第09讲 电场线 电通量 真空中的高斯定理.ppt

请把学习中遇到的问题发到我的邮箱 mxgao 7 4电场强度通量高斯定理 一电场线 电场线是为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线 电场线上某点的切线方向为该点的场强方向 通过电场中某点垂直于场强的单位面积的电场线根数等于该点电场强度的大小 不形成闭合回线也不中断 而是起自正电荷 或无穷远处 止于负电 或无穷远处 任何两条电场线不相交 说明静电场中每一点的场强是唯一的 二电 场强度 通量 通过电场中某一曲面的电场线的条数叫做通过这个曲面的电场强度通量 简称电通量 用 e表示 2匀强电场在平面上的电通量 平面S与E平行时 平面S与E有夹角 时 1定义 单位面积矢量的方向由面的边界按照右手螺旋法则确定 非闭合曲面 面积矢量 3非均匀电场在曲面上的电通量 先求面元dS上的通量 对于封闭曲面 闭合曲面取外法线方向 自内向外 为正 e 0 解 例题1 在均匀电场中 通过平面的电通量是多少 在垂直于的平面上的投影是多少 设匀强电场和半径为R的半球面的轴平行 计算通过半球面的电通量 例题2 解 过半球面的通量和圆形平面上的通量相同 若该半球面与圆形平面组成封闭面 则圆形平面的外法线方向与电场方向相反 一圆形平面处在点电荷的场中 其轴线与电场线平行 求过该圆形平面的电通量 例题3 解 此平面可视为以q为球心 q到平面边沿的距离R为半径的球冠的底 作侧面图分析 设q到平面的距离为a 圆形平面上的通量与球冠上的相同 冠高 三高斯定理 高斯 CarlFriedrichGauss1777 1855 德国数学家 天文学家和物理学家 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学 天文学和大地测量学等领域的研究 主要成就 1 物理学和地磁学 关于静电学 温差电和摩擦电的研究 利用绝对单位 长度 质量和时间 法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究 2 光学 利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像 建立高斯光学 3 天文学和大地测量学中 如小行星轨道的计算 地球大小和形状的理论研究等 4 实验数据处理 结合试验数据的测算 发展了概率统计理论和误差理论 发明了最小二乘法 引入高斯误差曲线 高斯在数学上的建树颇丰 有 数学王子 美称 1高斯定理 通过任一闭合曲面的电场强度的通量 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 与封闭曲面外的电荷无关 球面上各点的场强 情形1 通过一个与点电荷q同心的球面S的电通量 2证明出发点 库仑定律和叠加原理 该闭合曲面通常称为高斯面 球面上取面元 此结果与球面的半径无关 或者说 通过各球面的电场线总条数相等 从q发出的电场线连续地延伸到无穷远 情形2 包围点电荷q的任意封闭曲面 对于任意一个闭合曲面S 只要电荷被包围在S 面内 由于电场线是连续的 在没有电荷的地方不中断 因而穿过闭合曲面S 与S的电场线数目是一样的 由于电场线的连续性可知 穿入与穿出任一闭合曲面的电场线数量应该相等 所以当闭合曲面内无电荷时 电通量为零 情形3 场源电荷为点电荷 但在闭合曲面外 情形4 场源电荷为点电荷系 高斯面为任意闭合曲面 利用场强叠加原理可证 情形5 场源电荷为连续分布的带电体若带电体全部被曲面包围 则 若连续分布的带电体被曲面部分包围 则电通量的计算分为3个部分 曲面外部电荷的通量 ee 曲面内部电荷的通量 ei以及曲面上电荷的通量 eo 综合以上各种情形 高斯定理得证 3特别强调 过封闭曲面的通量由面内的电荷决定 是面元dS所在处的场强 由全部电荷 面内外电荷 共同产生的 封闭曲面内电荷代数和 闭合面内 外电荷 D 电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向 若将q 移至B点 则P点的场强和面S的通量是否变化 A 对场强有贡献的是 内部和外部的电荷 B 对通量有贡献的是 内部的电荷 C 若高斯面内的电荷代数和为零 则通过高斯面的电通量 高斯面上的场强 不一定为零 一定为零 高斯定理又叫通量定理 是描述静电场性质的基本方程 高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 它的应用范围比库仑定律更为广泛 表明电场线从正电荷发出 穿出闭合曲面 所以正电荷是静电场的源头 源 表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷 所以负电荷是静电场的尾 汇 静电场是有源场 四高斯定理应用举例 高斯定理的一个重要应用 计算带电体周围的电场强度 前提条件 场强分布具有一定的对称性求解关键 选取适当的高斯面 常见的具有对称性分布的源电荷 球对称分布均匀带电的球面 球体 多层同心球壳等 无限大平面电荷无限大的均匀带电平面 平板等 轴对称分布无限长均匀带电的直线 圆柱面 圆柱壳等 解题步骤 1 进行对称性分析电荷分布的对称性 分析场强分布的对称性 判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 2 根据场强分布的特点 作适当的高斯面 要求 待求场强的场点应在此高斯面上 穿过该高斯面的电通量容易计算 一般地 高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直 n与E平行时 E的大小要求处处相等 使得E能提到积分号外面 n与E垂直时 通量则为0 3 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和 4 由高斯定理求出场强 求均匀带电球面的电场 已知R q 0 解 例题4 作高斯面 球面 面内电量 用高斯定理求解 电场分布曲线 此时球壳可看做点电荷 对称性分析 带电球面周围的电场具有球对称性 求均匀带电球体的电场 已知q R 例题5 场强 解 对称性分析 带电球面周围的电场具有球对称性 作高斯面 球面 r R 电量 由高斯定理 场强 电通量 场强大小分布曲线 R 补偿法 均匀带电球内有一球形空洞 求空间电场分布 例题6无限长均匀带电直线的场强设有一无限长均匀带电直线 电荷线密度为 求距离直线为r处的电场强度 解 以带电直导线为轴 作一个通过P点 高为h的圆筒形封闭面为高斯面S 通过S面的电通量为圆柱侧面和上 下底面三部分的通量 其中上 下底面的电场强度方向与面平行 电通量为零 此闭合面包含的电荷总量 场强方向沿场点到直导线的垂线 指向由电荷的符号决定 P r 求均匀带电无限长圆柱面的电场 沿轴线方向单位长度带电量为 解 例题7 场具有轴对称性 取圆柱形高斯面 1 r R时 2 r R时 求均匀带电无限长圆柱体的场强分布 已知R 解 课堂练习 求无限大均匀带电平