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数学哲学与数学史第一周复习资料一、选择题11 世界上数学文明最早的地区是（ 埃及 ）12 世界上最早使用负数的著作是（ 中国九章算术）。二、填空题11 （ 李善兰 ）的工作代表了中国传统数学最后的辉煌。12 关于数学定义，古希腊的毕达哥拉斯认为数学的本源是“（ 数 ）”。13 关于数学定义，古希腊的毕达哥拉斯认为数学的本源是“数”，坚持（ 先验 ）论。14 关于数学定义，亚里士多德认为：数学是研究（ 数量 ）的科学。15 恩格斯给数学所下的经典定义是：纯数学的研究对象是（ 现实 ）世界的空间形式和数量关系。16 纯数学的三个分支是：分析学，几何学，（ 代数 ）学。17 （ 逻辑 ）主义的代表人物是英国的数理逻辑学家罗素。18 关于数学的定义问题，英国的数理逻辑学家罗素认为，数学的本源是（ 逻辑 ）。19 罗素认为，检验数学的标准是是否符合（ 逻辑 ）。110 （ 直觉 ）主义的代表人物是荷兰的数学家布劳维尔。111 关于数学的定义问题，荷兰的数学家布劳维尔认为：数学是数学家纯粹（ 心智 ）的构造。112 （ 形式 ）主义的代表人物是德国著名的数学家希尔伯特。113 关于数学的定义问题，德国著名的数学家希尔伯特认为：数学就是一串没有实际内容且在逻辑上又不互相矛盾的（ 符号 ）。114 关于数学的定义问题，前苏联的基本观点是：数学是以纯粹形态的（ 量 ）的关系和形式作为自己的研究对象。115关于数学的定义问题，美国数学家Caurat和Robbins于1941年合著的有影响的数学是什么一书开头，给数学下了一个定义：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的展望。它的基础是逻辑和（ 直觉 ），分析和推理，共性和个性。”116 法国的N.Bourbaki学派认为，数学是研究（ 结构 ）的科学。117 法国的N.Bourbaki学派认为，数学是研究结构的科学，他们所谓的三大结构分别是：序结构，代数结构和（ 拓扑 ）结构。118 法国的N.Bourbaki学派提出的著名论断是：数学（ 结构 ）是数学统一的核心。119 1957年，关肇直先生提出：数学是研究现实世界中（ 量 ）的关系的科学。120 数学美主要包括简洁美，对称美，和谐美和（ 奇异 ）美。121 关于数学在科学中的地位，19世纪的法国大数学家Laplace提出：数学是自然科学的（ 工具 ）。数学哲学与数学史第二周复习资料21 公元前6世纪以前的数学萌芽时期，在人类社会的历史上，是原始社会和奴隶社会初期。在这个时期，算术、几何开始逐渐形成，主要成就出现在巴比伦、（ 埃及 ）和中国。22 公元前6世纪17世纪的初等数学时期，又称为（ 常量 ）数学或有限数学时期。23 （ 古希腊 ）时期，是人类科学发展的第一个黄金时期。24 泰勒斯（Thales，-624-547）是现代公认的希腊几何学的鼻祖，也是一位天文学家，他开创了命题的（ 几何 ）证明。25 1517世纪的西方文艺复兴前后，是继古希腊之后，科学发展的第（ 二 ）个黄金时期。西欧各国在继承古希腊和阿拉伯数学的成就的基础上，取得了许多重要成就。26 中国数学一直在独立地发展着。在唐中期以前，产生了以九章算术为代表的，唐朝的（ 李淳风 ）校定的“算经十书”：周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经，张邱建算经，五曹算经，五经算术，辑古算经，夏侯阳算经，缀术。27 中国数学一直在独立地发展着。在唐中期以前，产生了以九章算术为代表的“算经十书”：周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经，张邱建算经，五曹算经，五经算术，辑古算经，夏侯阳算经，缀术。后因缀术已失传，于是在1963年，（ 钱宝琮 ）先生重新校定后又增补了数术记遗。28 中国传统数学最辉煌的时期是（ 宋元 ）时期。29 （ 十九 ）世纪的数学：是数学发展的第三个黄金时期。210 现代数学的特点之一是：（ 集合论）成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研究基本的数学结构。211 现代数学的特点之一是：集合论成为各个数学分支的基础，纯粹数学转向研究基本的（ 数学结构 ）。212 毕达哥拉斯学派的一位学生希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现其对角线不能用整数之比来表示，即证明了不可（ 公度 ）量的存在。这种新数的发现，打破了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比的形式。212 无理数的发现导致了西方数学史上的第一次危机，致使以后（ 数域 ）的扩张，从而为数学的发展做出了巨大的贡献。213 关于无穷，庄子中的著名的论断：“一尺之棰，日取其半，（ 万世不竭 ）。”214 芝诺认为世界上变化着的万物都是不真实的，唯一真实的东西只是他的老师巴门尼德所谓的“唯一（ 不动 ）的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“静”而不是“动”。