北师大版高中数学（必修5）《第三章不等式综合小结》ppt课件.ppt

章末整合提升 一 知识结构 二 方法技巧1 不等关系与不等式 1 证明不等式成立最常用的比较法有以下两类 作差比较法 由a b 0 a b 所以要证a b 只需证a b 0即可 作商比较法 对不等式 1 当b 0时 a b 当b 0时 可得a b 但在用作商比较法时 作为除式的分母的值 必须有确定的符号 2 不等式的性质是证明不等式的理论基础 是解不等式的理论依据 在数学解题方法中无处不在 因此应熟练灵活地掌握并应用 特别是某些性质成立的条件 如a b c d ac bd 不要忽略a b c d是正值的条件 2 均值不等式在运用均值不等式时要特别注意 拆 拼 凑 的技巧 使其满足不等式中的 正 即条件要求中字母为正数 定 和或积为定值 等 等号取得的条件 要重视均值不等式的变用 逆用 在证明或应用均值定理解决一些较为复杂的问题时 需要同时或连续使用均值定理 这时要注意保证取等号的一致性 3 一元二次不等式的解法解一元二次不等式 应熟练掌握一元二次不等式与相应的一元二次函数的图像以及一元二次方程的根的联系 通过数形结合 准确地写出解集 有时也可以因式分解转化为一元一次不等式组求解 在解含有参数的一元二次不等式时 往往要进行分类讨论 引起讨论的情况主要有三种 1 对二次项系数为零与不为零 是正还是负进行讨论 以便确定解集的形式 2 对判别式 0 0 0进行讨论 以便确定相应的二次方程根的个数 3 对相应一元二次方程根的大小进行讨论 确定根的大小 以便写出解集 另外 当一元二次不等式二次项系数为负时 习惯上在不等式两边同乘以 1 转化为正值 再数形结合写出解集 4 不等式的应用不等式的应用包括不等式的理论和实际应用 理论应用主要表现在以下几个方面 1 不等式的解法在函数 方程中的应用 2 运用不等式求函数的最值问题 解答不等式应用题应注意以下几点 过事理关 读懂题意 过文理关 即把文字语言转化成数学符号语言 用代数式表示数学关系 过数理关 由实际问题向数学问题转化 构造相应的数学模型 即设变量时把最大值 或最小值 的变量定为函数 建立函数关系式 抽象为求函数的最值问题 在定义域内求最值 然后正确写出答案 5 二元一次不等式表示的平面区域平面区域判定的方法 直线定界 特殊点定域 确定二元一次不等式表示的区域的步骤如下 1 在平面直角坐标系中作出直线Ax By C 0 2 在直线的一侧任取一点P x0 y0 特殊地 当C 0时 常把原点作为此特殊点 3 将P x0 y0 代入Ax By C求值 4 若Ax0 By0 C 0 则包含此点P的半平面为不等式Ax By C 0所表示的平面区域 不包含此点P的半平面为不等式Ax By C 0所表示的平面区域 6 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 一般题设条件较多 解题时将所有的约束条件全部找出来 还应弄清约束条件与目标函数的区别 约束条件是解决实际问题时所受的限制条件 是可行域的数量关系的表现形式 而目标函数是实际问题所要求的目标指向 约束条件一般是不等式 而目标函数是一个等式 在约束条件下求目标函数的最优解 就是使目标函数取得最大值与最小值的可行解 一般用图解法解决 专题一不等式的应用思维突破 不等式的应用主要是 利用不等式求函数的定义域 值域 利用不等式求函数的最大值 最小值 利用不等式讨论方程根及有关性质 1 利用不等式求函数的定义域 值域 1 求函数定义域 首先要判断好函数的类型 依各种不同函数的要求写出含有x的不等式 如由几部分经加 减 乘 除等构成的函数 需求不等式组的解集 2 利用不等式求函数最大值 最小值 函数的最大值和最小值问题是中学数学中一个重要问题 解决函数最大值 最小值问题主要依据实数的有关性质 重要不等式及定理 函数单调性 有界性等 求函数最大值 最小值主要方法有公式法 利用重要不等式和算术平均数与几何平均数定理 配方法 判别式法 换元法等 求函数最大值 最小值一定要注意函数定义域 3 利用不等式讨论方程根及有关性质 用不等式讨论方程根的分布范围 具体的理论依据是以ax2 bx c 0 a 0 的判别式 b2 4ac和y ax2 bx c a 0 的对称轴方程x 的形式的一元二次方程的实根的分布规律 对于一元二次方程其他有关根的性质的讨论 要具体问题具体分析 一般借助二次函数图像的直观性 再利用根的判别式 求根公式 根与系数的关系等列出不等式 不等式组来解决 4 不等式的实际应用 不等式的实际应用是指用不等式解决生产科研和日常生活中的实际问题 这些应用问题大量的都是与函数的最大值 最小值有关 这样 问题也必然与不等式有关 解答此类应用题 一般可分为四步 1 阅读理解材料 2 建立数学模型 3 讨论不等关系 4 作出问题结论 例1 已知函数y f 2x 的定义域是 1 2 则函数y f log2x 的定义域是 A 2 4 B 4 16 C 0 1 D 1 2 分析 本题是两个方面的问题 1 已知f g x 的定义域 求f x 的定义域 2 已知f x 的定义域 求f x 的定义域 解析 y f 2x 的定义域是 1 2 1 x 2 2 2x 4 即y f x 