦然 由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则 作用在流场上的力有各种性质的力 诸如重力 粘滞力 总压力 弹性力 表面张力等 不论是何种性质的力 要保证两种流场的动力相似 它们都要服从牛顿相似准则 也即符合 一 重力相似准则 在重力作用下相似的流动 其重力场必须相似 代入 弗劳德数 二流动的重力作用相似 其弗劳德数必定相等 即Fr Fr 反之亦然 重力相似准则 又称弗劳德准则 重力作用相似的流场 有关物理量的比例尺要受 的制约 不能全部任意选择 由于在重力场中 故有 二 黏滞力相似准则 在黏滞力作用下相似的流动 其黏滞力分布必须相似 代入 雷诺数 二流动的黏滞力作用相似 其雷诺数必定相等 即Re Re 反之亦然 黏滞力相似准则 又称雷诺准则 黏滞力作用相似的流场 有关物理量的比例尺要受 的制约 不能全部任意选择 当模型与原型用同一流体时 k k 1 故有 三 压力相似准则 在压力作用下相似的流动 其压力场必相似 代入 二流动的压力作用相似 其欧拉数必定相等 即Eu Eu 反之亦然 压力相似准则 又称欧拉准则 欧拉数中的压强p也可用压差 p来代替 这时 欧拉数 欧拉相似准则 欧拉数 四 非定常性相似准则 对于非定常流动的模型试验 必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似 由当地加速度引起的惯性力之比可以表示为 代入 二非定常流动相似 其斯特劳哈尔数必定相等 即Sr Sr 反之亦然 非定常性相似准则 又称斯特劳哈尔准则或谐时数准则 若非定常流是流体的波动或振荡 其频率为f 则 斯特劳哈尔数 斯特劳哈尔数 斯特劳哈尔准则 五 弹性力相似准则 对于可压缩流的模型试验 要保证流动相似 由压缩引起的弹性力场必须相似 体积模量比例尺 代入 二流动的弹性力作用相似 其柯西数必定相等 即Ca Ca 反之亦然 弹性力相似准则 又称柯西准则 柯西数 对于气体 宜将柯西准则转换为马赫准则 由于 故弹性力的比例尺又可表示为 c为声速 马赫数 二流动的弹性力作用相似 其马赫数必定相等 即Ma Ma 反之亦然 弹性力相似准则 又称马赫准则 六 表面张力相似准则 在表面张力作用下相似的流动 其表面张力分布必须相等 表面张力比例尺 代入 韦伯数 二流动的表面张力作用相似 其韦伯数必定相等 即We We 反之亦然 表面张力相似准则 又称韦伯准则 相似准则数 牛顿数 弗劳德数 雷诺数 欧拉数 斯特劳哈尔数 柯西数 马赫数 韦伯数 牛顿第二定律表述的是最简单 最基本的运动微分方程 由该方程可导出各种性质单项力作用下的相似准则 若已知某种流动的运动微分方程 含多项力作用 可由该方程直接导出相似准则 方法 令方程中有关力项同惯性力项相比 第三节流动相似条件 流动相似条件系指保证流动相似的必要和充分条件 模型试验必须遵守的条件 1 相似的流动都属于同一类的流动 都应为相同的微分方程组所描述 2 单值条件相似 服从相同微分方程的同类流动有无数个 从这无数同类流动中单一的划分出某一具体流动的条件是它的单值条件 单值条件 几何条件 边界条件 物性条件 进口 出口的速度分布等 密度 黏度等 初始条件 初瞬时速度分布等 对于非定常流动 2 单值条件相似 单值条件相同 单值条件相似 由相同微分方程组得到的解是同一个 由相同微分方程组得到的解是相似的 相同流动 相似流动 3 由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等 是保证流动相似的必要和充分条件是几何相似 运动相似 动力相似的概括和发展是设计模型 组织模型试验及在模型与原型各物理量之间进行换算的理论依据 相似条件概述为 凡属同一类的流动 当单值条件相似而且由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等时 这些流动必定相似 单值条件中的各物理量称为有定性量组成的相似准则数称为定性准则数包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数 密度 特征长度l 流速v 黏度 重力加速度g 定性量 雷诺数Re 弗劳德数Fr 定性准则数 压强p 被决定量 欧拉数Eu 非定性准则数 相似条件解决了模型实验中必须解决的问题 设计模型原则整理成相似准则数 2 实验测定量和数据处理整理成相似准则数整理试验结果相似准则数 准则方程式推广应用 比例尺换算 例5 1 如图5 4所示 当通过油池底部的管道向外输油时 如果池内油深太小 会形成达于油面的漩涡 并将空气吸入输油管 为了防止这种情况的发生 需要通过模型实验去确定油面开始出现漩涡的最小油深hmin 已知输油管内径d 250mm 油的流量qv 0 14m3 s 运动黏度 7 5 10 5m2 s 倘若选取的长度比例尺kl 1 5 为了保证流动相似 模型输出管的内径 模型内液体的流量和运动粘度应等于多少 在模型上测得h min 60mm 油池的最小油深hmin应等于多少 图5 4油池模型 解 不可压缩黏性流体的流动问题 必须同时考虑重力和黏滞力的作用 弗劳德数 雷诺数 模型输出管的内径 弗劳德数 雷诺数 模型内液体的流量 弗劳德数 雷诺数 模型内液体的运动粘度 油池的最小深度 例5 2 两种密度和动力黏度相等的液体从几何相似的喷嘴中喷出 一种液体的表面张力为0 04409N m 