215 芝诺的著名悖论“二分法”主要要说明是：（ 运动 ）不存在。216 1650年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，使数学进入了变量时代，但当时的微积分理论还不是很严密，例如关于实无穷小量，产生了严重的逻辑困难，即贝克莱悖论，因而导致了第（ 二 ）次数学危机。217 现代数学是建立在实数理论和与它相联系的（ 集合论 ）的基础上的。218 1902年的（ 罗素 ）悖论是这样的一个问题，即“由一切不包含自身的集合所组成的集合”是否包含自身的问题。219 集合论的问题在于：有时包括的范围太大，有时又涉及到（ 自身 ），因此不可避免地要产生矛盾，由此导致了第三次数学危机。220 为了使罗素悖论通俗化，罗素在1919年提出了著名的（ 理发师 ）悖论。221 古希腊的数学家亚里士多德创立了逻辑学，即运用基本概念和命题作为逻辑（推理 ）的前题，使数学知识系统化。222 古希腊时期，产生了以欧几里德原本为代表的数学著作；使数学进入了（公理）化。数学哲学与数学史第三周复习资料31 逻辑主义学派的代表人物罗素和怀特海在19101913年合写了三卷巨著数学原理中，认为数学的本质是逻辑，认为数学可以从逻辑导出，所以是逻辑的延拓，或者说数学是逻辑学的一部分，是逻辑学的一个分支。他们的名言是：“逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成年时代。”并认为：“数学中的概念和定理都可以从逻辑概念或逻辑（ 命题）出发，经由明确的定义或逻辑的演绎推理而得出。”32 逻辑主义者建立全部数学的方案是：力图从逻辑（公理）和逻辑概念出发建立全部数学。33 直觉主义者建立全部数学的方案是：试图以（可构造）性为标准改造全部数学。34 形式主义学派的代表人物德国的希尔伯特建立全部数学的方案是：开辟了新的数学领域“证明论”，即“（元数学）计划”及“有限证明”在有限步之内把命题以纯形式的形式推导出来。35 哥德尔不完备性定理说的是：在任何包含（初等算术）的相容的公理系统中，一定有相应的命题无法证明其真伪；而这些命题与系统本身是相容的。36 哥德尔不完备性定理经过罗素的改进后，得到了更一般的结果：在一个足够丰富的形式系统内，其无矛盾性和（完备）性是不可能兼得的，二者只能取其一。37 能有效削除集合论悖论的两大有代表性的公理体系是（ZF）公理系统和NBG公理系统。38 （ZF）公理系统避免集合论悖论的方法是“弃盾存矛”，即保留了任何集合都可以做任意扩张，但排斥了大全集。39 （NBG）公理系统避免集合论悖论的方法是“弃矛存盾”，即保留了一切集合的集合，但不允许再进一步扩张，即不能以其为元素构成集合，因此也避免了悖论。310 由选择公理，波兰数学家Banach于1924年提出了（分球）怪论，即把一个球一分为二，由选择公理得，两部分与原球都相等，这样次后，有个小部分与原球一样大。311 形式主义对中国数学教学的影响非常大。对此，西南师大代数学教授陈重穆先生提出：“淡化形式，注重（实质）。”312 数学中的本体论主要是讨论数学到底是主观的，还是客观的；是经验的，还是先验的；数学的研究对象是独立的实体还是（抽象）的形式等方面的问题。313 中国古代数学家们关于数学本体论的观点主要体现在九章算术中，其序中有：“昔在庖羲始画八卦，以边神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合（六爻）之变。”即朴素的经验论。314 波普尔的第三世界学说是指，我们所研究的东西可以分为三个世界：物质世界、主观世界、不依赖于个人的（意识形态）的全体。315 关于数学证明的严密性，英国数学家Hardy说：“我们对证明不能抱以一个有什么客观标准的态度，严格的意义在很大程度上是一种（指指点点）。”316 数学中的逻辑方法主要是（数理）逻辑。317 数学证明的两大功能为核实和（理解）。318 关于逻辑在数学中的作用，H.Weyl说：“逻辑是数学家为了保持（思想）健康而遵守的卫生法则但并不是说，数学的目的是为了培养逻辑。”319 关于逻辑在数学中的作用，Lebesgue说：“有了新的发现，就需要引进逻辑化的（控制），逻辑的作用再重要，毕竟是次要的。”320 关于逻辑在数学中的作用，F.Klein说：“数学的进展，主要归功于那些以数学（直觉）而著称的人，他们多于那些以严谨证明而著称的人。”321 法国拓朴学家Thom说：数学论文应该有三种标志：摇篮这种数学论文是在发展中的，是不成熟的，但却是有创意的；（十字架）证明性的文章，比较死板的；教堂评论性的文章。这样数学才能蓬勃发展活跃的思维，严格的证明，评论。322 中学数学固然能培养逻辑思维能力，但最重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学（观念）、数学意识、数学方法。323 洪加威的（例举）法证明给恒等式的证明提供了很宽泛的空间。324 目前，中国数学学派（用计算机证明）的主要代表人物是：吴文俊，石赫，（张景中），杨骆，洪加威等人。325 1970年代以来，吴文俊开始研究计算机证明问题，他所提出的机械化方法，国外称之为“（吴）方法”。吴文俊研究的几何定理的机器证明，适用于某一种几何的所有定理，只要依照他所说的方法机械地进行，在有限步之后，就可以对整个一类定理得到统一的证真或证伪，而且不分难易。