的定义域是 2 4 2 log2x 4 4 x 16 函数y f log2x 的定义域是 x 4 x 16 答案 B 例2 2009 天津卷 已知函数f x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 解析 y x2 4x x 2 2 4在 0 上单调递增 y x2 4x x 2 2 4在 0 上单调递增 又x2 4x 4x x2 2x2 0 f 2 a2 f a 2 a2 a a2 a 2 0 2 a 1 故选C 答案 C 分析 这是一个求二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单调性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本不等式 对本题来说 因已知条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解不等式的途径进行 例4 某县投资兴建了甲 乙两个企业 1998年该县从甲企业获得利润100万元 从乙企业获得利润400万元 以后每年上缴的利润甲企业以翻一番的速度递增 而乙企业则减为上年的一半 据估算 该县年收入达到5000万元可解决温饱问题 年收入达到50000万元达到小康水平 1 若1998年为第1年 则该县从上述两企业获得利润最少的是第几年 这年还需另外筹集多少万元才能解决温饱问题 2 到2007年底 该县能否达到小康水平 为什么 专题二含参数的不等式的解法思维突破 在解含参数的不等式时 要注意依据参数的取值范围 对参数进行全面的分类讨论 以便圆满解决问题 对于确定参数的不等式问题 要充分利用不等式的解集来解决问题 分析 从表面上看这不是一个一元二次不等式 但我们可以把它转化为一个含有字母的一元二次不等式 针对二次方程根的情况进行讨论 从而得出不等式的解集 解析 原不等式可化为 x a x a2 1或aa2时 0 a 1 不等式的解集为 x a2 x a 综上所述 当a1时不等式的解集为 x a x a2 当a 0或a 1时 不等式的解集为 例6 解不等式 3k 1 x2 2 2k 1 x 2k 1 0 分析 1 2 6 的端点 2 6为 x2 4x 2m 0的两根 2 2 6 为 x2 4x 2m 0的解集的子集 解析 1 x2 4x 2m 0 x2 4x 2m 0 函数的定义域为 2 6 等价于不等式x2 4x 2m 0的解集为 2 6 x1 2 x2 6是方程x2 4x 2m 0的两根 由韦达定理知得m 6 解法2 x2 4x 2m 12 注意 g x 没有最小值 只有下限 12 2m 12 即m 6 3 由 1 的结论f x 是 1 1 上的增函数 且f 1 1 故对所有的x 1 1 有f x 1 据已知 对所有的x 1 1 a 1 1 f x m2 2am 1恒成立 应有m2 2am 1 1恒成立 即m2 2am 0 记g a 2am m2 对所有的a 1 1 g a 0成立 只需g a 在 1 1 上的最小值大于等于零 专题四求解恒成立不等式问题恒成立不等式问题是高考中一类常见的题型 解决这类问题的基本方法主要有判别式法 分离变量法 数形结合法 分类讨论思想 反客为主法 解析 4x2 6x 3 4 x 2 0 原不等式等价于2x2 2x 1 lgm0 因 式对任意实数x恒成立 6 2lgm 2 8 3 lgm 0 解得1 lgm 3 10 m 1000 例10 设f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解析 由题意 知不等式x2 2ax 2 a在x 1 上恒成立 令g x x2 2ax 2 a 则g x x a 2 2 a a2 若a 1 则x2 2ax 2 a 0在x 1 上恒成立 g 1 0 如下图所示 由g 1 0 得1 2a 2 a 0 解得a 3 所以 3 a 1 若a 1 则x2 2ax 2 a 0在x 1 上恒成立 g a 0 如下图所示 由g a 0 得2 a a2 0 解得 2 a 1 所以 1 a 1 综上可得 3 a 1 专题五线性规划应用问题 例11 某工厂的一个车间生产某种产品 其成本为27元 kg 售价为50元 kg 在生产的同时 每千克新产品产生0 3m3的污水 污水有两种排放方式 其一是输送到污水处理厂 其二是直接排入河流 环保部门对排入河流污水的收费标准为17 6元 m3 根据环保部门要求 该车间每小时最多允许排入河流的污水是0 225m3 该车间选择怎样的生产与排污方案可使其净收益最大 若污水处理厂的最大处理量为0 9m3 h 处理成本为5元 m3 而且只净化污水85 余下的污水仍排入河流 解析 设生产的产品为xkg h 直接流入河流的污水量为ym3 h 污水产生量为0 3xm3 h 污水处理厂的处理量为 0 3x y m3 h 处理后排放量为 1 85 0 3x y m3 h 车间产品成本为27x元 h 收入为50 x元 h 交排污费17 6 1 85 0 3x y y 元 h 所以每小时净收入为z 50 x 27x 5 0 3x y 17 6 1 85 0 3x y y 20 708x