数理金融第7章 期权的基本价格关系.doc

第七章 期权的基本价格关系期权（option）是一种金融衍生证券，它赋予其持有者在未来某一时刻或者这一时刻之前以合同规定价格购买或出售特定标的资产的权利。期权的标的资产可以是一种实物商品，也可以是公司股票、政府债券等证券资产，我们的分析主要将集中在以证券资产为标的物的期权上。期权有两种基本的形态：买权（call option，或译为看涨期权）和卖权（put option，或译为看跌期权）。前者赋予持有者在未来购买标的资产的权利，后者则赋予持有者在未来出售标的资产的权利。期权合同中规定的标的资产买卖价格称为履约价格（strike price, 或exercise price）。要注意履约价格是预先写在合同中的，与履约时标的资产的市场价格是两回事事实上期权的价值就在于这二者之间的差。同时，还有另一个价格期权本身的价格，你支付这个价格后就获得了在未来以某一价格购买或出售标的资产的权利。合同指定的履行时刻或者最终期限称为到期日（maturity）。在世界上最大的期权交易市场芝加哥期权交易所交易的期权允许合同持有者在到期日及之前任何时刻行使他的权利，这是所谓的美式期权。另一种主要出现于理论文献中的期权称为欧式期权，它规定持有者只能在到期日那一时点行使其权利。第7.1和7.2节在市场交易无摩擦、经济个体充分理性的条件下分析期权价格的上下限；第7.3节在标的资产价格呈二项分布情况下建立了一个简单的欧式买权定价模型。期权定价的一般模型布莱克斯科尔斯模型将在下一章介绍。7.1 期权价格的合理限界以后我们都假设期权市场不存在任何形式的税收和交易费用。我们通常以开始时刻定为0，当前时刻记为。记为时刻标的资产的市场价格，为期权的履约价格，为到期日。以和分别代表一份欧式买权和一份美式买权在时刻的价值，以和分别表示一份欧式卖权和一份美式卖权时刻的价值。在一个无税收和交易成本的完全竞争经济中，它们就是期权的市场价格。如果你买了一份某种股票的欧式买权，你未来的选择将非常简单。在你可以执行合同的时刻，你会观察到该股票的市场价格是。如果这个市场价格低于期权履约价，你不会执行合同以价格去购买这种股票，因为你可以在那个时刻的现货市场上以较低的价格买到它。只有在时，执行手中的买权才会有利可图。如果恰好有，无论作什么样的选择都不会有差别，此时期权的价值是0。如果你手上持有的是一份美式买权，问题的关键变为选择在何时执行你的权利，而这不是一个简单的问题。即使某一时刻标的资产价格很高，按履约价购买这种资产后随即在市场上卖出就可以获得丰厚的利润，但在到期日到来之前股价可能还会进一步上涨。无论如何，的情况下你绝不会执行合约，无论美式买权在何时执行，必要条件是。由期权的定义，我们可以归纳列出以下期权价格的基本性质：性质1 任何情况下期权的价值都是非负的： ，性质2 在到期日，美式期权与欧式期权的价值相同，并且有 性质3 对于美式期权，有 性质4 其他条件不变的情况下，后延到期日将提高美式期权的价值。即是说，如果，则 性质5 美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值，亦即 性质6 其他条件相同时，履约价越高，买权价值越低，卖权价值越高。换句话说，如果，则 性质7 任何一份买权的价值都不可能高于标的资产的当前价格： ，性质8 性质9 标的资产的价格为零时买权的价值也是零： 性质1（性质1 任何情况下期权的价值都是非负的： ，）反映的只是期权持有者没有一定要执行其权利的义务这一事实。期权投资者只有在执行合约能获得额外的利益时才会这样做，其他情况下他可以简单地令其作废。无论标的资产的市场价格震荡幅度有多大，投资者的最大损失仅限于他一开始付出的期权价格。为此，这个性质又称为期权持有者的有限责任性质。性质2（性质2 在到期日，美式期权与欧式期权的价值相同，并且有 ）直接来自各种期权的定义，前面已经对其原理作了说明。要注意的是这个性质描述的美式期权仅是它们在到期日这一特殊时刻的价值。图7.1显示了性质1和性质2。