河海大学, 概率统计, 课件, 概统教案.ppt

概率论与数理统计Probability Statistics袁永生教授 概率统计课程特点 1 新概念相对比较多 避免概念性错误 2 实用性强 注意结合生活经验及在各领域的广泛应用 3 渗透性 与其他学科结合可产生许多新的学科和研究方向 例如 信息论 系统论 控制论 可靠性理论 平差分析 生物统计 水文统计 数量经济等等 本课堂相关基本要求 课上注意听 课后认真尽快作业 第一章随机事件与概率 高等数学 训练逻辑思维 线性代数 训练抽象思维 概率统计 训练随机思维 1 1绪论 两个具体现象 I 一枚六面均标有 的正方体 抛掷一次 II 一枚骰子 抛掷一次 现象 本质 开始的条件就能确定最后的结果 确定性现象如现象 本质 开始的条件不能确定最后的结果 不确定性现象如 笛卡儿 有一个颠扑不破的真理 那就是当我们不能确定什么是真的时 我们就应去探索什么是最可能的 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复试验后 其结果又呈现某种规律性的现象称为随机现象 1 2随机试验与随机事件 E1 将一枚硬币抛掷三次 观察正面出现的次数 E2 将一枚硬币抛掷三次 观察正面 H 反面 T 出现的情况 E3 记录测量两点距离是产生的误差 E4 早上7 30在校食堂某摊位前排队买早点的人数 综上随机试验有以下特点 1 在相同条件下 可重复进行 2 试验结果不止一个 但能确定所有的可能结果 3 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现 具有上述三个特点的试验称为随机试验 记为E 样本空间 随机试验E的所有可能试验结果组成的集合称为样本空间 记为 样本点 组成样本空间的元素 即随机试验E的每个可能结果 记为 随机事件 试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件 简称事件 记为A B等 即试验E的部分试验结果组成的集合为随机事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 基本事件 由一个样本点构成的单点集 必然事件 在每次试验中总是发生的事件 也记为 不可能事件 在每次试验中都不发生的事件 也记为 事件之间的关系 1 包含关系 A B A发生必导致B发生 A B A B且B A 2 和事件 A B A与B至少一个发生 3 积事件 A B AB A与B同时发生 4 差事件 A B A发生但B不发生 例在E2中 事件 1 3 B 0 3 问若一次试验中正面出现1次 A B A B A B分别是否发生 正面出现3次 A B A B A B又分别是否发生 5 互不相容或互斥 A B A B互不相容或互斥 Notes 基本事件是两两互不相容的事件 6 对立事件或逆事件 A B 且A B A与B互为逆事件或对立事件 事件与集合对应关系类比 概率论 集合论 样本空间 事件子集 事件A发生 A 事件A不发生 A 事件A发生导致事件B发生A B 概率论集合论事件A与B至少有一个发生A B事件A与B同时发生A B 或AB 事件A发生而B不发生A B事件A与B互不相容AB 事件的运算 1 交换律 A B B A AB BA 2 结合律 A B C A B C AB C A BC 3 分配律 A B C AC BC AB C A B B C 4 对偶 DeMorgan 律 可推广 例试把A B C表示成三个两两互不相容事件的和 频率与概率 定义事件A在n次重复试验中出现nA次 则比值nA n称为事件A在n次重复试验中出现的频率 记为fn A 频率的性质 1 非负性 2 规范性 3 有限可加性 fn A 0 fn 1 即fn A nA n 例为了确定某类种子的发芽率 从大批这类种子中抽出若干批作发芽试验 其结果如下种子粒数25130310700150020003000发芽粒数24116282639133918062715发芽率0 960 890 910 890 8930 9030 905 实践证明 当试验次数n增大时 fn A 逐渐趋向一个定值 相关问题 发芽率计算公式 如何理解重复试验 频率的特征 频率的稳定性 定义若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件A 均赋予一实数P A 集合函数P A 满足条件 1 非负性 2 规范性 3 可列可加性 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有 P A1 A2 P A1 P A2 则称P A 为事件A发生的概率 对任一事件A 有P A 0 P 1 概率的实质 集合函数 解释 相关问题 概率的性质 1 P 0 设A1 A2 An 是n个两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 n 则有 2 有限可加性 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 3 单调不减性 若事件B A 则P B P A 且P B A P B P A 4 互补性 对 概率 的几何理解 5 加法公式 对任意两事件A B 有 P A B P A P B P AB 上式可推广到任意n个事件A1 A2 An的情形 6 可分性 对任意两事件A B 有 古典概型 等可能概率 特征 10样本空间的元素只有有限个 20试验中每个基本事件发生的可能性相同 有限性 满足上述两个特征的试验称为等可能概型 或古典概型 等可能性 样本空间 1 2 n P i 1 n i 1 2 n 古典概型中事件发生概率计算公式推导 设事件A中包含k个样本点 基本事件 P A 例设有N件产品 其中有D件次品 今从中任取n件 问这n件中恰有k k D 件次品的概率是多少 例将3只球随机地放到4个杯子中去 试求每个杯子中球的最大个数为1的概率 放回抽样 不放回抽样 例某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 实际推断原理 