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文档简介

2矩阵的秩 定义2在m n矩阵A中 任取k行与k列 k m k n 位于这些行和列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 m n矩阵A的k行与k列子式共有个 一 矩阵秩的定义 例如 注意 在A中存在1阶和2阶的非零子式 但3阶和4阶子式全部为零 定义3设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式 且所有r 1阶子式 如果存在的话 全等于零 那么称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作 注意显然有 特别的规定 例1求下列矩阵的秩 解在A中 容易看出 一个2阶子式 A的3阶子式只有一个 A 经计算可知 因此 解 是一个阶梯形矩阵 其非零行有 行 故可知 的所有 阶子式全为零 而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的 阶行列式 因此 B 二 矩阵秩的相关定理 定理 若 则 证明先证明 若 经过一次初等行变换变为 则 设 且 的某个 阶子式 当或 在 中总能找到与 相 对应的 由于 或 或 因此 从而 当 分三种情况讨论 中不含有第i行 中同时含有第i行和第j行 中含有第i行 但不含有第j行 对 和 两种情况 显然 中与 对应的子式 故 对于 由 若 则因 中不含有第i行 可知 中 有不含第i行的 阶非零子式 从而 若 则 故也有 B 以上证明了若 经过一次初等行变换为 则 由于 亦可经过一次初等行变换变为 故也有 因此 经过一次初等行变换矩阵的秩不变 故经过有限次初等行变换时 矩阵的秩依然不变 同理可证 经过有限次初等列变换 变成矩阵 则有 总之 若 经过有限次初等变换变为矩阵 则有 如在例1中 我们已经计算 的秩为2 将A施行初等变换得 显然 R B 2 故R A R B 通过上面定理的证明和上面秩的计算 以后求矩阵的秩 只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可 A 三 求秩 例 设 求矩阵 的秩 并求 的一个最高阶的非零子式 解先求 的秩 故对 作初等行变换 变成行阶梯形矩阵 因为阶梯形矩阵有3个非零行 所以R B 3 从而R A 3 A的一个最高阶非零子式为 设A为n阶可逆矩阵 则 A 0 从而R A n 称A为满秩矩阵 若A为n阶不可逆矩阵 则 A 0 从而R A n 称A为降秩矩阵 例3设 求矩阵A及矩阵B A b 的秩 解 因此 R A 2 R B 3 例4设 若秩R AB B 2 求a 解因为 AB B A E B
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