C, c450XSP, p450XS图7.1 买权和卖权在到期日的价值性质3（性质3 对于美式期权，有 ）指出了美式期权价值在任一时刻的下界，其理由是当这个关系不成立时，人们会不断增加对于期权合同的需求，并且立即执行获得净利润。这就导致期权的价格上升，直到这样的关系式成立为止。在前面也作了解释。欧式期权不存在类似的性质，因为它们不能在到期日之前执行。虽然到期日之前一样有欧式期权交易，但投资者关心的是其标的资产在到期日的市场价格能否超过其履约价，而不是比较股票现在的价格与期权履约价。性质4和性质5（性质4 其他条件不变的情况下，后延到期日将提高美式期权的价值。即是说，如果，则 性质5 美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值，亦即 ）来自这样一个普遍的原则：额外的选择权利不会对个体有任何伤害。如果期权让个体拥有在今后一个月内任何时刻以100美元购买一股微软股票的权利，期权让个体拥有在今后两个月内任何时刻以100美元购买一股微软股票的权利，购买期权不仅买到了期权的所有权利，同时还取得了在第二个月内执行买权的权利，这种额外的选择机会意味着期权有更高的价值，标的资产在两个月内上涨的机会终究比它在一个月内上涨的机会多，上涨幅度也可能更大这就是性质4。性质5基于同样的原理：在其他条件相同的情况下，欧式期权限制执行日在到期日那一天，美式期权除了在到期日，在之前的任何一天都可以执行，这种选择的灵活性决定了它比相应欧式期权有更高的价值。性质6（性质6 其他条件相同时，履约价越高，买权价值越低，卖权价值越高。换句话说，如果，则 ）是非常明显的，不用更多的解释。性质7（性质7 任何一份买权的价值都不可能高于标的资产的当前价格： ，）来自无套利原则。如果一份买权的价格高于其标的资产的价格，我们出售一份这样的买权，同时在市场上购买一股标的股票，立即获得正的即时价差。不仅如此，我们还能在将来获得进一步的利润：如果这份买权的买方在某一时点需要执行他的买权，我们简单地将手中的股票给他，收取履约价；如果他最终放弃其买权，我们手上还有价值的股票。下表以欧式买权为例更明白地显示了这种套利组合，表中最后一行是各种情况下的净收益。由于均衡情况下不可能存在套利机会，买权的价格必然不会超过其标的资产的价格。第 一 天 到 期 日 卖出买权，获买进股票，成本对方执行买权对方放弃买权如果我们无限地后延到期日，并且将履约价降至零，得到一份允许你不费分文就能得到标的资产，而且对执行期限不作任何限制的期权。性质8（性质8 ）表明这份期权的价格将达到性质7中的买权价格上限标的资产的当前价格。这个性质同样来自无套利原则：如果这里描述的美式买权的价格低于其标的资产的市场价格，那么简单地买进这份期权并执行它，再将股票在市场上卖出就能获得利润。由于这样的套利机会是与市场均衡条件不相容的，这份期权的价格必然不会低于其标的资产的市场价格。性质9（性质9 标的资产的价格为零时买权的价值也是零： ）十分简单：因为没有人愿意支付一分钱去交换一份购买无价值的标的物的权利，由期权持有者的有限责任性质（性质1），标的物价格为零时其买权的价值也是零。如果在到期日之前标的资产不发放股利，还可以将期权价格进一步确定在更小的范围内。性质10 若在到期日之前标的资产不发放股利，欧式买权的价格不会低于股价减履约价的现值。在连续折现的情况下，记无风险利率，这就是： 证明：在时刻考虑这样一个投资组合：卖空一股标的股票，买进一份买权，再在无风险资产市场贷出元现金。这个资产组合的当前成本是 到了时刻，收回贷款获（本利之和）： 如果，用收回的贷款按履约价购进股票，轧平此前卖空的股票头寸，上述组合的总收益是0；如果，放弃买权，在股票市场上以市场价购买股票轧平股票头寸，组合的盈余为。 图7.2 买权的可行区域（阴影部分）由于上述组合在时收益为0，在时收益为正，只要出现的概率（不执行期权的概率）不是零，这个组合的成本必然也是正的，所以有 如果不执行期权的概率为零，不等号变为等号。证毕。性质10在无股利发放条件下对买权价格作了更进一步的限制。图7.2显示了性质1、性质7和性质10对买权价格的限制。