电磁学第三章.doc

四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院课程名称电磁学授课专业物理学班级08级课程编号07060420211、2班课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（）；专业课（）选修课限选课（）；任选课（）授课方式课堂讲授（）；实践课（）考核方式考试（）；考查（）课程教学学时80学时学分5学分教材及主要参考书作者教材： 电磁学（第二版），高等教育出版社，2004年参考书：1电磁学（上、下册），人民教育出版社，1978。2新概念物理教程电磁学，高等教育出版社，1998。3物理学（电磁学），上海科学技术出版社，1979。4物理学（第二卷第一分册），科学出版社，1979。梁灿彬、秦光戎、梁竹健原著，梁灿彬修订赵凯华、陈熙谋赵凯华等复旦大学、上海师范大学物理系编哈里德瑞斯尼克著，李仲卿译学时分配第一章 静电场的基本规律（14+2学时）第二章 有导体时的静电场（8+1学时）第三章 静电场中的电介质（8+1学时）第四章 恒定电流和电路（5+1学时）第五章 恒定电流的磁场（11+1学时）第六章 电磁感应与暂态过程（15+1学时）第七章 磁介质（7+1学时）第九章 时变电磁场和电磁波（4学时）物理与电子工程学院章节名称第三章静电场中的电介质教学目的及要求使学生：（1）了解偶极子在电场中的受力情况，了解讨论电介质极化时所采用的“极化模型”及电介质极化机制，掌握极化强度矢量的意义；（2）在极化电荷概念的基础上，对电介质内部及表面上的极化电荷进行描述，并会求解电介质表面上的极化电荷面密度；（3）了解有电介质存在时场的讨论方法，掌握电位移矢量的意义及与电场强度矢量、极化强度矢量的区别和联系，会用电介质中的高斯定理计算电场；（4）掌握有介质时的静电场方程；（5）掌握电场能量、能量密度的概念并会求解电场的能量。教学重点与难点及处理方法重点：电介质极化的微观过程及宏观效果，有电介质存在时静电场的高斯定理及与真空中的高斯定理的区别与联系，电位移、电场强度及电场能量的计算难点：极化电荷体密度及面密度的推导过程，对有电介质存在时的高斯定理的理解及应用处理方法：课堂讲授、课后讨论、课后做习题等方式相结合讨论、练习、作业习题： 3.4.1；3.4.5；3.4.63.5.1；3.5.3；3.5.93.7.1；3.7.2教学内容第一节 概述： 宏观(量)与微观(量)的关系第二节 偶极子： 电介质的特点，中性分子与偶极子，偶极子在外电场中所受的力矩，偶极子激发的静电场第三节 电介质的极化：电介质的分类，位移极化与取向极化，极化强度的定义，极化强度与场强的关系第四节 极化电荷：极化电荷的定义，极化电荷体密度与极化强度的关系，极化电荷面密度与极化强度的关系第五节 有电介质时的高斯定理： 电位移矢量的定义，有电介质时的高斯定理及其应用第六节 有电介质时的静电场方程：真空中及介质中的静电场方程比较第七节 电场的能量：场能密度的定义及能量的计算 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。第三章 静电场中的电介质第一章讨论了真空中静电场的性质；第二章中，在静电场中引入了导体，讨论了静电场和导体的相互作用，从而了解了导体的静电持性；在这一章讨论静电场与电介质的相互作用，讨论电介质的静电特性。3.1 3.2 概述一、电介质（绝缘体）的特点1、特点导 体 中： 带电粒子为自由电荷（自由电子），可作定向移动；电介质中： 带电粒子为束缚电荷（非自由电子），不可定向移动。2、电介质由中性分子构成（分子又由更小的粒子组成）中性分子：分子中所有电荷（带电粒子所带的电荷量）的代数和为零。从微观角度看，分子中各微观带电粒子（也许很多）在位置上并不重合，而是分布于分子所占的体积中，只是从宏观上看显中性（正负电荷相等）。