数学哲学与数学史第4周复习资料41 古埃及的记数法，是以十为基数的（象形）文字。42 古埃及的记数法中，一共有（8）个基本符号，分别代表了1，10，100，1000，10000，100000，1000000，10000000等几个数字。43 古埃及的书写材料是（纸草），是一种盛产于尼罗河三角洲(Nile delta)沼泽地带的水生植物，含有丰富的纤维，把这种草的茎沿纵向剖成小薄片，压平晒干而成，故也是英文“paper”一词的语源。44 古埃及是世界上最早采用十进制的国家之一，但由于没有采用（位置）计数法，给计数带来了麻烦。45 现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃及的数学资料，它们都产生于约-1700年左右，分别是（莫斯科）纸草和兰德纸草。46 现今保存下来的有两卷纸草书记录了古埃及的数学资料，它们都产生于约-1700年左右，分别是莫斯科草和（兰德）纸草。47 古埃及人的计算技术具有（迭加）的特点，因为他们发现，任何一个自然数都可以由2的各次幂的和组成。48 古埃及人的计算技术具有迭加的特点，因为他们发现，任何一个自然数都可以由2的各次（幂）的和组成。49 单位分数的广泛使用成为（古埃及）数学的一个重要而有趣的特色，他们将所有的真分数都表示为一些单位分数的和的形式。410 兰德纸草书(Rhind papyrus)中的有些问题显示了埃及人运用（加倍）程序与单位分数概念而展开的熟练的计算技巧。411 兰德纸草书(Rhind papyrus)中的有些问题显示了埃及人运用加倍程序与（单位分数）概念而展开的熟练的计算技巧。412 古埃及有渐进的代数，但叙述方式是非符号的，即（文词）代数阶段，很少引用符号。413 古埃及人把方程中的未知数称为（堆）。414 在解方程中，古埃及人所用的解法实质上是一种算术方法，先假设一个特殊的数作为“堆”的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案。这也就是现在所谓的（假位）法。415 兰德纸草书(Rhind papyrus)第50题说：假设一直径为9的圆形土地，其面积=边长为8的正方形土地。这表明古埃及人已经知道圆的面积公式了，这相当于取=（3.1605），误差为0.6%。416 古埃及几何学的最高成就是他们已经得到了（正四棱台）的体积公式。417 加法运算和（单位）分数始终是古埃及算术的砖块，这使古埃及人的计算显得笨重繁复。418 古代非洲的尼罗河蕴育了（古埃及）文明。419 西亚的底格里斯河(Tigris R)和幼发拉底河(Euphrates R)蕴育了（古巴比伦）文明。420 古巴比伦人的书写材料是（泥板）。421 古巴比伦人用断面呈三角形的笔或者用尖芦管在湿泥板上刻出一些痕迹，这些痕迹被称为（楔形）文字。422 古巴比伦人的计数法，是用（二）种基本的符号来表示所有的数字。423 古巴比伦人的计数法采用的是（60）进位制。424 在古巴比伦人的算术运算中已经有了乘法（分配）律的萌芽。425 古巴比伦人长于计算，这不只与他们优良的记数系统有关。巴比伦的学者还表现出发展（程序）化算法的熟练技巧。他们创造了许多成熟的算法，开平方根计算就是有代表性的例子之一。426 -2000年，古巴比伦人已能使用代表抽象概念的代数语言。由于许多代数问题都与几何有关，所以他们常常用“长”，“宽”，“（面积）”来代表未知数和它们的乘法等。427 早期巴比伦代数中的一个基本问题是：求一个数，使它和它的（倒数）之和等于一个给定的数。428 现存于哥伦比亚大学的普林顿第322号泥板上据推测是许多组的（毕达哥拉斯）数。429 约公元600年前后，古印度就有了十进制和（零）的出现和使用。430 古印度数学最广为人知的成就是创造了现代的十进位（位值）制。数学哲学与数学史第五周复习资料中国传统数学部分51 中国传统数学的一个显著特点是：“历史悠久，长期发达，风格独特，知识丰富，成就杰出。” 正如日本著名数学家三上义夫所说：“以（算术）之发达，包含如此之伟大文明中而有如此长久之历史，世纪诸国未尝有也。”52 中国传统数学的四次高峰分别是：西汉末期，三国到南北朝中期，隋到唐中期，（北宋）中期到元中期。53 史记“夏本纪”中曾记载说：夏禹治水，“左（规矩），右准绳。”这是中国传统数学在早期几何学的应用。54 西汉末期的九章算术一书，标志着中国古代（数学体系）的形成。55 九章算术的出现，标志着中国古代数学体系的形成。在这个基础上，到了魏晋南北朝时代，中国古代数学又有了新的发展。这一发展，根据流传至今的资料来看，可以说是由（赵爽）的周髀算经注开始，经过刘徽九章算术注等工作，而以祖冲之父子的著作为这一时期数学发展的最高峰。这是继两汉之后中国古代数学发展过程中的又一个高峰。56 九章算术的出现，标志着中国古代数学体系的形成。在这个基础上，到了魏晋南北朝时代，中国古代数学又有了新的发展。这一发展，根据流传至今的资料来看，可以说是由赵爽的周髀算经注开始，经过（刘徽）九章算术注等工作，而以祖冲之父子的著作为这一时期数学发展的最高峰。这是继两汉之后中国古代数学发展过程中的又一个高峰。57 九章算术的出现，标志着中国古代数学体系的形成。在这个基础上，到了魏晋南北朝时代，中国古代数学又有了新的发展。