因这三个性质，可行的买权价格将局限于图中阴影区域内。注意这个图与图7.1并不矛盾，因为图7.1是在到期日的期权价值，而这里显示的是期权的当前价格。性质10还表明，无风险利率水平通常也会影响期权价格。如果某只股票的市场价格是50元，而你持有以此为标的资产的一份履约价30元、期限1年的买权。由简单的计算可知，在5%的利率水平下，这份期权的价格下限是21.43元；但如果利率是10%，同一份期权现在的价格将不可能低于22.73元。性质10的上述证明过程可以帮助解释其中的道理：为构造一个包括买权和贷款（以及卖空股票）的非负收益投资组合，利率越高，为未来收回1元贷款所需的最初贷款成本越低，从而此时的买权价格也越有吸引力。7.2 期权价格关系上一节讨论的期权基本性质确定了期权价格的上下限，这一节将推导期权价格的进一步性质。我们的分析将主要针对欧式期权进行，所以除了特别说明，以下所说的期权都是指到期日为的欧式期权。并且，为了进一步简化记号，假设当前的时刻为，简单地将当前的标的资产价格记为。这样，将前面的记号简化为，将简化为，到期日的标的资产价格记号仍然使用。性质11 如果，则 证明：考虑一种投资战略：在无风险市场上贷款，卖空一份履约价为的欧式买权，买入一份履约价为的买权。这个投资组合的当前成本是 在时刻，收回贷款获，以上投资组合的收益根据标的股价的不同分三种情况：(1) 。此时组合中两份期权都不会执行，组合收益就等于 (2) 。放弃手中的买权，按承诺在市场上购买股票并以履约价将其出售给向你购买买权的人，这将带来损失，但组合的总收益是 (3) 。兑现手中的买权，在情况(2)的基础上增加收益，组合的总收益是 可见，在所有可能的情况下，上述组合在到期日所得的收益都是非负的，从而其成本必然也是非负的： 而且，如果第3种情况（）出现的概率是零，严格不等式成立。证毕。性质12 买权价格是履约价格的凸函数。换言之，对任何，以及任何，必然有 其中证明：构造资产组合：购买份履约价为的买权，同时购买份履约价为的买权，出售一份履约价为的买权。该组合的当前成本是 由于时不等式显然是成立的，不失一般性，假设，从而有。在到期日，各种不同情况下的收益是 由于这个收益总是非负的，最初的组合成本必然也是非负的，这就得到了要证明的不等式。证毕。性质13 如果一个股票投资组合中各股票的头寸都是正的（无卖空股票），则以该股票组合为标的资产、履约价为的买权价格，不会超过分别以其中单只股票为标的资产、履约价为的买权按相同比例构成的期权组合的价格。证明：考虑一个包含只股票的投资组合，其中股票的构成比例为，满足 记股票的当前价格和在时刻的价格分别为和。这个股票组合现在和时刻的价格分别是： 和 以此股票组合为标的资产、履约价为的买权在到期日的价值是： 由于是是凸函数，我们有 当所有都相等时等式成立。注意到是以股票为标的物、履约价为、到期日为的买权在到期日的价值。由于投资上述“期权的组合”在到期日将获得较投资“组合的期权”更高的收益，它当前的成本（价格）自然较高，这就是： 证毕。实际上，根据额外选择不会带来任何损害的原理，这个性质很容易理解。对单只股票的买权组合允许持有者选择执行组合中的一些买权和放弃另一些买权。必要的时候，持有者当然也可以选择执行所有的买权或者放弃所有的买权这恰好就相当于一份以相同构成比例的股票组合为标的资产的买权。可见，“期权的组合”与“组合的期权”的不同在于前者增加了执行部分买权的选择权，这决定了它较高的价值。唯一的例外是，如果所有相等的概率为1，即是说股票组合中所有的股票在到期日都必然有相同的价格，那么包含在“期权的组合”中的单独选择权将毫无意义，此时它与“组合的期权”的价值相等。性质14(买卖权平价定理) 如果在到期日前标的资产不发放股利，则欧式卖权的定价等于欧式买权价格加履约价的折现值并减去股票的当前价格： 证明：考虑这样的投资组合：购买一份买权，在无风险市场上贷出元现金，同时卖空一股标的资产，其成本是 在时刻，如果股价小于履约价，则放弃手中的买权，以无风险市场上收回的贷款中的一部分在市场上购买一股股票平仓，收益是；如果到期时的股价不低于履约价，则执行买权，收回的贷款恰好可以购买一股票轧平头寸，收益是。