对其引入“重心模型”认为中性分子中所有正电荷和所有负电荷分别集中于两个几何点上，这两个点分别叫做正、负电荷的“重心”。但重心不一定重合。 条件是：考虑的场点与分子的距离远大于分子线度。（如点电荷模型的条件）二、电介质与偶极子1、偶极子两个相距很近而且等值异号的点电荷的整体叫做偶极子。2、在“重心模型”的近似下，中性分子=偶极子。3、偶极子在外电场中所受的力矩（外电场对偶极子的影响）（1）均匀外电场视偶极子为一个整体（力学系统），则它受力为零（正负电荷受力大小相等，方向相反，合力为零）。但两力的作用线不在一直线上，所以整个偶极子作为一个系统在外电场中的合力矩不为零。如图：二力大小相等，故合力矩（力偶矩）大小为：引入长度矢量： 上式写为矢量： 其中： 称为电偶极矩（偶极矩、电矩）可见：偶极子所受力偶矩力图使偶极子的电偶极矩转到与一致的方向上，从而使偶极子：合力为零，合力矩为零（达平衡）。（2）不均匀外电场 4、偶极子激发的电场（偶极子的主观表现）（1）延长线上P点场强。由迭加原理得：（大小）（方向如图）P1+qOx ()-qr在前面定义偶极子时，特别指明两个q“相距很近”，这就是说。在此条件下，忽略高阶项得：（2）中垂面上P点的场强由迭加原理得：可见：偶极子在其中垂面上及延长线上所激发的场强与p及r均有关：与p成正比，与r3成反比。yP2rxOl计算表明：(a) 偶极子在空间任一点激发的场强都与p成正比，与r3成反比。(b) p的作用很大。从偶极子所受的力矩的表达式及偶极子产生的场强的表达式中可以看出：它们均与物理量p（电偶极矩）有关，且都是成比关系，p对偶极子所起的作用与前面学习的电荷量q对点电荷所起的作用相当，是一个重要的物理量。3.3 电介质的极化一、极化的定义1、两个实验： P84如图：充电电容器（1）在AC之间加入导体B： 在AC之间放入静电计，测得的结果是，所以。即AC之间的总电容增加了，由知AC之间的电压下降了。分析：导体B置于静电场中，由于其静电感应电荷的存在，使两极板（电荷未变）间电场有所削弱，从而导致两板间电势差降低，所以电容增加。（2）在AC之间加入电介质B实验发现静电计仍出现电压下降的现象，只是没有（1）的程度大，所以电容CAC。分析：加入电介质后使CAC，的原因，也可用类似于（1）加入导体后的方法的解释：即仍然认为电介质放入电场中后，其表面也会出现正负电荷，类似于导体表面的感应电荷去削弱原有电场，从而导致，。2、电介质的极化在外电场作用下，电介质表面出现电荷的现象，这些电荷称为极化电荷。二、位移极化和取向极化（极化的微观机制）1、电介质分类 （1）无极分子电介质电介质中每个分子的正、负电荷“重心”在没有外场作用时彼此重合。如气态的H2、O2、N2等。此类分子的等效偶极子的偶极矩。（2）有极分子电介质每个分子的正、负电荷的“重心”在无场时也不重合。如气态的H2O，SO2，NH3等。此类分子的等效偶极子的偶极矩。因为分子不断作无规则的热运动，所以各个分子的偶极矩杂乱无章的分布，各个分子电偶极矩的矢量和平均说来等于0，使得宏观上不显电性。2、无极分子的位移极化（加入外场后）在外电场的作用下，介质中的无极分子的正、负电荷“重心”作了一个微小的位移，形成一个等效电偶极子（具有分子电矩），它们都沿着外电场的方向整齐地排列。在均匀电介质内部空间没有极化电荷，在垂直于外场方向的电介质表面上，分别出现正、负极化电荷，这些面极化电荷，产生宏观电场，显示电性。如下图：由于无极分子的极化在于正、负电荷重心的相对位移，故称为位移极化。介质两表面上出现的极化电荷不能离开电介质，也不能在电介质中自由移动，故也称为束缚电荷。（与导体中能自由移动的自由电荷相比而言）3、有极分子的取向极化对有极分子的电介质，在无外场时，每个分子的正、负电荷重心不重心，且有固有电矩，但分子作无规则运动，宏观不显电性。当外场时，每个分子的等效偶极子将由于力偶矩的作用而转向，力偶矩力图使每个偶极子的偶极矩转到与场强一致的方向。