第六章 换面法2014.ppt

1 第六章投影变换 画法几何 2 6 1概述 投影变换 是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置或改变投射方向 以达到简化解题的目的 当要解决一般位置几何元素的度量或定位问题时 如能把它们由一般位置改变成为特殊位置 问题就往往容易解决 3 一般位置 利用平行性获得实长 4 利用平行性获得实形 特殊位置 5 利用积聚性获得实角 特殊位置 一般位置 6 利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集 特殊位置 一般位置 7 6 2换面法 换面法的基本概念 1 新投影面的设置原则 2 点的投影变换规律 3 六个基本问题 例题 8 问题的提出 如何求一般位置直线的实长 如何求一般位置平面的真实大小 换面法 物体本身在空间的位置不动 而用某一新投影面 辅助投影面 代替原有投影面 使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置 然后将物体向新投影面进行投射 解决方法 更换投影面 一 换面法的基本概念 9 被保留的投影面 被替换的投影面 10 X1 11 1 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置 平行于新的投影面 垂直于新的投影面 2 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系 二 新投影面的选择原则 12 点的一次变换 点的投影变换规律 点的两次变换 三 点的投影变换 13 A点的两个投影 a a A点的两个投影 a a1 新投影体系的建立 1 点的一次投影变换 14 ax1 V H X P1 H X1 a a a1 V H A a ax X a1 ax1 aa1 X1 a1 ax1 a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 ax a 一般规律 点的新投影和与它有关的原投影的连线 必垂直于新投影轴 新旧投影之间的关系 15 更换H面 V H X 由点的不变投影向新投影轴作垂线 并在垂线上量取一段距离 使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 a a ax ax1 ax1 更换V面 作图规律 求新投影的作图方法 16 新投影体系的建立 按次序更换 A a V H a ax X 2 更换两次投影面 17 a a X V H 作图规律a2a1 X2轴a2ax2 aax1 ax 求新投影的作图方法 18 1 把一般位置直线变换成投影面平行线 用P1面代替V面 在P1 H投影体系中 AB P1 空间分析 不行 作图 新投影轴的位置 与ab平行 四 换面法的六个基本问题 19 功用 一次换面后可用于求点与直线 两直线间的距离等 问题的关键 新轴要垂直于反映实长的那个投影 X1 一般位置直线变换为垂直线 2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线 20 空间分析 a b a b X V H 作图 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 X2轴的位置 与a1 b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线 3 把一般位置直线变换成投影面垂直线 21 22 功用 可求解平面与投影面的倾角 点与平面的距离 两平行面间的距离等 问题的关键 在平面上作一条投影面平行线 新轴必须垂直于该平行线反映实长的那个投影 4 把一般位置平面变换成投影面垂直面 23 一般位置直线变换成投影面垂直线 需经几次变换 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线 那么该平面则变换成新投影面的垂直面 空间分析 在平面内取一条投影面平行线 经一次换面后变换成新投影面的垂直线 则该平面变成新投影面的垂直面 作图方法 能否只进行一次变换 思考 若变换H面 需在面内取什么位置直线 正平线 24 a b c a c b X V H 例 把三角形ABC变换成投影面垂直面 作图过程 在平面内取一条水平线AD 将AD变换成新投影面的垂直线 反映平面对哪个投影面的夹角 25 功用 一次换面后可求解平面实形 形心 两直线交角等 问题的关键 新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影 展开图 5 将投影面的垂直面变成投影面的平行面 26 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面 二次换面 再变换成新投影面的平行面 a b a c b X V H c 作图 AB是水平线 空间分析 X2轴的位置 平面的实形 与其平行 6 把一般位置平面变换成投影面平行面 27 c1 28 4 求距离 1 点与直线之间a 将直线变换成投影面垂直线 b 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面 五 换面法的应用 1 求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线 2 求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面 3 求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面 29 2 点与平面之间将平面变换成投影面垂直面 3 两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线 4 两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面 5 求夹角 1 两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面 2 两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面 即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线 求线段实长 求平面实形 AB实长 ABC的实形 当直线或平面处于特殊位置时 要解决空间几何元素间的度量问题和定位问题 均可从其投影图上直接解答 求两平面的夹角 求交叉两直线间距离 AB CD的距离 夹角 一 概述 一 概述 求点到直线的距离 求点到平面的距离 点k到AB的距离 点k到 ABC的距离 直线与平面的交点 34 把直线变为投影面垂直线 把一直线变为投影面垂直线 变换思路 把直线变为投影面垂直线 求点到直线的距离 求两平行直线的距离 求两交叉直线的距离 变换思路 35 把平面变为投影垂直面 变换思路 把交线变换为投影面垂直线 把直线变换为投影面平行线 把平面变换为投影面垂直面 求点到平面的距离 求两平面的夹角 求直线与平面的夹角 求点到平面之间的离 36 距离 d1 如下图 当直线AB垂直于投影面时 CD平行于投影面 其投影反映实长 作图 求C点到直线AB的距离 就是求垂线CD的实长 空间及投影分析 过c1作线平行于x2轴 a c b b a c s s 例题2 求点S到平面ABC的距离 并作出垂线的投影 反映点S到平面的距离 38 例题3 求直线AB与CD间的距离 并作出过B点的垂线 反映两直线间距离 39 b a a b c d 例题4 已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN 且AB为水平线 求CD及MN的投影 空间及投影分析 V H X 圆半径 MN 作图 请注意各点的投影如何返回 求m点是难点 40 例题5 点E在平面ABC上 距离A B为15 求E点投影 41 空间及投影分析 AB与CD都平行于投影面时 其投影的夹角才反映实大 60 因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面 例题6 过C点作直线CD与AB相交成60 角 a b a c b X V H c 作图 几个解 两个解 已知点C是等边三角形的顶点 另两个顶点在直线AB上 求等边三角形的投影 思考 如何解 解法相同 D点的投影如何返回 42 V H X 例题7 求平面ABC和ABD的两面角 空间及投影分析 由几何定理知 两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角 在投影图中 两平面的交线垂直于投影面时 则两平面垂直于该投影面 它们的投影积聚成直线 直线间的夹角为所求 43 例6 4 过点K作直线与 CDE所给的平面平行 并与直线AB相交 44 例6 5 试过定点A作直线与已知直线EF正交 45 例6 6 矩形ABCD的顶点B在直线MC上 画出它的H V面投影 46 例6 7 过线段AB作一平面垂直于 DEF所决定的平面 47 例6 8 求两平行直线AB和CD之间的距离 48 例6 9 求两交叉直线AB和CD的距离 并定出它们的公垂线的位置 49 例6 10 平行四边形ABCD给定一平面 试求点S至该平面的距离 50 例6 11 求直线HG与平面的夹角 平面由四边形ABCD给定 51 例6 12 求直线AB与平面DEF之间的夹角 52 例6 13 求 ABC和 ABD之间的夹角 53 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法 一 换面法就是改变投影面的位置 使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置 二 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系 同时又有利于解题需要 这样才能使正投影规律继续有效 三 点的变换规律是换面法的作图基础 四个基本问题是解题的基本作图方法 必需熟练掌握 小结 54 换面法的四个基本问题 2 把一般位置直线变成投影面垂直线 1 把一般位置直线变成投影面平行线 3 把一般位置平面变成投影面垂直面 4 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 55 四 解题时一般