出口流束直径为7 5cm 流速为12 5m s 在离喷嘴12m处破裂成雾滴 另一液体的表面张力为0 07348N m 如果二流动相似 另一液体的出口流束直径 流速 破裂成雾滴的距离应多大 解 流束的破裂受黏滞力和表面张力的共同作用 雷诺数 韦伯数 另一液体的出口流束直径 流速 破裂成雾滴的距离 第四节近似的模型试验 不可压缩粘性流体的定常流动有两个定性准则数 即弗劳德数和雷诺数 弗劳德数 雷诺数 例5 1 不可压缩黏性流体的流动问题 必须同时考虑重力和黏滞力的作用 弗劳德数 雷诺数 若 自模化状态 自模化区阻力的主要部分紊动阻力 牛顿相似准则 例5 3 图5 5所示为弧形闸门放水时的情形 已知水深h 6m 模型闸门是按长度比例尺kl 1 20制作的 试验时的开度与模型相同 试求流动相似时模型闸门前的水深 在模型上测得收缩截面的平均流速v 2 0m s 流量qv 30L s 水作用在闸门上的力F 92N 绕闸门轴的力矩M 110N m 试求原型上收缩截面的平均流速 流量以及作用在闸门上的力和力矩 图5 5弧形闸门 解 模型闸门前的水深 水在重力作用下由闸门下出流 弗劳德数 收缩截面的平均流速 流量 作用在闸门上的力 作用在闸门上的力矩 例5 4 为了探索用输油管道上的一段弯曲的压强降去计量油的流量 进行了水模拟实验 选取的长度比例尺kl 1 5 已知输油管内径d 100mm 油的流量qv 20L s 运动粘度v 0 625 10 6m2 s 密度 720kg m3 水的运动粘度v 1 0 10 6m2 s 密度 998kg m3 为了保证流动相似 试求水的流量 如果测得在该流量下模型弯管的压强降 p 1 177 104Pa 试求原型弯管在对应流量下的压强降 解 这是黏性有压管流 雷诺数 欧拉数 流量 压强降 例5 5 输水管道的内径d 1 5m 内装蝶阀 当蝶阀开度为 输送流量qV 4 0m3 s时 流动已进入自模化区 利用空气进行模型试验 选用的长度比例尺kl 1 7 5 为了保证模型内的流动也进入自模化区 模型蝶阀在相同开度下的输送流量qv 1 6m3 s 试验时测得经过蝶阀的压强降 p 2697Pa 气流作用在蝶阀上的力F 137N 绕阀轴的力矩M 2 94N m 试求原型对应的压强降 作用力和力矩 已知20 时水的密度 998 2kg m3 黏度 1 005 10 3Pa s 20 时的空气密度 1 205kg m3 粘度 1 83 10 5Pa s 声速c 343 1m s 第五节量纲分析法 量纲分析法是与相似原理密切相关的另一通过实验去探索流动规律的重要方法 特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂流动 更能显示出该方法的优越性 物理量单位的种类叫量纲 用符号dim表示 一 物理方程量纲一致性原则 时间小时 分 秒量纲为T长度米 厘米 毫米量纲为L质量吨 千克 克量纲为M 物理量纲分为基本量纲和导出量纲 基本量纲 时间量纲T长度量纲L质量量纲M温度量纲 流体力学中常遇到的用基本量纲表示得导出量纲有 力 压强 加速度 表面张力 密度 体积模量 比热容 运动黏度 动力黏度 气体常数 速度 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同 用量纲表示的物理方程必定是齐次的 物理方程量纲一致性原则 伯努利方程 量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则 从量纲分析入手 找出流动过程的相似准则数 并借助试验找出这些相似准则数之间的函数关系 即准则方程式 准则方程式就是无量纲的物理方程 是用相似准则数表示的物理方程 根据相似原理 可以将准则方程式直接应用到原型及其他相似流动中去 用量纲分析法 结合试验研究 不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律 而且找出的还是同一类相似流动的普遍规律 二 瑞利法 量纲一致性原则 各物理量的量纲只能由基本量纲的积和商 基本量纲 例5 6 已知矩形堰流的流量qV主要与堰上水头H 堰宽b和重力加速度g有关 试用瑞利法导出矩形堰流流量的表达式 图5 7矩形堰 例5 7 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时 沿管道的压强降 p与管道长度l 内径d 绝对粗糙度 平均流速v 流体的密度 和动力黏度 有关 试用瑞利法导出压强降的表达式 达西 魏斯巴赫 Darcy Weisbach 公式 三 定理 量纲分析法中更为普遍的方法是著名的 定理 又称泊金汉定理 它是泊金汉 E Buckingham 于1951年提出的 应用广泛 定理表述 如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个基本量纲 则这个物理过程可以用由n个物理量组成的n m个无量纲量 相似准则数 的函数关系来描述 这些无量纲量用 i i 1 2 n m 来表示 定理的解题步骤 1 确定关系式 根据对所研究的现象的认识 确定影响这个现象的各个物理量及其关系式 2 确定基本量 从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表 一般取m 3 在管流中 一般选d v 三个作基本量 而在明渠流中 则常选用H