这一发展，根据流传至今的资料来看，可以说是由赵爽的周髀算经注开始，经过刘徽九章算术注等工作，而以（祖冲之）父子的著作为这一时期数学发展的最高峰。这是继两汉之后中国古代数学发展过程中的又一个高峰。58 在中国历史上，刘徽用圆的内接正多边形去逼近圆，首次将极限的概念用于近似计算圆周率的方法被后人称为（割圆术）。59 中国古代虽然没有三角学，但刘徽在其名著（海岛算经）中，主要是利用相似的直角三角形的性质以及勾股定理，很好地解决了有关测量的问题。510 祖冲之计算出圆周率小数点后（6）位的准确值，保持世界记录近1000年。打破记录的人是法国数学家魏泰，他将表示成无限乘积，是西方第一个超越祖冲之的人。511 祖冲之计算出圆周率的方法写在他的著作（缀术）一书中，可惜现已失传。512 两个几何体体积相等的祖暅原理说的是：“缘（幂势）既同，则积不容异。”513 赵爽在周髀算经注中，利用（出入相补）原理证明了“勾股定理”。514 赵爽在周髀算经注中，利用出入相补原理证明了（勾股定理）。515 中国在唐朝时期，建立了国家的数学教育机构。656年，国子监设立了（算学）科，设有算学博士和助教，共招生30人，其课本为九章算术等。516 唐朝的（李淳风）先生整理了包括九章算术等在内的十部算经，被称为“算经十书”。517 中国传统数学的极盛时期是十到十四世纪的（北宋）中期到元中期。518 著名的宋元四大家指的是：秦九韶、（朱世杰）、李冶、杨辉四人。519 甲骨文是人们已经发现的中国最早的文字，是一些刻在甲骨上的商代文字，这些由“甲骨文”所组成的词句叫（卜辞）。就已经发现的甲骨文来说，当时商代人所使用的单字，就已经达到5000个左右，其中也包含有数字。520 对于数学而言，甲骨文只能记录（结果），而不能记载算法和运算过程。521 在人类文化进步的历史上，许多民族都曾有过各自不同的计算工具，而（算筹）则是中国古代所特有的一种计算工具。522 关于算筹，（汉书）一书中说，其算法用竹，径3分，长6寸。523 关于算筹记数法，（孙子）算经一书中说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”524 关于算筹记数法，（夏侯阳）算经一书中说得更清楚：“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当，满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”525 中国古代这种用筹来进行计算的方法，究竟是从什么时候开始的，现在还找不到可靠的材料来做精确的说明。不过可以相信，至迟在（春秋战国）的时候，人们已经可以十分熟练地运用算筹来进行计算了。在流传至今的那个时代的某些书籍中，便已经用到了“筹”字。526 中国古代的算筹记数是一种十进（位值）制的记数法。527 墨经中关于平行的定义为：平，同（高）也。528 墨经中关于中点的定义为：中，同（长）也。529 墨经中关于圆的定义为：圆，一中，（同长）也。530 墨经中关于点的定义为：端，体之无（厚）而最前者也。531 墨经中关于正方形的定义为：方，柱隅（四）护也。532 墨经中关于体积的定义为：厚，有所（大）也。533 墨经中关于有穷的定义为：穷，或有前，不容（尺）也。534 墨经中关于无穷的定义为：莫不容（尺），无穷也。535 关于必要条件，墨经中关于说：小（故），有之不必然，无之必不然。536 关于充分条件，墨经中关于说，大（故），有之必然。537 在墨经中提出了关于普通逻辑的三种形式：“以名举实，以辞抒意，以说出故。”其中，“辞”指的是（判断）。538 庄子共33篇，其文字优美想象丰富，主要是辩论哲学，在庄子中记载了多条名辩，也可以从数学的意义上去理解，其中著名的是：“飞鸟之景，未尝（动）也”。539 庄子一书中提出了无穷大和无穷小两个概念，它们分别是“至大无外”和“至小无（内）”。540 由于缀术一书已失传，1963年，（钱宝琮）先生重新校定了“算经十书”，增补了数术记遗。541 （周髀）算经是公认的我国最古老的算书。542 周髀算经一书实际上是从数学上讨论（盖天）说的宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。543 从数学上看，周髀算经主要的成就是分数的运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于（勾股定理）的论述最为突出。544 关于勾股定理，在周髀算经一书中曾记载有周朝初年的周公问于商高曰：“故折（矩）以为勾广三，股修四，径隅五。”545 关于勾股定理，在周髀算经一书中曾记载有荣方问于陈子：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘并开方除之，得斜至日从髀所旁至（日）所十万里。”546 关于圆周率的结果，在周髀算经一书中有“周三（径）一”之说，即取圆周率为3。547 流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作是（九章算术），它是从周、秦以至汉代中国古代数学发展的一个总结性的，同时也是一部代表性的著作。548 周髀算经中虽然已包含着相当高的数学知识，但它毕竟主要讲述天文学方面的知识，还算不上一部数学方面的专门著作。