显然，愈大，转向外场方向的程度愈大。这种转向方向的现象称为取向极化。如下图：在均匀电介质内部空间没有极化电荷，在垂直于外场方向的电介质表面上，分别出现正、负极化电荷。注意：（1）有极分子在外场作用下，除了发生取向极化外，还要发生位移极化，只是后者比前者弱得多；（2）两类电介质极化的微观机理不同，但宏观效果却是相同的，都是在外电场作用下，均匀电介质表面上出现极化电荷，激发宏观电场，显示电性。我们主要从宏观上研究电介质的极化以及极化后电介质对电场的影响，今后不再区分位移极化和取向极化。三、极化强度在电介质中取一个物理无限小体积，其中有m个中性分子（m很大）：这说明：不论哪一类电介质，极化总意味着内分子的偶极矩的矢量和从零变为非零，且极化程度愈大时，越大。据此特点定义一个描述极化强弱的物理量叫做极化强度矢量：1、定义：P93电介质中某物理无限小体积中所有分子偶极矩矢量和与该体积之比，叫做该点（宏观点）的极化强度，记作。数学表示为：表示内第i个分子的偶极矩，求和从1到m表示遍及内的所有分子。2、讨论（1）无外场时（极化前）（2）为宏观的矢量点函数。在定义中取了一个物理无限小体积，物理无限小体积实际上就是一个宏观点。（3）均匀极化：如果电介质内各点的相同。例如真空介质，它是一种特殊的电介质，因为真空中内无分子（无），所以。（4）单位：库/米2四、极化强度与场强的关系由于外场的作用，电介质产生极化现象，因此很显然，极化强度应与电场强度有关。1、与的关系 P93 实验表明，在各向同性电介质中，每一点的极化强度与该点的场强方向相同且大小成正比，表示为：因、同向，故是正值，由电介质的性质决定，在国际单位制中：，而是一个常数，所以与一样由电介质的性质决定，称为电介质的极化率。 2、讨论（1）式中并非外电场，而是极化后介质中对应点的总场强。 (极化电荷产生的电场参与后面的极化过程)（2）称为电介质的极化率，是反映电介质中每一点的性质的物理量。若介质中各点值相同则称为均匀电介质。（3）电介质分为：电介质由于其内在结构不同可分为“各向同性”和“各和异性”介质两种，本书主要讨论各向同性介质。（4）“各向同性”的含义介质中同一点，与的关系与方向无关。例如： A点： B点：如： 即是说：对电介质中同一点，不管场强方向如何（竖直还是水平），同一大小的场强总在自己方向上引起同样大小的极化强度。无其它方向的分量，或者说只有方向的分量。（5）对“各向异性”介质，与方向不同，其有关讨论见书上小字部分。（P94）这时不是常数，而是张量。3.4 极化电荷一、极化电荷电介质置于静电场中，会发生极化现象，在均匀电介质的表面上出现正负电荷；若介质不均匀，在电介质内某一物理无限小体积元（宏观点）内电荷量的代数和也可能不为零，即电介质内部也出现了宏观电荷（宏观上该点显电性）。定义：由于电介质的极化而在介质内部或表面上出现的宏观电荷叫做极化电荷，这些宏观电荷不能离开电介质，也不能在电介质内自由移动，故也称为束缚电荷。二、极化电荷体密度与极化强度的关系1、的关系在介质中取一任意形状的体积，的边界面为S，下面求内的极化电荷量。若趋于物理无限小，则比例就是该点的极化电荷体密度。分析：电介质由中性分子组成，而中性分子又等效为一个偶极子（），对而言，整个偶极子都处在内时，对极化电荷是无贡献的，只有那些被的边界面S截为两段的偶极子才对极化电荷有贡献。假设：在S上取一个小面元，其上与该点同向，并假设与面元法向夹角为。很小：认为其上各点相同，并认为附近的偶极子都有相等的电荷量q及（即有相等的电矩），即与平行。手段：在两侧作两个与平行的面元及，它们与的垂直距离都为。、加上两个侧壁围成一个夹层，显然，中心在夹层内的偶极子一定被所截，对极化电荷有贡献，中心在夹层外的偶极子对无贡献。