概率很小的事件 在一次试验中可以认为是几乎不发生的 当然在多次重复之后又几乎是必然的 留意区别概率很小的事件 与概率为零的事件 条件概率 定义设A B是 中的两个事件 且P B 0 称 引例某班有100人 其中男生60人 女生40人 考试及格95人 其中男生58人 女生37人 记A 任取一人考试及格 B 任取一人为男生求 1 任取一人考试及格的概率 2 任取一男生考试及格的概率 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 Notes 20条件概率P A B 也是概率 它也具有概率所具有的一切性质 比如 i 0 P A B 1 ii P B 1 iii 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 则 10条件概率的计算除了按上式计算之外 也可在缩减的样本空间 B里直接计算 还有 P A1 A2 B P A1 B P A2 B P A1A2 B 等等 乘法公式 上式还可推广到三个事件的情形 P ABC P C AB P B A P A 一般的 有下列公式 P A1A2 An P An A1 An 1 P A2 A1 P A1 其中P A1A2 An 0 n 2 例已知在10只电子管中有2只次品 在其中取两次 每次任取一只 作不放回抽样 求下列事件的概率 1 两只都是正品 2 第二次取出的是次品 一般的 有如下定义 定义事件组B1 B2 Bn n可为 称为样本空间 的一个划分 或完备事件组 若满足 全概率公式与贝叶斯 Bayes 公式 对 划分 的直观理解 定理设B1 Bn是 的一个划分 且P Bi 0 i 1 n 则对任何事件A 有 全概率公式 对 划分 本质的直观理解 影响事件A发生的全部事件组 例某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售 已知其中有三箱已变酸 若你去购买第六箱 已售出五箱 求 你碰巧买到已变酸牛奶的概率 定理设B1 Bn是 的一个划分 且P Bi 0 i 1 n 则对任何事件A P A 0 有 贝叶斯公式或逆概率公式 例某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售 已知其中有三箱已变酸 若你去购买第六箱 已售出五箱 求 1 你碰巧买到已变酸牛奶的概率 2 若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶 求已售出的五箱中恰好有两箱是已变酸牛奶的概率 例设有白球与黑球各4只 从中任取4只放入甲盒 余下的4只放入乙盒 然后分别在两盒中各任取1球 颜色正好相同 试问放入甲盒的4只球中有几只白球的概率最大 并求出此概率值 事件的独立性 定义设A B是两事件 若P A P A B 则称事件A与B相互独立 上式等价于 P AB P A P B 定理以下命题等价 两个事件的独立性 多个事件的独立性 定义若三个事件A B C满足 1 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B C 若在此基础上还满足 2 P ABC P A P B P C 则称事件A B C 两两相互独立 相互独立 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C P ABC P A P B P C 两两独立 相互独立 相互独立 两两相互独立 例一射手对同一目标独立地进行3次射击 若至少命中1次的概率是26 27 则该射手的命中率是多少 例抛掷四个硬币 求均出现正面的概率 贝努里 Bernoulli 概型 1 只有两个可能结果的试验称为贝努里试验 常记为E 若记A 成功 其概率常用p P A 表示 E也叫做 成功 失败试验 2 把E重复独立地进行n次 所得的试验称为n重贝努里试验 记为En 3 把E重复独立地进行可列多次 所得的试验称为可列重贝努里试验 记为E 以上三种贝努里试验统称为贝努里概型 例某商店某天开门后共有十箱牛奶供出售 已知其中有三箱已变酸 若你去购买第六箱 已售出五箱 求 1 你碰巧买到已变酸牛奶的概率 2 若已知你买到的是一箱已变酸的牛奶 求已售出的五箱中恰好有两箱是已变酸牛奶的概率 例玻璃杯成箱出售 每箱20只 假设各箱含0 1 2只残次品的概率相应地为0 8 0 1和0 1 一顾客欲购买一箱玻璃杯 购买时售货员随意取一箱 而顾客随机地察看4只 若无残次品 则买下该箱 否则退回 试求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中 确实没有残次品的概率 0 94 0 85 例同时掷两个均匀的骰子 问两个骰子点数之和为5的结果 出现在它们的点数之和为7的结果之前的概率是多少 例设有白球与黑球各4只 从中任取4只放入甲盒 余下的4只放入乙盒 然后分别在两盒中各任取1球 颜色正好相同 试问放入甲盒的4只球中有几只白球的概率最大 并求出此概率值 例已知二维随机变量 X Y 在三角形区域D x y 0 x 1 y 0 y 1 上服从均匀分布 1 写出X与Y的联合密度函数f x y 2 求边缘密度函数fX x fY y 3 求Z X Y的密度函数 4 求P Y X 5 求E X E Y D X D Y 及cov X Y 例设随机变量 X Y 的联合密度函数为 求 1 常数C 2 边缘密度函数fX x fY y 3 fX Y x y fY X y x 4 Z X Y的密度函数 5 M max X Y 和N min X Y 的密度函数 6 P X Y 1 例设随机变量X与Y相互独立 且同服从 0 1 上的均匀分布 试求 Z X Y 的分布函数与密度函数 设U X Y V X Y 求 U V 的联合密度函数 求 U V 关于U和关于V的边缘密度函数 求U与V的相关系数 例设有N个人 每个人将自己的帽子扔进屋子中央 把帽子充分混合后 每个人再随机地从中选取一顶 试求选中自己帽子的人数的数学期望与方差 例假设有自动线加工的某种零件内径X 单位 mm 服从正态分布N 1 内径小于10或大于12的为不合格品 其余为