流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作是（九章算术），它是从周、秦以至汉代中国古代数学发展的一个总结性的，同时也是一部代表性的著作。549 九章算术约成书于（西汉）末年到东汉初年之间，约-1世纪前后。550 九章算术的内容十分丰富，全书采用（问题集）的形式，收有246个与生产生活实践有联系的应用问题和解题方法。551 九章算术的内容十分丰富，收有246个与生产生活实践有联系的应用问题和解题方法。其中每道题有“问”，“答”，“（术）”三个部分。552 九章算术的内容十分丰富，收有246个与生产生活实践有联系的应用问题和解题方法。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，（勾股）九个章节。553 在九章算术的第一章方田中，有计算两个整数最大公约数的（更损相减）法，与欧几里德原本中的辗转相除法如出一辙。554 在九章算术第五章商功中，给出了许多体积的准确公式及名称，其中上、下底面都是长方形的棱柱被称为（刍童）。555 在九章算术第五章商功中，给出了许多体积的准确公式及名称，其中三个侧面皆为梯形的楔形体被称为（羡除）。556 在九章算术第七章中有一题为：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”这是一类（盈不足）问题。557 九章算术第八章方程，是讲一次联立方程组的消元法。这是世界数学史上的光辉篇章，特别是这里引进了（负数）及其运算法则，在世界上是领先的。558 九章算术的理论体系是以（计算）为中心，全部理论以寻求各种应用问题的普遍解法为中心课题，与古希腊Euclid几何所追求逻辑完美形成了鲜明的对照。559 （孙子）算经的成书年代不十分清楚，它被公认为我国第三部最古老的算书。560 孙子算经的三大特色：、道出了我国古代度，量，衡的标准与制度；、道出了算筹数字的组织方法与运算规则；、它解决了一个（不定解析）的问题，这个问题的解决，是世界上最早的。561 孙子算经下卷第26题“物不知其数”说：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答曰：“23”。 术曰：“三三数之余二，置140，五五数之余三，置63，七七数之余二， 置30；并之，得233，以210减之即得。 凡三三数之余一，置70，五五数之余一，置21，七七数之余一，置15；以105减之即得。”并付有解法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花二十一枝，七子团圆正（月半），除百零五便得知。562 现存的（夏侯阳）算经共三卷，83个问题，大多是当时社会生活中各方面的计算问题。值得特别指出的是此书中明显地表现出对筹算制度进行改良的倾向，这种倾向，从唐末时起，经过五代十国，再经过宋元一直不曾间断，最后终于在公元14世纪明朝中叶产生了新的计算工具算盘。563 王孝通在辑古算经中介绍了一种求三次方程的正根的方法，被称为（开带）从立方法。564 海岛算经：亦名（重差），原系三国时魏人刘徽注释九章算术时，为了补充勾股章的不足，而增附于其后的资料，唐代鉴定“算经十书”时，始将其与九章算术分离，冠以海名。566 关于正负数加减法的运算法则，刘徽指出：同名相除，异名（相益），正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。567 九章算术的开方术中特别令人惊异之处，是指出了开之不尽的情形。刘徽指出：开之不尽者为不可开，当以（面）命之。568 在开平方中，对“开之不尽”的数，刘徽用十进分数不断逼近，他称之为“求（ 微数）法”，即“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”569 刘徽对勾股定理证明的图形已失传，只留下一句话：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之（幂）。”570 早期九章算术中仍沿用“周三径一”之说，刘徽创立（割圆）术之后，改变了圆周率落后于古希腊的局面。571 对于割圆术，刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所（失）矣。”572 北宋沈括的梦溪笔谈一书中的主要数学成就有“（隙积）术”和“会圆术”，即高阶等差级数求和及弓形弧长的计算。573 北宋沈括的梦溪笔谈一书中的主要数学成就有“隙积术”和“（会圆）术”，即高阶等差级数求和及弓形弧长的计算。574 秦九韶，1202-1261，字道古，自称是鲁郡人，其实他本人生于四川。“性机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究。”于1247年完成了流传至今的杰出著作（数书九章）。575 秦九韶的（大衍）求一术术是介绍联立一次同余式组的解法问题。576 对于解高次方程，秦九韶创立了“（正负）开方术”，即求高次方程正根的一般方法，并且给出了求方程近似根的方法。这与英国数学家霍纳1819年创立的霍纳法基本一致。577 秦九韶给出了由三边求三角形面积公式，与熟知的希罗公式等价，被称为（三斜）求积。