第二章 流体力学控制方程及其分类.ppt

第二章流体力学控制方程及其数学分类 2 1计算流体力学控制方程 2 动量方程 为粘性应力张量 1 连续方程 一 基本守恒律方程 3 能量方程 二 守恒型控制方程 对于理论分析 采用守恒或非守恒变量 守恒方程或非守恒方程 通常没有本质的差别 但在离散的数值计算中 守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别 尤其是求解含激波等弱解问题时 故方程的守恒性是计算流体力学中 必须特别注意的问题 三 直角坐标系下的守恒型方程 不计质量力 或质量力有势 理想流体 若考虑粘性 则 四 控制方程的无量纲化 当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时 不同类型的微分方程 其数值处理方法各异 其中包括定解条件提法的适定性 物理解的性质 差分格式的适用性等 在一些特殊的问题中 甚至通过差分格式的特技巧来改变方程的数学性质 2 2流体力学控制方程组的分类 一 二阶线性偏微分方程分类 其中a11等系数均不是u及其导数的函数 判别式 二 一阶拟线性微分方程组的分类 对于一阶拟线性微分方程组的向量形式 其中 U为n阶向量 A为n阶矩阵 若 A的特征值为 n个特征值全部为复数时 称方程在 t xi 平面上为纯椭圆型 n个特征值全部为互不相等的实数时 称方程在 t xi 平面上为纯双曲型 而当n个特征值全部为实数 但有部分为相等的实数时 称方程 t xi 在平面上为双曲型 n个特征值全部为零时 称方程在 t xi 平面上为纯抛物型 n个特征值部分为复数 部分为实数时 称方程在 t xi 平面上为双曲椭圆型 5 n个特征值部分为复数 部分为重根时 称方程在 t xi 平面上为抛物椭圆型 整体上属椭圆型 6 n个特征值部分为相异实根 部分为重根时 称方程在 t xi 平面上为双曲抛物型 整体上属抛物型 三 流体力学控制方程数学分类的举例 1 一维非定常Euler方程 双曲型 2 二维定常Euler方程 写成向量形式 求矩阵C的特征值得 如果 3 二维非定常Euler方程 求C的特征值 结论与定常相同 得到在X Y平面的方程性质 求D的特征值 得 为四个实根 即方程在x t平面为双曲型 所以Euler方程可以在时间座标方向推进 而在定常问题中能否推进计算 必须根据流动是否为超音速 M与1的关系 来定 4 定常不可压缩Navier Stokes方程 降阶法 令 令 矩阵A的特征值为 其中 对应新变量f h 因此 定常不可压N S方程为椭圆型 5 二维定常可压NS方程 定常可压NS方程是双曲椭圆型 采用降阶法分析 利用边界层流动的概念 设x方向为主流方向 即考虑有 定常N S方程经此处理后 变为抛物型方程 6 抛物化N S方程 把流动方向的二阶偏导数略去 适定性 保证所研究的偏微分方程 组 定解问题的存在 唯一 并且连续依赖于定解条件 对于普遍的一阶拟线性偏微分方程组而言 定解条件的准确投放 仍是一个没有完全解决的问题 2 3偏微分方程定解条件的提法 一 不同数学类型偏微分方程定解条件的提法 1 椭圆型偏微分方程 第一类边界条件 Dirichlet问题 第二类边界条件 Neumann问题 第三类边界条件 Robin问题 2 双曲型偏微分方程 解域中存在特征线 提纯初值问题可以 提边值问题要结合特征线走向 3 抛物型偏微分方程 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 2 4模型方程以及在计算流体力学中的应用 1 模型方程的引入 简化对差分格式的性质的讨论及考核 必须反映物理问题的最基本的特征 且方便于进行理论分析 例如动量方程 模型方程可以简化为 Burgers方程 二 几个典型的模型方程 其中前4个方程为线性方程 可求出解析解 后两个方程为非线性方程 也可以求出解析解 单波方程 热传导方程 Burgers方程 Laplace方程 非线性Burgers方程 非线性单波方程 Burger方程的解析解 1 粘性系数 时为无粘方程 解 时 可令未知函数具有如下的形式 2 其中是待定的二阶可微分函数 将其代入 1 式 得 代入 1 则得 不妨设为满足抛物方程的解 即 3 将的解代入 2 式 即给出了Burger方程的解析解的一般形式 若的初始条件为 则由 2 给出的对应于的初始条件是 由 3 给出的Burger方程的通解是 再代入 2 可得的解析解 特别指出 粘性Burg