具体求解：设介质中单位体积内的分子数为n，则夹层的体积为，中心在夹层内的偶极子数（分子数）为：，所贡献的电荷量为：说明：（对上式中的“”号） （1），所截偶极子的负电荷（q）留在内，此时加“”号以保证；（2），所截偶极子的正电荷（+q）留在内，此时加“”号以保证。又 ，为单位体积的电偶极矩的矢量和（） （3）对S积分得内的极化电荷总量：（4）当很小时（物理无限小即宏观点），得该点的极化电荷体密度为： （点函数）2、证明：对均匀极化的介质（不要求介质均匀），=0 均匀（强）与各向同性谁强？证明：将均匀介质放入（充满）平行板电容器中，介质中各点相同，相同相同（均匀极化）。 在均匀极化介质中取一长方体，与垂直，显然，由于极化，只有AB和CD所代表的侧面才与偶极子相截：而处处相等（均匀极化），所以两侧面（AB和CD侧面）所截的偶极子数相等，亦即： 与等值异号这样，两侧面所截的偶极子，对所取的长方体而言，留在长方体内的电荷（所截偶极子的一部分）正好等值异号。这即是说：如果AB面所截偶极子把正电荷留在长方体内，则CD面所截偶极子必然把负电荷留在该长方体内，因而此长方体内极化电荷为零。由于长方体的任意性，可见均匀极化介质内部处处没有极化电荷，将长方体缩为物理无限小（就是一个宏观点），那么均匀极化介质内任一点=0。3、特例：对均匀介质（不要求均匀极化），只要该点自由电荷体密度为零（），（第5节小字部分给出证明P102）三、极化电荷面密度与极化强度的关系1、与的关系：针对两介质交界处，求交界面上的极化电荷面密度。 在两介质界面上取一小“薄层”（h很小的圆柱体），柱高h满足条件：，小“薄层”要取为物理无限小，即宏观上它可视为S面上的一宏观点，而微观上它却足够大，大到可以包含足够多的分子（偶极子）。此时，“薄层”内的极化电荷由三部分组成：分别由三界面所截偶极子而贡献。 又由 而 (相距很近) 因为h很小，当场点与薄层的距离远大于薄层的厚度h时，从宏观上可以认为就集中在几何面上，故上的极化电荷面密度为：介质2指向介质1的法向单位矢。2、讨论（1）几何面位于两种介质的交界面上，通常，所以。（2）若S面并非两介质交界面，而为均匀介质内一几何面：当介质均匀极化时，所以=0（3）介质1是真空（介质和真空的交界面上） 真空中 由介质指向真空无特别声明时空气均认为是真空，均有（4）介质1是金属（介质和金属的交界面上） 当上例中的电介质充满平行板电容器时，正是这种情形。对于金属（介质1）： （：介质指向金属）（5）两种介质的交界面上 （：由介质2指向介质1）总结：1、（1）极化率各点相同，为均匀介质 （2） 各点相同，为均匀极化2、极化电荷体密度 （1）对均匀极化的介质：（2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度 （第5节小字部分给出证明）3、极化电荷面密度 、分别为媒质2、1的极化强度，为界面上从21的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： ：电介质内的极化强度 ：从电介质指向真空或金属的法向单位矢。例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为。 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O为原点，极轴与平行的球极坐标，选球表面任一点A（这里认为置于真空中），则：由于均匀极化，处处相同，而极化电荷的分布情况由与的夹角而定，即是的函数（任一点的都是球面的径向）任一点有： 所以极化电荷分布：（2）求极化电荷在球心处产生的场强由以上分析知以z为轴对称地分布在球表面上，因此在球心处产生的只有z轴的分量，且方向为z轴负方向。在球表面上任意选取一面元，面元所带电荷量，其在球心O处产生场强为：其z分量为： （方向为z轴负方向）全部极化电荷在O处所产生的场强为：仔细点的方向为z轴负方向，大小为。