578 关于贾宪杨辉三角，在杨辉所著的详解九章算法一书中有一“开方作法本原图”。杨辉指出，此图系“出自（释所）算书，贾宪用此术”。579 元代的（朱世杰）可以算是第一位职业数学教育家。他在1303年著四元宝鉴，主要讲述多元高次方程组的解法和高阶等差级数求和的问题。580 朱世杰的四无术和（天元）术是中国数学的最高成就，朱世杰以后，中国数学开始进入低谷。数学哲学与数学史第六、七周复习资料古希腊数学71 泰勒斯是希腊最早的哲学学派（爱奥尼亚）学派的创始人，也是最早留名于世的数学家和天文学家。72 泰勒斯是希腊最早留名于世的数学家和天文学家，被尊称为希腊（七贤）之首。73 （泰勒斯）是古希腊科学的鼻祖，他第一次冲破了超自然的鬼神思想的羁绊，去揭示大自然的本来面目。74 泰勒斯对数学所做出的最主要贡献是，他开创了命题的（几何）证明。就是利用一些公理或真实性业已证明的命题来论证某一命题真实性的思想过程。它标志着人类对客观事物的认识从经验上升为理论，这在数学史上是一次不同寻常的飞跃。75 毕达哥拉斯学派的基本课程被称为（四艺）。76 毕达哥拉斯学派的基本课程是：算术数的绝对理论，（几何学）静止的量， 音乐数的应用， 球面学运动的量。77 对于勾股定理，现在至少有三种不同的理解，当然表达方式也不同：（1）、直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形；（2）、直角三角形两个直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积；（3）、直角三角形斜边上的长度的平方等于两个直角边长度平方之和。这三种提法的意义是不相同的，第一种不妨称为“形的勾股定理”，后两种称为“数的勾股定理”。毕达哥拉斯当时怎样理解这个定理呢？根据他对数的认识，似乎应该是第（一）种。78 关于形数，毕达哥拉斯学派发现了许多有趣的结论，如：任何一个正方形数都是两个（相邻）的三角形数之和。79 关于形数，毕达哥拉斯学派发现了许多有趣的结论，如：第n个五边形数等于第（n-1）个三角形数的（三）倍加上n。710 关于形数，毕达哥拉斯学派发现了许多有趣的结论，如：从1开始,任何两个相继的奇数之和是（完全平方）数。711 毕达哥拉斯给出的前三个完全数分别是：6，（28），496.712 毕达哥拉斯给出的第一对亲和数是（220）和284.713 毕达哥拉斯发现并证明了5种正多面体，它们分别是正4，6，8，（12），20面体。714 毕达哥拉斯发现了正（五）边形和相似多边形作图法，并研究了黄金分割。715 毕达哥拉斯学派在数学上最卓越的贡献是（不可通约）量的发现，从而导致了第一次数学危机。716 毕达哥拉斯还是（音阶）研究的鼻祖。他发现，对于有同样张力的绳子，为了使音高8度，长度要从2变为1：高5度要从5变为2：高4度要从4变为3。717 古希腊的众多学派中，最早具有现代大学规模与模型的是（柏拉图学院）。718 至公元592年,罗马教皇（查士丁尼）下令关闭止，柏拉图学园前后共维持了共九百年之久。719 柏拉图虽然不是数学家，但他深信，从事数学研究能培养人的思维能力，因此是那些哲学家和那些要治理他的理想国的人所必备的基本素养。在学院门口有一块牌子：“不懂（几何）者不得入内！”，足见其重视几何学的程度。720 柏拉图学园是早期毕氏学派和后来长期活跃的（亚历山大里亚）学派之间的纽带。721 在数学方面，柏拉图坚持严密定义和逻辑证明，促成了数学的（科学）化。722 数学中的演绎证明是从（柏拉图）时代开始的。723 柏拉图创立了一种新的证明方法，即（分析）法，也称为归谬法：假定待证的命题为真，然后由此推导出一些结论。若得出矛盾，则待证的命题不成立；若得出一个已知真理，则把分析的步骤倒过来，于是命题得证。724 几何学轨迹思想的创立，要归功于（柏拉图）。725 欧多克斯是柏拉图学园的精英之一，他在数学上的主要贡献是创立了关于比例的一个新理论和用于确定曲边形面积或曲面体体积的（穷竭）法。这些成果被收录到原本中。726 门奈赫莫斯是柏拉图学园的精英之一，他是系统研究（圆锥）曲线的第一个人。他得到了抛物线、椭圆和双曲线的一支。727 泰特托斯是柏拉图学园的精英之一，他在数学上的主要贡献是提出了（无理数）理论的基本思想，后被收录到原本的第十、十三卷中。728 柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论、特别是理念论分不开的。他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系。因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的（图形）。729 J.策策斯在史书中这样赞扬阿基米德道：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造者，终生研究（几何），活到75岁。”730 被称为“数学之神”的古希腊数学家是（阿基米德）。731 数学史家贝尔说：“任何一张列出有史以来三个最伟大数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两位通常是牛顿和（高斯），不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景相比，还应首推阿基米德。”