第四章矩阵分解.ppt

北京科技大学 矩阵分解 2011年9月29日 刘冀伟 3 1矩阵的LU分解 定义3 1 1方阵A Cn n 存在下三角形矩阵L Cn n 上三角形矩阵U Cn n 称A可做LU分解 定理3 1 1A Cn n rankA n 则A可作LU分解的充要条件是A的k阶 k 1 2 n 1 顺序主子式不为零 定理3 1 2A Cn n rankA r n A的k阶 k 1 2 r 顺序主子式不为零 则A可作LU分解 3 1矩阵的LU分解 定义3 1 2方阵A Cn n rankA n 如果A LU 其中L是对角线元素为1的下三角形矩阵 U是上三角形矩阵 称A可做Doolitte分解 如果A LU 其中L是下三角形矩阵 U是对角线元素为1的上三角形矩阵 称A可做Crout分解 如果A LDV 其中L是单位下三角矩阵 D是对角阵 V是单位上三角矩阵 称A可做LDV分解 3 1矩阵的LU分解 定理3 1 3A Cn n rankA n 则A有唯一的LDV分解的充要条件是 k 0 k 1 2 n 1 此时对角矩阵的元素满足d1 1 dk k k 1 k 1 2 n 1 定理3 1 4A Cn n rankA n 则A有唯一的Doolitte或Crout分解的充要条件是 k 0 k 1 2 n 1 3 1矩阵的LU分解 计算问题 设A Cn n rankA n 3 1矩阵的LU分解 Doolitte分解的计算公式 3 2矩阵的满秩分解 定义3 2 1方阵A Cm n rankA r 若存在 F Cm r G Cr n st A FG 则称此分解为A的满秩分解 定理3 2 1方阵A Cm n rankA r 则A的满秩分解总是存在的 计算方法 方法一 F是P的前r列 G是Q的前r行 3 2矩阵的满秩分解 方法二 例 求A的LU分解 3 3矩阵的QR分解 定义3 3 1设u Cn是单位向量 即uTu 1 则称H I uuT为Householder矩阵 定理3 3 1方阵H Cn n是Householder矩阵 则 HH H Hermite矩阵 HHH I 酉矩阵 H2 I 对合矩阵 H 1 H 自逆矩阵 detH 1diag Ir H 是n r阶Householder矩阵 3 3矩阵的QR分解 定理3 3 2设z Cn是单位向量 则对任意x Cn 存在Household矩阵H 使得Hx z 其中 x 2 且 xHz为实数 定理3 3 3方阵A Cn n 有A QR 其中Q为酉矩阵 R为上三角矩阵 3 4矩阵的奇异值分解 定义3 4 1设A B Cm n是两个复矩阵 若存在酉矩阵U V使得UHAV B 则称A与B是酉相抵 酉等价 的 定义3 4 2设A Cm n是复矩阵 B AHA为Hermite矩阵 B特征值的平方根称为A的奇异值 定理3 4 1B AHA的特征值非负 定义3 4 3设A Cn n是复矩阵 称A为正规矩阵 如果有AAH AHA Schur引理方阵A Cn n 则存在酉矩阵U使得A酉相似于上三角矩阵 3 4矩阵的奇异值分解 定理3 4 2方阵A Cn n 则A是正规矩阵的充要条件是A酉相似于一个对角阵 定理3 4 3方阵A