3.5 有电介质时的高斯定理一、电介质中的场强电介质放入外电场中产生极化，电介质中的电场是极化电荷产生的附加电场和外电场的矢量和。即： +电介质中的电场不为零，但显著地被削弱了。如下图：二、电位移.有电介质时的高斯定理真空中产生电场的电荷是自由电荷。有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电荷，极化电荷也要激发电场。可见，有介质存在时，增加了新的场源电荷即极化电荷。但是，新的场源只改变原有静电场的大小，不改变静电场的性质。即对有介质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。1、有介质时的高斯定理通过前面分析，此时高斯定理应写为： （自由电荷加极化电荷）而 （电介质内部体积元内的极化电荷量） 即 在此引入辅助性矢量电位移矢量， 且： 则上式简化为： 上式叫做有电介质存在时的高斯定理。2、讨论（1）式中不含，使计算和讨论得到简化，即可由求，再由求。（2）定义 （普遍适用于各种介质）而 （用于各向同性介质）则 （用于各向同性介质）可见：由和可求得，而且：与方向相同，大小成正比。A令比例系数： 称为电介质的绝对介电常量。B真空中的绝对介电常量： C电介质的相对介电常量 （P102给出了一些电介质的相对介电常量，是一个无量纲的纯数）D由此得：（对各向同性介质）（3） A说明在S面上的通量等于S内的自由电荷量，与无关，但本身与和均有关。B如=0，则说明：对S面上的通量为0，但不一定为0；S面内不一定无极化电荷和自由电荷，只是的代数和为0。（4） 简洁对称，可与真空中的高斯定理类比。真空中：，这就是真空中的高斯定理，有介质时的高斯定理是真空中的高斯定理的推广，也可以说真空是介质的一个特例，真空是特殊的介质。例1：书P103例题1半径为R，电荷量为的金属球埋在绝对介电常量为的均匀无限大电介质中，求电介质内的场强及电介质与金属交界面上的极化电荷面密度。解：（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P点作一个半径为r与金属球同心的球面S为高斯面，S上各点的大小相等且沿径向，由高斯定理得： 因 ，得：（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单位矢（由介质指向金属），则： 而又 故 讨论：（1），故交界面上与（）始终反号：为正，则为负；为负，则为正。（2）交界面上的极化电荷总量为：即 ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。（3）交界面上的总电荷量为：这说明总电荷减小到自由电荷的倍。（4）把介质换为真空，则场强为，此式与前面有介质时的结果比较知：充满均匀介质时场强减小到无介质时的倍：例2（补充）：类似于P104例题2平行板电容器两极板面积S，极板上自由电荷面密度，两极板间充满电介质、，厚度分别为d1、d2，求各电介质内的电位移和场强；电容器的电容。解：（1）如图，由对称性知介质中的及都与板面垂直。在两介质分界面处作高斯面S1，S1内自由电荷为零，故有得 D1=D2为求电介质中和的大小，作另一高斯面S2，对S2有：而 （2）正负两极板A、B间的电势差为： （此电容值与电介质的放置次序无关）也可理解为两电容的串联： =结果3.6 有电介质时的静电场方程一、（真空中）静电场的基本方程 （对任意闭合曲面） （对任意闭合曲线） 二、有电介质时静电场的基本方程 附加电介质的性能方程：（各向同性介质）已知自由电荷qo分布，电介质的分布及各种电介质的，由此三方程可求得、。书上小字部分自学。（讨论了、在边界上的情况）3.7 电场的能量前面讨论了带电体系的静电能，带电体系的能量是存在于电荷上还是存在于电荷产生的整个电场中呢？大量理论和实际表明，能量定域在场中。有了场的观点后，就可将静电能量用场量和