732 阿基米德在解决“金冠之谜”时，通过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体（静力）学的第一定理，也就是阿基米德原理：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量。733 在阿基米德的墓碑上没有留下名字，而刻着球内切于（圆柱）的图形，以资纪念。因为阿基米德发现这两个立体的表面积和体积比皆为2/3。734 关于阿基米德之死，数学家哈代说：“阿基米德将被人们记住，而哀斯奇勒斯将被遗忘，因为语言会死，而（数学思想）则不。” 735 阿基米德的数学著作众多，最重要的几部是：论球与圆柱，论螺线，抛物线（弓形）面积求积法，论圆锥线体和类球体，圆和度量，平面图形的平衡及其重心等。736 在论圆锥线体和类球体一书中，阿基米德开辟了一条用（圆锥曲线）解三次方程的道路，后来传入阿拉伯，影响很大。737 在圆的度量一书中，阿基米德得到了如下结论：圆面积与其外切正方形面积之比为11:14；相当于取=（22/7），这是他从圆的内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到圆的内接正96边形而得到的结果。738 在圆的度量一书中，阿基米德得到了如下结论：圆的周长与直径之比小于（22/7）而大于223/71。739 阿基米德利用（穷竭）法研究椭圆、双曲面、抛物面被一平面所截的体积，与现代的“积分法”十分相似，这是积分的早期来源之一。740 在论圆锥线体和类球体一书中，阿基米德得到了如下的结论：旋转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部分的体积等于同底等高的（圆锥）体体积的3/2。741 如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条曲线这种曲线后来称为“阿基米德（螺线）”。742 （数沙器 ）是阿基米德留下来的唯一一部算术著作，也可能是最后的一种。文章首先表明写作的目的，是要纠正有些人的错误的观点，他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷的，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德指出，任何大的数都可以表示出来。743 在数沙器一书中，阿基米德以（万）为单位，建立新的记数法，使得任何大的数都能够表示出来。744 在抛物线弓形求积法一书中，阿基米德得到了如下结论：抛物线弓形面积等于同底等高的（三角形）面积的4/3。745 在论球与圆柱一书中，阿基米德得到了如下的著名结论：若有两个量a，b满足ab，则一定存在一个自然数n，使nab 。这是连续公理中的重要公理之一，被称为（阿基米德）公理。746 欧几里德的原本是一本划时代的巨著，其伟大的历史意义在于用（公理法）建立起演绎体系的最早典范。747 欧几里德本人的原本手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。其中最重要的人是（塞翁）的修订本，对原本作了校订和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础。748 1482年，欧几里德的原本以印刷本的形式在（威尼斯）出版，这是西方最早印刷的数学书。在这之后到19世纪末，原本的印刷本用各种文字出了一千版以上。从来没有一本科学读物象原本那样长期成为广大学子传颂的读物，它流传之广，影响之大，仅次于基督教的圣经。749 关于欧几里德的原本的版本和流传，目前最权威的版本是丹麦的海伯格和门格注释的（欧几里德全集），是希腊文和拉丁文的对照本。750 关于欧几里德的原本的版本和流传，现在最流行的标准英译本是英国人（希斯）注释的欧几里德几何原本13卷。751 原本汉译本的前6卷是于明代1607年，由意大利传教士利玛窦和（徐光启）合译出版的，他们翻译了前6卷，从此打开了中西学术交流的大门，称为“明译本”。752 关于欧几里德的原本的版本和流传，中国最早的汉本是明代1607年时由意大利传教士利玛窦和徐光启合译出版的，他们所根据的底本是德国人（克拉维乌斯）校订增补的拉丁文本。753 原本汉译本的后9卷是于1857年，由英国人韦亚烈和李善兰共同翻译的，称为“清译本”。754 韦亚烈和李善兰共同翻译原本后9卷时所根据的底本是英国人（巴罗）的15卷英译本。755 欧几里德本人的原本手稿共（13）卷，共计463个命题，其中包括54个作图题。756 欧几里德在原本的第一卷中，首先给出了23个定义，以及5个公理和5个（公设）。757 欧几里德原本的第7，8，9三卷讲的是初等数论，其中，在第9卷中有一个著名的（算术）基本定理：任何大于一的整数都能以一种且本质上仅有一种方法表示成素数的乘积。758 欧几里德原本也有一些局限和不足，例如，广泛地运用了图形的重合和运动，从而暗用了图形的运动（不变）性。759 欧几里德原本也有一些局限和不足，例如，两直线或直线与圆必有交点，这是运用了直线或实数的（连续）性。760 为使原本更易于学生的“学”和教师的“教”，1794年法国数学家（勒让德）就原本中的几何部分作了较大的修改，编成了新欧几里德几何原本。