综合两种情况，这个组合在时刻的收益可以写为，这恰好就是同一标的资产和履约价的卖权在同一时刻的价值（注意如果有股利发放，二者并不相等）。这说明二者最初的成本（价格）应该相等： 证毕。性质15 如果在到期日前不发放股利，美式买权不会提前执行。证明：由性质10及性质5，不难推知对一份美式买权，在不发放股利的情况下存在不等式： 如果美式买权在时刻执行，所得的收益是。只要，总有 从而提前执行美式期权不可能是持有者的最优选择。这个性质多少有些令人感到意外，因为它意味着无股利情况下美式买权与欧式买权定价是相同的。必须格外警惕的是，由于实际生活中一般的公司都发放股利，此时这个结论并不成立，因为履约价是固定的，并不随股票价格一起反映所发放的股利。如果一个公司宣布本月30日实施每股3元的股利发放，30日前和30日后执行该公司股票的买权所获的收益也大致会相差3元。性质16(美式期权的买卖权平价定理) 证明：先看标的资产不发放股利的情况。根据性质15，此时美式卖权的价值与欧式卖权相同：；但由于性质5，。套用欧式买卖权平价等式（性质14），立即得到要证明的不等式。如果标的资产在到期日前发放股利，则美式买权提前履约可能是最优的。考虑任一时刻的这样一个投资组合：购买一份美式买权，在无风险市场上贷出元现金，同时卖空一股标的资产，其成本是 无论该资产组合中的美式买权在任何时刻履约，组合的价值都等于 该不等式成立是因为时。由于同一标的资产上的美式卖权在任何时刻的价值都是非负的，所以其成本必然高于上述资产组合的成本： 综合上面两种情况，美式买卖权平价不等式得到证明。7.3 期权定价：二项分布模型前两节初步刻画了期权价格的上下限，并建立了各种期权价格间的一般关系。这一节我们要在标的资产价格呈二项式分布变化的特殊假设下，具体地推导欧式买权的定价公式。二项式模型的内在定价机制构成了下一章定价公式的基础。先考虑一个单期定价的简单情况。假设时间作离散变化，并且只有一期，即，当前时刻为。一份欧式买权的标的股票现在的市场价格为，其未来价格只有两种可能值：上涨至或者下跌至： 即是说只有两种未来状态，股票上涨和下跌的概率分别是和。假设无风险收益率居于和之间，否则会出现套利机会。以该股票为标的资产、履约价为的欧式买权的当前价格记为（目前是未知的，我们希望确定其合理的水平）。在到期日，这份买权的价值也对应两种情况： 利用第5.6节的风险资产无套利定价原则，我们可以定义自然状态的风险中立概率（在完备市场中）： ， （7.1）其中是状态的状态价格，满足 期权的当前价格等于它以计算的期望收益按无风险利率计算的贴现值： （7.2）由于和都是已知的，只要知道各个状态价格，按（7.1）式计算出风险中立概率，期权定价问题就解决了。为此，我们可以以无风险资产和股票构造基础证券：购买一股股票，同时借一笔在时刻偿还元的现金，注意这笔借款目前价值是元。该组合的投资成本是 在时刻，其价值是 所以这个组合实际上是相当于=支基础证券，从而状态的状态价格必然是 （7.3）同样的手法可以求出状态的状态价格： （7.4）将代入（7.1）式，置换（7.2）式中的风险中立概率，得到 （7.5）我们也可以不通过状态价格，直接利用无套利条件推导这个定价公式。构造一个风险对冲组合（riskless hedge），使其最终产生无风险收益：卖出一份买权，购入股标的股票。在时刻，这个资产组合的收益在股票上涨和下跌的情况下分别是和。要使该组合是无风险的，需要这二者相等，在等式中解出组合中股票的头寸： （7.6）这样一来，该资产组合在时的收益将确定地等于 （7.7）根据无套利条件，该组合的收益率必然和无风险资产的收益率一致： 代入（7.6）式，在等式中解出期权的当前价： 即 这就是（7.5）式。接下来考虑两期模型。如果，标的股票每一期有两种可能的变动情况，且各期的涨跌幅度相同：或。如果目前它的价格是，它未来可能的价格如图所示： 定义在该股票上的买权价值也有类似的变动可能： 在时，买权的寿命还剩下一期，此时我们面对的问题与持有一份寿命为一期的买权