761 阿波罗尼奥斯继前人之大成，于-204年著（圆锥曲线），是一个不朽的丰碑，也是古希腊几何登峰造极之作，将这种曲线的性质网罗殆尽，使后人几乎没有插足的余地。直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔，才有实质性的推进。762 在阿波罗尼奥斯之前，圆锥曲线的研究已有一百多年的历史，它是由（倍立方体）问题引起的。763 在阿波罗尼奥斯之前，圆的直径被定义为过圆心的弦，使这一概念的推广受到限制。阿波罗尼奥斯从另一角度设法推广，他以平行弦（中点）的轨迹引入直径，则使这一概念更广泛更深入甚至更意外的推广。764 阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的性质的论述，实际上包含了（微分）几何和射影几何思想的萌芽。765 阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的性质的论述，实际上包含了微分几何和（射影）几何思想的萌芽。766 给定三点或三直线或三个圆，或在点，直线，圆中任选三个已知元素，求作一圆过已知点与已知直线或圆相切， 这就是著名的阿波罗尼奥斯（切触）问题。767 古希腊最重要的几何学著作是几何学家希罗所著的（度量学），全书共三卷，是R.舍内于1896年才在君士坦丁堡发现的。768 在希罗的几何名著度量学中，给出了一个求非完全平方整数的（平方根）近似值的所谓希罗方法。769 在希罗的几何名著度量学中，给出了一个求非完全平方整数的平方根近似值的所谓（希罗）方法。770 （帕普斯）是是古希腊后期亚历山大里亚学派的最后一位数学家。771 帕普斯的唯一的传世之作（数学汇编）共8篇，现存后6篇。这是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义。有许多古希腊数学的珍贵资料是由于本书的记载而得以保留的。772 帕普斯在其（数学汇编）一书的第七篇中，给出了一些概念和定理，为17世纪射影几何的研究提供了线索。773 著名的帕普斯定理是说，若A,B,C与A,B,C分别是两条直线上的三个点，则AB.BC,CA分别与AB,BC,CA的三个交点（共线）。774 （数学汇编）被认为是古希腊数学的安魂曲。帕普斯之后，古希腊数学开始衰落。775 托勒密的系统三角学著作（天文学）大成，以文笔简洁和隽永而著称。在此书中，托勒密总结了在他之前的古代三角学知识，为三角学的进一步发展和应用奠定了基础。776 首次将圆周分成360度，角的度量采用60进制的古希腊数学家是（托勒密）。777 托勒密所制作的三角学的弦表实质上给出了从0度到90度每隔15分的角的（正弦）。778 托勒密所制作的三角学的弦表的数学原理实际上是一条现在称之为托勒密定理的几何命题：“在圆内接四边形中，两对角线之（积）等于两对边乘积的和。”779 丢番图的数论专著（算术）主要讲述各种一、二、三次方程的问题解法。780 丢番图的数论专著算术实际上是代数数论的（解析）处理，特别以不定议程的求解而著称。781 现在，只准求有理数解的不定代数问题被称为（丢番图）方程。782 （丢番图）是采用代数符号的第一个人，他所采用的步骤具有速记缩写的性质。783 在丢番图之前，所有的代数问题都是用文字来叙述的。丢番图创用的一些记号，虽然还只具有缩写的性质，却不失为代数符号的开端。这种类型的代数被称为“（简写）代数”，是真正的符号代数出现之前的一个重要阶段。784 古希腊的三大几何难题分别是（倍立方体）、三等分角和化圆为方。785 用没有刻度的直尺和圆规做图的古希腊的三大几何难题，是由于（希波克拉底）的研究和倡导，成为古希腊一段时期研究的主题。786 古希腊人虽然没有能够解决三大作图问题，但是他们的探讨却引出了许多重要的发现。例如，研究化圆为方的问题引出了（穷竭法），安丰蒂用圆的内接正多边形逼近圆的面积的方法来化圆为方。787古希腊人虽然没有能够解决三大作图问题，但是他们的探讨却引出了许多重要的发现。例如，由倍立方体问题引出并发现了三种（圆锥）曲线。门奈赫莫斯指出，倍立方体问题可以转化为求一条线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题，从而引出这三种曲线中的两种。数学哲学与数学史第10、11周复习资料欧洲中世纪的数学1、公元前47年，罗马统治者（凯撒）大帝纵火焚毁了停泊在亚历山大里亚港的埃及舰队，大火延及该城，殃及图书馆，代表着希腊文明的大量藏书和50万份手稿付之一炬，这是历史上最大的文化浩劫之一。2、公元以后，基督教兴起，传播日益广泛，被奉为罗马帝国的国教，基督教的领袖们排斥异教的学问，鄙视天文、数学和物理。他们的口号是：“不许沾染（希腊）学术这个脏东西。”3、历史上第一位女数学家、科学家、哲学家，也是最富传奇色彩的古代女数学家（海帕西娅），同时也是亚历山大里亚的最后一位数学家，她的父亲就是亚历山大的（赛翁）当时知名的学者和教师，曾就教于亚历山大博物院。4、女数学家海帕西亚崇尚自由，她坚信“（理性）是真知的唯一源泉。”5、海帕西亚的被害预示了在（基督）教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学